中考專題-圓與正多邊形-學(xué)生版

1、主課題：圓與正多邊形知識精要:一、圓1、圓的有關(guān)性質(zhì)在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點 。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫圓， 固定的端點O叫圓心，線段 OA叫半徑。由圓的意義可知：圓上各點到定點（圓心 O）的距離等于定長的點都在圓上。就是說：圓是到定點的距離等于定長的點的集合，圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點的集合。圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合。連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱膽。圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫半圓，大于半圓的弧叫優(yōu)??；小于半圓的弧叫劣弧。由弦及其所對的弧組

2、成的圓形叫弓形。圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫同心圓。能夠重合的兩個圓叫等圓。同圓或等圓的半徑相等。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。2、垂直于弦的直徑圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推理1:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對兩條弧。弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一個條弧。推理2:圓兩條平行弦所夾的弧相等。3、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。實際上，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能夠與原來

3、的圖形重合。頂點是圓心的角叫圓心角，從圓心到弦的距離叫弦心距。定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距相等。推理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中，有一組量相等，那么 它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。推理1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推理2:半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑。推理3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所添加輔助線往往是添加能構(gòu)成直徑

4、上的圓周角的輔助線。5、圓的內(nèi)接四邊形多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫這個多邊形的外接圓定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。例如圖61,連EF后，可得：.一ZDEF + Z A = 180A + Z B= 18ry圖 h 1BC / DA二、直線和圓的位置關(guān)系1、直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫圓的割線。直線和圓有 唯一公共點 時,叫做直線和圓相切，這時直線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點。直線和圓沒有公共點時，叫直線和圓相離。2、若圓的半徑為 R,圓心到直線的距離為 d,則：直線和圓相交0WdvR;直線和圓相切

5、 d=R;直線和圓相離dRo八、切線的判定和性質(zhì)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。推理1:經(jīng)過圓心且垂直干切線的直線必經(jīng)過切點。推理2:經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。例如圖65中，O為圓心，AC是切線，D為切點。三、圓和圓的位置若連心線長為1、兩圓外離2、兩圓外切3、兩圓相交4、兩圓內(nèi)切5、兩圓內(nèi)含(關(guān)系如圖69)d,兩圓的半徑分別為 R, r,則:d R+r；兩圓沒有公共點。d = R+r;兩圓有唯一公共點。RrvdvR+r (R r)兩圓有兩個公共點0 r)相離同心圓定理：1)相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公

6、共弦。2)相切兩圓的連心線經(jīng)過切點。四、正多邊形與圓各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。定理：把圓分成n (n3)等分:(l)依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)按正多邊形;n邊形。(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓。正多邊形的外接(或內(nèi)切)圓的圓心叫正多邊形的 用心。外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的 半徑叫正多邊形的邊心距。正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，叫正多邊形的中心角。正n邊形的每個中心角等于360n正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通

7、過正n邊形的中心。若n為偶數(shù)，則正n邊形又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。邊數(shù)相同的正多邊形相似，所以周長的比等于邊長的比，面積的比等于邊長平方的比。正多邊形的有關(guān)計算正n邊形的每個內(nèi)角都等于 （n 2）180n定理：正n邊形的半徑和邊心距把正 n邊形分成2n個全等的直角三角形。正多邊形的有關(guān)計算都歸 結(jié)為解直角三角形的計算。五、過三點的圓（不在同一直線上的三點確定一個圓）1、過三點的圓過三點的圓的作法：利用中垂線找圓心定理不在同一直線上的三個點確定一個圓。經(jīng)過三角形各頂點的圓叫三角形的外接圓，外接圓的圓心叫外心，這個三角形叫圓的內(nèi)接三角形。熱身練習(xí)：1 .下列說法正確的有（）個半圓或直

8、徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過三個點一定可以作一個圓； 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；垂直于半徑的直線是圓的切線；圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形A. 2B. 3C.4D.52 C C2,已知兩圓的半徑R、r分別為方程x 5x 6 0的兩根，兩圓的圓心距為1,兩圓的位置關(guān)系是（）A.外離B.內(nèi)切C.相交D.外切3.已知。Oi與。O2相切，O Oi的半徑為3 cm,。O2的半徑為2 cm,則O1O2的長是（）A . 1 cmB. 5 cmC. 1 cm 或 5 cmD . 0.5cm 或 2.5cm 4,已知 Rt A ABC 中，/ C=90 , BC=a、AC、BC都相切，則。O的半徑r (/

9、ab abA. ab B. - C.,AC=b ,以斜邊 AB上一點 O為圓心，作。使。O與直角邊 BCa b D.ab5.等腰直角三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比是（）A .2 1B,2B26.如圖，已知ABC的內(nèi)切圓O與各邊相切于 D、E、F,那么點。是力DEF 的（）A.三條中線的交點B.三條高的交點C.三條角平分線的交點D.三邊垂直平分線的交點7.如圖，點I是A ABC的內(nèi)心,AI的延長線交 BC于點D,交A ABC的外接圓于 E,若IE=4 , AE=8 ,那么DE的長。（）EA. 5B.4C.3D.210創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展精解名題1例1 .如圖，O A和。B都與x軸和y軸相

10、切，圓心 A和圓心B都在反比例函數(shù) y 的圖象上，則圖中x陰影部分的面積等于 .備用題：1)如圖，已知在 RtABC中， ACB Rt , AB 4 ,分別以AC, BC為直徑作半圓, 面積分別記為S1, S2，則S1+ S2的值等于.AB2) .如圖，等腰直角三角形AOB的面積為S1,以點。為圓心，OA為半徑的弧與以 AB為直徑的半圓圍成的圖形的面積為 S2,則S1與S2的關(guān)系是()(A) S1S2 (B) S1VS2 (C) S1=S2 (D) S1S2例2.如圖，AB為。直徑，自圓上一點P作AB的垂線PH,垂足為H,自點A向過P點的切線作垂線,垂足Ko求證：AH =AK 。例3.如圖,點

11、,AE=3 ,已知。O內(nèi)接 ABC , D為？c中點，AD交BC于E點，過B作。O的切線交CD延長線于F DE=1 , BF= 715。求 CF 的長.備用：如圖，A為。O外一點，過 A作兩條直線分別與。 。交于B、C和D、E點.若BE為。O直徑,AB=12 , DE=30, AD=BC ,求/ A 的度數(shù)和 BE 的長.。為 ABC的外心，/ 0=140例4.如圖，點I為4ABC的內(nèi)心，點(A) 140(B) 125(C) 130，則/ I為(D) 110例 5.如圖，在 RtAABC 中，/ C=90 ,AC=3 , BC=4,。是BC邊上一動點，0不與B、C重合，以。為例6.如圖，已知。

12、Oi與。O2都過點A, AOi是。O2的切線，O Oi交O1O2于點B,連結(jié)AB并延長 交OO2于點C,連結(jié)O2C.(1)求證：O2C，OlO2；(2)證明：AB BC=2O2B - BOi；(3)如果 AB BC=12, O2C=4,求 AOi 的長.C C自我測試i、下列判斷中正確的是()(A)平分弦的直線垂直于弦；(B)平分弦的直線也必平分弦所對的兩條弧；P(C)弦的垂直平分線必平分弦所對的兩條??；(D)平分一條弧的直線必平分這條弧所對。的弦.“2、經(jīng)過A、B兩點作圓，圓心在()(A) AB的中點；(B) AB的延長線；(C)過A點的垂線上；(D) AB的垂直平分線上.,、23 .已知萬程x 5x 4 0的兩根分別為。i與。2的半徑，且OiO2 = 3,那么兩圓的位置關(guān)系是 ()A .相交B.外切C.內(nèi)切D.相離 全品中考網(wǎng)4 .已知。Oi與。O2的半徑分別為2和3,兩圓相交，則兩圓的圓心距m滿足()A . m=5B . m=iC. m 5D . ivmv55 .如圖，兩圓相交于 A, B兩點，小圓經(jīng)過大圓的圓心 O,點C, D分別在兩圓上，若 ADB i00 ,則 ACB的度數(shù)為()A. 35B. 40C. 50D. 806 .在OO中，弦AB= 8cm ,弦心距 OC= 3cm,則該圓的半徑