直線與圓培優(yōu)講義

1、.培優(yōu)講義一、概念理解：1、傾斜角：找：直線向上方向、x軸正方向；平行：=0°；范圍：0°180° 。2、斜率：找k ：k=tan （90°）；垂直：斜率k不存在；范圍： 斜率 k R 。3、 斜率與坐標：構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；斜率k值于兩點先后順序無關(guān)；注意下標的位置對應(yīng)。4、 直線與直線的位置關(guān)系：相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例-垂直時：<1> ； <2> 斜率都存在時： 。平行：<1> 斜率都存在時：； <2> 斜率都不存在時：兩直線都與x軸垂直。重合： 斜率都存在時：；二、方程與公式：1

2、、直線的五個方程：點斜式： 將已知點直接帶入即可；斜截式： 將已知截距直接帶入即可；兩點式： 將已知兩點直接帶入即可；截距式： 將已知截距坐標直接帶入即可；一般式： ，其中A、B不同時為0用得比較多的是點斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點坐標：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可3、距離公式：兩點間距離：點到直線距離：平行直線間距離：4、中點、三分點坐標公式：已知兩點AB中點：AB三分點： 靠近A的三分點坐標 靠近B的三分點坐標中點坐標公式，在求對稱點、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。三分點坐標公式，用得較少，多見于大題難題。5.直線的對稱性問題 已知點關(guān)于已知直線的對稱:設(shè)這個點為P（x0

3、，y0）,對稱后的點坐標為P（x，y），則pp的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp的中點坐標在已知直線上。3、 解題指導(dǎo)與易錯辨析：1、解析法（坐標法）：建立適當直角坐標系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點的坐標；依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點在直線或曲線上），進行有關(guān)代數(shù)運算，并得出相關(guān)結(jié)果；yxo將代數(shù)運算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。2、 動點P到兩個定點A、B的距離“最值問題”：的最小值：找對稱點再連直線，如右圖所示：的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”；的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對稱軸”。3、 直線必過點： 含有一個參數(shù)-y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x

4、+2)+3令：x+2=0 => 必過點(-2,3)含有兩個參數(shù)-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 聯(lián)立方程組求解 => 必過點(-1/7,3/7)4、 易錯辨析： 討論斜率的存在性： 解題過程中用到斜率，一定要分類討論：<1>斜率不存在時，是否滿足題意； <2>斜率存在時，斜率會有怎樣關(guān)系。 注意“截距”可正可負，不能“錯認為”截距就是距離，會丟解； （求解直線與坐標軸圍成面積時，較為常見。） 直線到兩定點距離相等，有兩種情況： <1> 直線與兩定點所在

5、直線平行； <2> 直線過兩定點的中點。圓的方程1. 定義：一個動點到一個定點以定長繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點稱為圓的圓心，定長為圓的半徑.2. 圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程其中圓心，半徑.當時，方程表示一個圓，當時，方程表示一個點.當時，方程無圖形.第二種：圓的標準方程.其中點為圓心，為半徑的圓第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）注：圓的直徑方程：已知3. 點和圓的位置關(guān)系：給定點及圓.在圓在圓上在圓外4. 直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離.時，與相切；時，與相交；，時，與相離. 5、 圓的切線方程：一般方程若點(x0 ,y0

6、)在圓上，則(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為.(注:該點在圓上，則切線方程只有一條)若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.（注：過圓外的點引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。）6.圓系方程：過兩圓的交點的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過兩圓的交點圓方程可設(shè)為：x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0過兩圓的交點的直線方程：x2+y2+D1x+E1y+F

7、1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程）7.與圓有關(guān)的計算：弦長的計算：AB=2*R2-d2 其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=（1+k2）*X1-X2 其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個根過圓內(nèi)的一點的最短弦長是垂直于過圓心的直線圓內(nèi)的最長弦是直徑8.圓的一些最值問題圓上的點到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑圓上的點到直線的最長距離=圓心到直線的距離加上半徑假設(shè)P（x，y）是在某個圓上的動點，則（x-a）/（y-b）的最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點與該點（a，b）的斜率問題，即先求過該定點的切線，得到的斜率便

8、是該分式的最值。假設(shè)P（x，y）是在某個圓上的動點，則求x+y或x-y的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y，在圓上找到點(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。9.圓的對稱問題已知圓關(guān)于已知的直線對稱，則對稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對稱后得到的圓心坐標即可。若某條直線無論其如何移動都能平分一個圓，則這個直線必過某定點，且該定點是圓的圓心坐標1.【2015高考重慶，理8】已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對稱軸.過點A（-4，a）作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A、2 B、 C、6 D、 2.【2015高考新

9、課標2，理7】過三點，的圓交y軸于M，N兩點，則( )A2 B8 C4 D103.【2015高考廣東，理5】平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或4.【2015高考山東，理9】一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）（A）或 （B）或 （C）或 （D）或5.【2015高考陜西，理15】設(shè)曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為6.【2015高考湖北，理14】如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點（在的上方）， 且（）圓的標準方程為；（）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結(jié)論：； ； 其中正確結(jié)論的序

10、號是. （寫出所有正確結(jié)論的序號）7.【2015江蘇高考，10】在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為8.【2015高考廣東，理20】已知過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，（1）求圓的圓心坐標；（2）求線段的中點的軌跡的方程；（3）是否存在實數(shù)，使得直線與曲線只有一個交點：若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由14.（2013·新課標全國高考文科·20）在平面直角坐標系中，已知圓在軸上截得線段長為，在軸上截得線段長為。（1）求圓心的軌跡方程；（2）若點到直線的距離為，求圓的方程。作業(yè)一、選擇題1. （2013·重慶高考

11、文科·4）設(shè)是圓上的動點，是直線上的動點，則的最小值為 ( )A. 6 B.4 C. 3 D. 22.(2013·天津高考文科·T5)已知過點P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=()A.B.1C.2D.3.（2013·安徽高考文科·6）直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為（ ）A.1 B.2 C.4 D.4.（2013·重慶高考理科·7）已知圓：，圓：，、分別是圓、上的動點，為軸上的動點，則的最小值為 ( )A. B. C. D.5.（2013&#

12、183;廣東高考文科·7）垂直于直線且與圓相切于第一象限的直線方程是（ ） A BC D6.（2013·陜西高考文科·8）已知點M(a,b)在圓外, 則直線ax + by = 1與圓O的位置關(guān)系是 ( )A. 相切B.相交C. 相離D. 不確定7. （2013·江西高考理科·9）過點（，0）引直線l與曲線 相交于A、B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于（ ）A.B.C.D.8. （2013·山東高考理科·9）過點（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

13、 ）A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0二、填空題9. （2013·山東高考文科·13）過點(3，1)作圓的弦，其中最短的弦長為_10.(2013·浙江高考文科·T13)直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長等于.11. （2013·江西高考文科·14）若圓C經(jīng)過坐標原點和點（4，0），且與直線y=1相切，則圓C的方程是.12. （2013·湖北高考文科·14）已知圓：，直線：（）.設(shè)圓上到直線的距離等于1的點的個數(shù)為，則.三、解答題13.(2013·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T17) 如圖，在平面直角坐標系中，點，直線。設(shè)圓的半徑為，圓心在上。（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；