2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題理(全國卷2,含答案)

1、絕密啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2 .選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用 0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡 清楚3 .請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試 卷上答題無效4 .作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2、)1.A. 1 十 2iB. 1-2iC. 2 + iD. 2-i2 .設(shè)集合 A =1,2,4, B =x x24x+m =。.若 ApB =1,則 B =()A. 3B. 1,0c. 1,3D. U,53 .我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 倍，則塔的頂層共有燈（）A, 1盞B, 3盞C, 5盞D.9盞4 .如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（）A .

3、 90nB. 63nC. 42nD. 36n2x 3y-3<05 .設(shè)x, y滿足約束條件2x3y+3之0 ,則z = 2x + y的最小值是（）y 3_0A. -15B. -9C. 1D. 96 .安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成 1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A. 12 種B. 18 種C. 24 種D. 36 種7 .甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī).老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（）A.乙可以知道四人的成績(jī)B.

4、丁可以知道四人的成績(jī)C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)8 .執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的a =-1 ,則輸出的S=（）A. 2B. 3C. 4D. 5229 .若雙曲線C： xr 4=1（a>0, b>0）的一條漸近線被圓（x2）2 + y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C a b的離心率為（）2、3D.10 .已知直三棱柱ABC客田61中，/ABC =120，, AB =2, EC=CC1=1,則異面直線AE1與EC1所成角的余弦值為（）&正近立'2'5'5' 311.若x = -2是函數(shù)f （x） =（x2+ax1）e&

5、quot;的極值點(diǎn)，則f（x）的極小值為（）33A. -1B. -2eC.5eD.1T T12.已知AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA -（PB + PC）的最小值是（）A. 2B. -3C. -D. -123二、填空題：本題共 4小題，每小題5分,共20分。13 .一批產(chǎn)品的二等品率為 0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=.14 .函數(shù) f (x = sin1 2 x + J3cosx( xw i0, b 的最大值是4. 2.n 115. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a3 =3, S4=10,則£

6、 一=.kg216. 已知F是拋物線C: y =8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N .若M為FN的中點(diǎn),三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第 1721題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. (12 分)2 BABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b, c ,已知sin(A + C) =8sin -.求cosB(2)若 a+c=6 , AABC 面積為 2,求 b.18. (12 分)100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了

7、 水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)某頻率直方圖如下：(2) 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):箱產(chǎn)量V 50kg箱產(chǎn)量 50kg舊養(yǎng)殖法新/廣殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)p (產(chǎn)之k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282Y n(ad -bc)(a b)(c d )(a c)(b d)19. (12 分)如圖，四棱錐 P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面 ABCD,1o AB =BC =AD,/BAD =/ABC =90 , E 是 PD 的中點(diǎn). 2(1)

8、證明：直線CE/平面PAB(2)點(diǎn)M在PC上，且直線 BM與底面ABCD所成銳角為45° ,求二面角 M-AB-D的余弦值20. (12 分)2!_0設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:左+ y2 =1上，過M做x軸的垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足NP=J2NM.2(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；r(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且OP PQ =1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.21. (12 分)3已知函數(shù) f(x)=ax -ax-xlnx,且 f(x)之0.(1)求 a;(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn) x0,且e f (x0) 2：(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、2

9、3題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計(jì)分。22. 選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 Ci的極坐標(biāo)方程為Pcos 日=4 .(1) M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM |，|OP|=16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,三)，點(diǎn)B在曲線C2上，求AOAB面積的最大值. 323.選彳4-5:不等式選講(10分)已知 a >Q,b >0,a3 +b3 =2,證明： 33(1) (a +b)(a +b ) >4;(2) a+b <2.絕密啟用前

10、2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題答案一、選擇題1 .D 2.C 3.B 4.B5.A6.D7.D 8.B 9.A10.C11.A12.B二、填空題13.1.9614. 115.-2工16. 6n 1三、解答題17.解：(1)由題設(shè)及 A + B+C=冗得sin B =8sin2 一,故 2sin B =4( 1-cosB)上式兩邊平方，整理得17cos2B-32cosB+15=Q解得cosB=1 (舍去)，°_15 cosB一17一 ,15 一(2)由 cosB=得 sinB又 S ABC =2,17貝1J ac = 17281,故 S陰bc = - acsin B

11、17:24=ac17由余弦定理及a+c=6得.222b =a c -2accosB2=(a+c) -2ac(1 cosB)cc c 17 15、=36-2(1)217=4所以b=218.解:(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg” ，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于由題意知 P A)=P BC =P B P C舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50kg的頻率為 (0.040 0.034 0.024 0.014 0.012 5=0.62故P (B )的估計(jì)值為0.62新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068 0.046 0.010 0.00 5=0.6650kg故P (C )的估計(jì)值為

12、0.66箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量 50kg舊養(yǎng)殖法6238新/廣殖法3466因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62X0.66=0.4092(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表K22200 62 66 -34 38100 100 96 10415.705由于 15.705 6.635故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為(0.004 +0.020 +0.044 產(chǎn)5 =0.34 0.5 ,箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為0.004 0.020 0.044+0.0685 =0.68 0.5故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為

13、50+貂=52.35(19.解:(1)取PA中點(diǎn)F ,連結(jié)EF , BF .1.一1因?yàn)?E 為 PD 的中點(diǎn)，所以 EF|_ AD , EF = AD ,由 /BAD =/ABC =90 口得 BC/ AD ,又 BC =AD 22所以EF LBC .四邊形BCEF為平行四邊形，CE / BF .又BF U平面PAB , CE0平面PAB ,故CE /平面PAB(2)由已知得BA _ AD ,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向,TB為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則b(i, 0, 0), c(i, i, 0), p(0, i, 73),PC =(1,0,而),AB =(

14、1,0,0)則BM =(x-1, y, z), PM =(x, y -1, z -73)因?yàn)锽M與底面ABC所成的角為45° ,而n =(0,0, 1)是底面ABCD勺法向量，所以(x 一1)cosfBM ,n> =sin45°,y2z22即(x-1 ) 2 +y2-z 2=0又M在棱PC上，設(shè)PM' =KPC,則由，得'1 近 x=1+ 24 y=1z=d 2x=1上 2(舍去)，y=iz =-2所以m；直,1,豆),從而7M =；蟲,1,直2222設(shè)m = (Xo, yo, zo粒平面ABM的法向量，則m JAM =02- '2 xo T

15、即2yo必m UAB =0Xo = o所以可取 m= ( o,-而，2).于是 cos/m, n = mn = J10 m n 5因此二面角M-AB-D的余弦值為幽52o.解-5 一.一(1)設(shè) P (x,y ) ,M (xo,y o),設(shè) N (x。,。)，NP = (x _ %, y ), NM = (o, yo )xo=x, yo22因?yàn)镸 (xo,yo)在C上，所以 + L =122因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2 + y2 = 2(2)由題意知 F (-1Q ) .設(shè) Q (-3, t) ,P(m,n),則 OQ =(總t ), PF = (1 m, t ),OQJPF = 3 + 3m t

16、n ,OP = m, n , PQ = -3 m,t n由 OpLpQ =1 得-3 m - m2 +tn - n2 =1 ,又由(1)知 m2+n2=2,故3+3m-tn=o所以O(shè)QpF = o,即OQ _lPF.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于 OQ所以過點(diǎn) P且垂直于 OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.21.解：(1) f (x用定義域?yàn)?0,+七)設(shè) g (x )= ax - a - Inx ,則 f (x)= xg (x), f (x)之 0 等價(jià)于 g (x)之 011因?yàn)?g (1 尸0, g (x )之 0,故g' (1 )=0，而g' (x ) = a 一，g'

17、(1 )=a 1,得a = 1 x(x尸0, g (x嚴(yán)調(diào)遞減;當(dāng) x>1時(shí),g,(x)>0, g(x)單調(diào)遞g 1 =01右 a=1,則 g' (x)= 1 _ _.當(dāng) 0vxv 1 時(shí)，g' x增.所以x=1是g (x )的極小值點(diǎn)，故g(X )之綜上，a=1(2)由(1)知 f2x = x -x x In x, f (x) = 2x 2 ln xt 1 1當(dāng)x W 0, 1時(shí),I 2;調(diào)遞增-ln x,則h '( x) = 2x一w1h ' (x 尸0 ；當(dāng) x - ,+ O01'(x)>0,所以h(x)在.0" 單倜遞

18、減，在二l'<0, h 1、(1)=0,所以 h (x )在.0,-有唯一零點(diǎn)x。，在口，+g一2有唯一零點(diǎn)1 ,且當(dāng)x e(0,x0 歸,h (x )>0 ;當(dāng) x w (x0,1 )時(shí)，h (x )<0，當(dāng) x w(1,+ )時(shí)，h (x )>0 .因?yàn)閒 ' (x ) = h (x ),所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)由 f ' (x0 ) = 0得 ln x0 =ax0 -1),故f (x° )=x°(1 x°),.1由 x0 u(0,1 X導(dǎo) f (x0 尸 4因?yàn)閤=x°是f(x)在(0,1 )的最大值點(diǎn)，由e- (0,1 ),f ' (e，)# 0得f (x0 )>f (ex ) = e-所以 e<f (x° 卜2-222 .解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(P, M(P>0), M的極坐標(biāo)為(P1，曰)(曰>0),由題設(shè)知OP = P, OM4cos -由OM OP| = 16得C2的極坐標(biāo)方程P=4cosB ( P>0)22因此C2的直角坐標(biāo)方程為（x2）十y =4（x#0）（2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（Pb,豆Pb&