第5講圓的方程-拔高難度-講義

1、圓的方程知識講解一、圓的方程1.圓的標準方程222以點C(a, b)為圓心，r為半徑的圓的方程：(x a) (y b) r圓心在原點的圓的標準方程：x2 y2 r2教師內(nèi)容:我們知道，平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點是圓心，定長是圓的半徑.現(xiàn)在我們來求以C a, b為圓心，r為半徑的圓的方程.設(shè) M x, y是0c上的任意一點.點 M在0c上的 條件是CM| r .也就是說，如果點 M在0c上,則|CM| r ,反之，如果 CM| r ,則點M在0C上.由兩點間的距離公式，所說條件可轉(zhuǎn)化為方程 表示： x a y b r .兩邊平方，得x a 2 y b 2 r2 .顯然，0c

2、 上任意一點M的坐標x, y適合方程；如果平面上 一點M的坐標x, y適合方程，可得CM r ,則 點M在0c上.因此方程是以點C a, b為圓心， r為半徑的圓的方程，叫做圓的標準方程.特別地， 如果圓心在坐標原點，這時 a 0, b 0,圓的標準方程就是x2y2 r2.22c圓心a , b ,半徑為r ,它體現(xiàn)了圓圓的標準方程x a y b r的幾何性質(zhì)，圓的標準方程直接給出了圓的圓心坐標和半徑長，突出了確定一個圓的基本 要素，因此，有利于畫出圖形.圓的標準方程中共有三個待定系數(shù)a, b, r ,只要確定出這三個量的值，圓的方程即被確定.因此確定圓的方程需要三個獨立的條件，其中圓心是圓的定

3、位條件，半徑是圓的定形條件. 22方程x a y b t ：當t 0時，表示圓心為 C a, b ,半徑為 C的圓；當t 0時，表示一個點C a, b ;當t 0時，不表示任何圖形.2.點與圓的位置關(guān)系 22 圓的標準方程 x a y b若點M xo, yo在圓上，則 xo若點M xo, yo在圓外，則 r若點M xo, yo在圓內(nèi)，則 改教師內(nèi)容：r2 ,圓心A a , b ,半徑r ,22ayob22ayob22ayob2r ；2r ；r2;反之，也成立.判斷點與圓的位置的方法是由兩點間的距離公式,求出該點到圓心的距離,再與圓的半徑比較大小即可.3 .確定圓的方法要求出圓的標準方程必須求出

4、圓心和半徑.確定圓的標準方程的主要方法是待定系數(shù)法,即列出a, b, r的方程組，一般步驟為：22 o根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標準方程x a y br2；根據(jù)已知條件，建立關(guān)于 a, b, r的方程組；解方程組，求出a, b, r的值，并把它們代入所設(shè)的圓的方程中，就得到所求圓的方 程.教師內(nèi)容：條件方程形式過原點222222x ay b a b a b o圓心在x軸上222-x a y r r o圓心在y軸上2222x y b r r o圓心在x軸上且過原點222-x a y a a o圓心在y軸上且過原點222x y b b b o與x軸相切222x ay b b b o與y軸相切222x

5、ay b a a o與兩坐標軸都相切222x ay b aa|b| o4 .圓的一般方程222_2_、x y Dx Ey F o , ( D E 4F o)22 .說明：x和y項的系數(shù)相等且都不為零；沒有xy這樣的二次項.表示以, 為圓心，1JD2e4m為半徑的圓.222二、直線與圓的位置關(guān)系1 .直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓相交，有兩個公共點;直線與圓相切，有一個公共點;直線與圓相離，沒有公共點.2 .直線與圓的位置關(guān)系的判定 有兩種方法:Dx Ey F0的位置關(guān)系,22代數(shù)法：判斷直線Ax By C 0和圓x y2p 0 (或 my ny p 0 ).一 Ax By C 0可將消去y (

6、或x),得mx nxxx0 a x ay0 b yb r .教師內(nèi)容：由切點與圓心的連線與切線垂直，可以得到切線的斜率（注意斜率不存在的情況），然后用點斜式求方程即可。點小 , y°在圓外，則設(shè)切線方程為y V0 k x % ,變成一般式kx y y0 kx0 0 ,因為與圓相切，利用圓心到直線距離等于半徑，解出k ,注意若此方程只有一個實根,則還有一條斜率不存在的直線，務(wù)必要補上. y2 Dx Ey F 0當 0時，直線與圓相交，有兩個公共點；當 0時，直線與圓相切，有一個公共點；當 0時，直線與圓相離，無公共點.222幾何法：已知直線Ax By C 0和圓x a y b r ,可

7、用圓心到直線的距離d |Aa BY |與的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.A2 B2當d r時，直線與圓相交，有兩個公共點；當d r時，直線與圓相切，有一個公共點；當d r時，直線與圓相離，無公共點；教師內(nèi)容：一般的，判定直線與圓的位置關(guān)系都用幾何法，代數(shù)法在圓錐曲線才會常用。三、圓的切線問題1 .圓的切線的性質(zhì)切點與圓心的連線與切線垂直； 圓心到切線的距離恰為半徑 r ;過圓外一點一定有兩條切線，而過圓上一點有且只有一條切線.2 .求圓的切線 的一般方法 對于過已知圓上的一點求切線，可利用切線的性質(zhì)；切點與圓心的連線與切線垂直求得切線的斜率，從而用點斜式求得切線的方程.當點x0 , v。在圓

8、x2 y2 r2上時，切線方程為 xx0 yy° r2 ；22c右點 x0 , y0在圓 x a y b r 上，則切線方程為四、圓的弦長問題直線與圓相交被圓截得的弦長的 計算方法：1 .將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，解得兩交點，然后利用兩點間的距離公式求弦長；22 .設(shè)弦長為m ,弦心距為d ,半徑為r ,則有 / d2 r2 ,即由半徑長、弦心距、半徑 組成的勾股關(guān)系.在求解弦長問題時，一般不求交點坐標，而通常用由半徑長、弦心距、半徑組成的勾股關(guān)系.五、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系：如圖，平面上兩圓的位置關(guān)系有五種，可以從兩圓的圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系來判斷.兩圓外離兩圓外切

9、兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含幾何法：判斷圓與圓的位置關(guān)系可以利用兩圓圓心距d與兩圓的半徑ri , r2的關(guān)系進行判斷：外離 d ri 12 ;外切d ri 口 ；相交 ,i川 d ri 內(nèi)切d ri上；內(nèi)含 0w d ri 12 .代數(shù)法：兩圓的位置關(guān)系也可以利用兩圓方程所構(gòu)成的方程組的解判斷：當方程組無解時，兩圓外離或者內(nèi)含；當方程組只有一解時， 兩圓外切或者內(nèi)切； 當方程組有兩解 時，兩圓相交.由于 代數(shù)法”計算量大，運用不方便，所以一般情況下利用 幾 何法”來判斷兩圓的位置關(guān)系.典例精講一.選擇題(共15小題)1. (2018春？資陽期末)過三點A (1, -7), B (1, 3), C

10、(4, 2)的圓交x 軸于M, N兩點，則| MN|二()A. v10B, v2TC, 4v6D. 2V21【分析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入點的坐標，求出D, E, F,令 y=0,即可得出結(jié)論.【解答】解：:過三點A (1, -7), B (1, 3), C (4, 2)的圓交x軸于M, N兩點，1 + 49 + ?2 7?+ ?= 0設(shè)圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,貝U 1 + 9 + ?+ 3?+ ?= 0 ,16+4 + 4?+ 2?+ ?= 0.D=- 2, E=4, F=- 20, .,.x2+y2-2x+4y-20=0,令 y=0,可得 x2

11、 - 2x-20=0,. .y=1±v2T, .|MN|=20.故選：D.2. (2017秋?鼎湖區(qū)校級期中)已知點 P (x, v)是圓C: x2+y2=4上任意一 點，則點P到Q (3, -4)的最大距離是()A. 5B. 7C. 23D. 3【分析】直接求出圓心(0, 0)到Q (3, -4)的距離，然后再加上半徑， 即可求出點P到Q (3, -4)的最大距離.【解答】解：由于圓心(0, 0)到Q (3, -4)的距離為，32+ (-4) 2 = 5, .二點P到Q (3, -4)的最大距離是5+r=5+2=7.故選：B.3. (2017 秋？福州期末)已知圓 C: (x-3)

12、 2+ (y+2) 2=9,點 A (-2, 0), B (0, 2),設(shè)點P是圓C上一個動點，定義：一個動點到兩個定點的距離 的平方和叫做離差平方和"，記作D2,令D2=| PA2+|PB2,則D2的最小 值為()A. 6B. 8C. 12D. 16【分析】利用圓的參數(shù)方程，結(jié)合兩點間的距離公式以及 acos廿bsin a的最小值為-。?+?3,即可得到結(jié)論.【解答】解：設(shè)圓C上的動點P的坐標為P (3+3cos% - 2+3sin鼠.根據(jù)定義，D2=| PA 2+| PB| 2= (3+3cos 廿2) 2+ ( 2+3sin 4 2+ (3+3cos a- 0) 2+ ( 2+

13、3sin or 2) 2=18co$ a+48cos+18sin2 a - 36sin +54=72+48cos a - 36sin a > 72腐82+(-36) 2=72- 60=12,故選：C.4.(2017秋？橫峰縣校級期中)若s(p)表示p所示平面圖形的面積，如人=1, V)| (x-a) 2+ (y-b) 2<r2, r>0, B= (x, y) | 2x+3y - 5< 0,且,_、1008 (An B) =2017s (A),則下列式子一定成立的是()A. 2a+3b - 5< 0 B. 2a+3b- 5> 0C. 2a+3b - 5=0D.

14、 2a+3b - 501008【分析】由s (An B) =s (A),確定圓心在集合B中的位置，可得圓心2017(a, b)在直線2x+3y- 5=0的右上方，由此可得 2a+3b-5>0.【解答】解:直線l:2x+3y-5=0過圓(x- a)2+(y- b)2&r2,的圓心時？?(?？?)：12?(?)10081V<圓心(a, b)在直線2x+3y- 5=0的右上萬，20172如圖，可得 2a+3b- 5>0,25. （2017春？開福區(qū)校級月考）點P為曲線（x-1） 2+ （y-2） 2=9 （y>2）上任意一點，則？?+資?勺最小值為（A. 23 5B.

15、 23 2C. 53 1D. 23 1【分析】曲線（X-1） 2+ （y-2） 2=9 （y>2）表示以（1,2）為圓心，3為 半徑的上半圓，在點（-2, 2）處，？?+超?取得最小值.【解答】解：曲線（x-1） 2+ （y - 2） 2=9 （y>2）表示以（1,2）為圓心， 3為半徑的上半圓，在點（-2, 2）處，？?+瓷?勺最小值為2V3-2,故選：B.6. （2018春？中原區(qū)校級月考）在平面直角坐標系內(nèi)，若曲線 C: x2+y2+2ax -4ay+5a2 - 4=0上所有的點均在第二象限內(nèi)，則實數(shù)a取值范圍為（）A. （1,+8）B.（2,+8）C.（-巴 2）D.（-o

16、o? -1）【分析】由已知中曲線C的方程x2+y2+2ax-4ay+5a2- 4=0,我們易求出圓的 標準方程，進而確定圓的圓心為（-a, 2a）,圓的半徑為2,然后根據(jù)曲 線C: x2+y2+2ax- 4ay+5a2 - 4=0上所有的點均在第二象限內(nèi)，易構(gòu)造出關(guān) 于a的不等式組，解不等式組，即可得到 a的取值范圍.【解答】解：由已知圓的方程為x2+y2+2ax- 4ay+5a2 - 4=0則圓的標準方程為：（x+a） 2+ （y-2a） 2=4故圓的圓心為（-a, 2a）,圓的半徑為2若曲線C: x2+y2+2ax- 4ay+5a2 - 4=0上所有的點均在第二象限內(nèi)，WJ a>0,

17、且| -a| >2解得a> 2故a的取值范圍為（2, +00）故選：B.1 ,7. （2017秋？天心區(qū)校級期末）由方程 x2+y2+x+ （m-1） y+2m2=0所確止的 圓中，最大面積是（）A. -ttB. 3兀C. 3兀D.不存在24【分析】圓的方程配方化為標準方程后，表示出圓心坐標和半徑的平方，根 據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出半徑的最大值時k的值，此時圓的面積最大，即可得出結(jié)論.【解答】解：將方程配方，得（x+1） 2+ （y+*） 2=-（?+1） 2+3 .224r2max=3,止匕時 m= - 1.3取大面積是一？4故選：B.8. (2017秋？和平區(qū)校級期中)已知實

18、數(shù) x, y滿足x2+y2-2x- 2y+1=0,則 x2+y2的最小值為()A. v2- 1B. V2C. 3- 2v2D. 2【分析】把圓的一般方程華為標準方程，可得圓心和半徑，結(jié)合兩點間的距 離公式求得x2+y2的最小值.【解答】解：圓 x2+y2- 2x- 2y+1=0,即(x 1) 2+ (y- 1) 2=1,表示以 C (1, 1)為圓心、半徑等于1的圓.則x2+y2表示圓上的點和原點連線的距離的平方.由于 CO=?,. CC2=2,.W+y2 的最小值為(/- 1)2=3 -2金,故選：C.9. (2016秋？萊城區(qū)校級月考)設(shè)點 A (2, 0), B (0, 4), O (0

19、, 0),則4 AOB的外接圓的方程為()A, x2+y2 - 2x+4y=0B. x2+y2 - 2x+2y=0C. x2+y2 - 2x - 4y=0D, x2+y2 - 2x- 2y=0【分析】求出圓心與半徑，即可寫出 AOB的外接圓方程.【解答】解：由題意，圓心坐標為(1, 2),圓的半徑為 怎，.AOB的外接圓方程為(x- 1) 2+ (y- 2) 2=5,即 x2+y2- 2x- 4y=0, 故選：C.10. (2015秋？湖州期末)若實數(shù)x, y滿足：x2+y2- 2x- 2y=0,貝U x+y的取 值范圍是()A. -4, 0B. 2-2v2, 2+2&C. 0, 4D

20、. - 2- 2v2, - 2+2v2(?+?2【分析】利用基本不等式得出x2+y2>( 2 ),結(jié)合x2+y2-2x- 2y=0,即可 求x+y的取值范圍.【解答】解：x2+y2>2xy,2 (x2+y2) > x2+y2+2xy,-2 (x2+y2) > (x+y) (?+?2x2+y2>-2-，.僅2+尸2x- 2y=0,.(?+?2-2x-2y<0,0<x+y<4.故選：C.11. （2018秋？道里區(qū)校級期中）直線4x+3y+12=0分別與x軸、y軸交于A、B兩點，點P在圓（x-2） 2+y2=4上，則4ABP面積的取值范圍是（）A.

21、10, 30B. 10, 15C. 5, 15 D. 5, 10 4X 2+12【分析】求出A, B坐標，圓心2, 0到直線4x+3y+12=0的距離d="=依2+4 2154.可得點P到AB的距離h,利用S a?2 X?=2?即可求解.【解答】解：:直線4x+3y+12=0分別與x軸,y軸交于A, B兩點, .A （ 3, 0）, B （0, -4）,AB=517，一一， 、- 4X 2+12如圖，圓心(2, 0)至IJ直線4x+3y+12=0的距離d=-= = 4.V32+4 2.二點 P到 AB 的距離 h, 4-2<h<4+2,則 S A ? 2 X ? ?, 則

22、4ABP面積的取值范圍是5, 15.故選：C.12. （2017秋？承德期末）若實數(shù)x, y滿足？?=1 + V1- (? 2)2,則？?=?71的最大值為（A.B.C.2D. 1【分析】轉(zhuǎn)化為直線與半圓相切時z取最大值.【解答】解：.y=1+"1-(? 2)2, . (x- 2) 2+ (y-1) 2=1 (y>1), 它表示圓心為(2, 1)半徑為1的圓的上半圓.因為 z=?？, 所以 y=zx+z, 即 zx- y+z=0所以直線 zx- y+z與半圓(x-2) 2+ (y-1) 2=1 (y>1), 相切時，直線y=zx+z的斜率最大，|2?-1+?|3所以 v?

23、+1 =1, 解得：z=4-故選：B.由點P向圓O:13. (2018春？攀枝花期末)點P是直線x+y-3=0上的動點,x2+y2=4作切線，則切線長的最小值為()A. 2V2【分析】由圓的標準方程，找出圓心坐標和圓的半徑，要使切線長的最小，則必須點P到圓的距離最小，求出圓心到直線 x+y-3=0的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長的最小值即可.【解答】解：:圓C: x2+y2=4,圓心 C (0, 0),半徑 r=2.由題意可知， 點P到圓C: x2+y2=4的切線長最小時,CP,直線 x+y - 3=0. 3:圓心到直線的距離d=, V2切線長的最小值為：v9- 4=妥 故選：C.1

24、4. (2018春？嘉興期末)已知 A (1, 0), B(- 1, 0),點P為圓x2+y2=1上的動點，則| PA+| PB的最大值是()A. 2B. 2v2C. 4D, 4v2【分析】由已知結(jié)合勾股定理可得|PA2+|PB2=4,再由不等式的性質(zhì)求| PA+| PB的最大值.【解答】解：:點P為圓x2+y2=1上的一個動點，且點A (1, 0), B ( - 1, 0)為兩個定點， . | PA 2+| PB| 2=4,V (|PA+| PB| ) 2<2 (|PA2+|PB2)=8,. | PA+| PB <2v2,當且僅當| PA =| PB| =或時”哪立, .| PA

25、+| PB的最大值是2V2, 故選：B.15. (2018?遼寧模擬)直線 ax+ay - 1=0與圓 a2x2+a2y2- 2a+1=0 有公共點(xo,yo),則xo?yo的最大值為()A- 4_ 4B.-9-4C. 一3D. 2【分析】由圓心到直線的距離小于等于半徑求得 a的范圍，把直線與圓交點的橫縱坐標的乘積用a表示，利用二次函數(shù)求最值.【解答】解：圓aZW+a2/-2a+1=0圓心坐標為(0, 0),半徑為代升.;直線 ax+ay- 1=0與圓 a2x2+a2y22a+1=0D有公共點,春 高21 , 彳a>3-由 ax+ay- 1=0,得 a2x2+a2y2+2a2xy=1.

26、 (2聯(lián)立，可得1-? 1xy -？另 一？1?:當方= 即a：時，x0?y。的最大值為 ：349故選：B.二.填空題(共7小題).1 c 416. (2018春?桃城區(qū)校級月考)已知函數(shù)f (x) =-x2-x+1的圖象與坐標軸 33的交點均在圓M上，則圓M的標準方程為(x-2) 2+ (y+1) 2=5 .【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)f (x)與坐標軸的交點坐標，設(shè)圓M的方程為：1 + ?+?= 0x2+y2+Dx+Ey+F=0,將交點的坐標代入圓的方程可得9+ 3?+ ?= 0,解可1 + ?+?= 0得D、E、F的值，即可得圓M的一般式方程，將其變形為標準方程，即 可得答案.【解答】解：

27、函數(shù)f (x) =-x2- -x+1 ,33令 y=0,可得3x2-3x+1=0,解可得 xi=1 或 x2=3,令x=0,可得y=1,則函數(shù)f (x)與x軸交點坐標為(1, 0)、(3, 0),與y軸交點坐標為(0,1),設(shè)圓M的方程為：>+y2+Dx+EybF=0,(1, 0)、(3, 0)、(0, 1)三點在圓上,1 + ?3？= 0則有9+ 3?+ ?= 0,1 + ?%?= 0?= -4解可得 ?= 3 ,貝U圓M的方程為x2+y2 - 4x - 4y+3=0,?= -4即(x2) 2+ (y- 2) 2=5,則圓M的標準方程為(x- 2) 2+ (y+1) 2=5,故答案為：

28、(X-2) 2+ (y+1) 2=5.17. (2017秋？九龍坡區(qū)校級期末)已知圓 C: (x-3) 2+ (y-4) 2=1和兩點 A (- m, 0), B (m, 0) (m>0),若圓 C上存在點 P使得/APB=90,則 m的最大值為 6 .【分析】C: (x-3) 2+ (y-4) 2=1 的圓心 C(3, 4),半徑 r=1,設(shè) P (a, b) 在圓 C上，貝1»?(a+m, b),易世am,b),由已知得 m2=af+b2=| OF| 2, m的最大值即為| OP|的最大值.【解答】解：圓C:(X-3) 2+ (y-4) 2=1的圓心C (3, 4),半徑r

29、=1, 設(shè) P (a, b)在圓 C上，則.皆(a+m, b), ?£>( a- m, b),Z APB=90, . .?_?.,.? (a+m) (a-m) +b2=0,m2=a2+b2=| OP|2,：m的最大值即為| OF|的最大值，等于| 0q+ r=5M=6.故答案為：6.18. ( 2017春？射洪縣校級月考)在平面直角坐標系xOy中，曲線 /+丫2=2以|+2|丫|圍成的圖形的面積為4廿8 .【分析】分類畫出圖象，可得曲線 W+y2=2|x|+2|y|圍成的圖形的面積.【解答解:x>0, y>0時,方程化為(x-1) 2+ (y-1) 2=2,x>

30、;0, yvO 時,方程化為(x- 1) 2+ (y+1) 2=2,x<0, y<0 時，方程化為(x+1) 2+ (y+1) 2=2,x<0, y>0 時，方程化為(x+1) 2+ (y-1) 2=2,1第一象限的面積2式(2tt-2X2)二冗+2,故所有的面積為4 (e2) 二4e8故答案為：4冗+8.19. (2016春?武漢月考)設(shè)實數(shù)x、y滿足x2+y2 4x+3=0,貝U x2+y2 2y的最 大值為 5+26.【分析】根據(jù)x2+ (y-1) 2表示圓上的點(x, y到(0, 1)的距離的平方， 求出它的最大值，可得x2+y2-2y的最大值.【解答】解：方程

31、x2+y2- 4x+3=0,即(x-2) 2+y2=1,表示以(2, 0)為圓 心、半徑等于1的圓.x2+y2- 2y=x2+ (y - 1) 2 - 1根據(jù)x2+ (y-1) 2表示圓上的點(x, y)至ij (0, 1)的距離的平方，故它的 最大值是(v5+1) 2=6+2v5,.x2+y2 2y 的最大值為 5+2v5故答案為：5+2 v5.20. (2018春？泉州期末)記不等式組(? 0表小的平面區(qū)?域為D,則圓x2+y2=1在區(qū)域D內(nèi)的弧長為 一4"【分析】由不等式組作出可行域，求出兩直線 x-2y=0與x+3y=0的斜率，再由到角公式求兩直線夾角，代入弧長公式得答案.【

32、解答】解：作出不等式組(? 2?呆?03?戶0表示的平面區(qū)域為D及圓x2+y2=1 如圖,11直線y=2?的斜率為？= 2, y=- 3?勺斜率為?= - y11設(shè)直線y=- 3?到直線y=2?的角為9,1 1貝U tan 9 ：?； =12 3 1 = 1,貝U ?= ?1+?1?1 + 2x()4.圓x2+y2=1在區(qū)域D內(nèi)的弧長為？ X1 = ?44?故答案為：一.421. （2016春？陜西校級期末）已知實數(shù)x, y滿足x2+y2-4x+6y+12=0,貝匹2x-y - 2|的最小值是 5 - v5_.【分析】把圓的方程先化為標準方程，用參數(shù)表示x與y代入所求的式子中, 利用輔助角公式

33、化簡，即可求得結(jié)論.【解答】解：x2+y2- 4x+6y+12=0,可化為（x 2） 2+ （y+3） 2=1,可設(shè) x=2+cos o, y=- 3+sin 4 . | 2x- y- 2| =| 2 (2+cos & - (- 3+sin 4 - 2| =| 5+2cos 曠 sin “=| 5+v5cos(0+ 位 |.|2x y 2|的最小值是5 v5.故答案為：5-v5.?+?22.（2015秋？萬州區(qū)校級期末）已知實數(shù)x, y滿足x2+y2-4x- 2y+4=0,則1？的取值范圍為 1, 7.3 【分析】令t=?代入已知條件，利用判別式大于或等于零，求得 t的范圍，可得結(jié)果.

34、【解答】解：令 t=?=1+?即 y= (t 1) x,貝U由 x2+y24x 2y+4=0, 可得 (t22t+2) x2- (2t+2) x+4=0,冉根= (2t+2) 216 (t22t+2)>0,可得 3t210t+700,求得 10t&7, 3即？?+?句取值范圍為1, 7 .?3三.解答題(共6小題)23. (2018春？渝中區(qū)校級期末)已知圓 C過點A (3, 1), B (5, 3),圓心 在直線y=x上.(1)求圓C的方程；(2)過圓。1： x2+ (y+1) 2=1上任一點P作圓C的兩條切線，切點分別為Q, T,求四邊形PQCT®積的取值范圍.【分

35、析】(1)設(shè)圓心C (a, a),半徑為r,由題意列關(guān)于a, r的方程組，求 解得答案；(2)設(shè)PQ的長為x,把四邊形PQCT面積用含有x的代數(shù)式表示，求出x 的范圍，則四邊形PQCTW積的取值范圍可求.【解答】解：(1)設(shè)圓心C (a, a),半徑為r,則 226 3)2+(?=?，解得篌3.(?- 5) + (?- 3) = ?= 2圓 C的方程為：(x- 3) 2+ (y-3) 2=4；(2)設(shè) PQ的長為 x,則？的邊形?=? 2?2 ?=? 2 ?2 ?2 ?= 2?而乂="? 4.由幾何關(guān)系有：|CQ| - 10|PC 0|CO|+1.而|CO|=5,可得 40 PCX6

36、, WJ2v3w?c4比,.SC 43，8V2.24. (2018春?香坊區(qū)校級期末)已知圓 M過點A (1, -1), B(- 1, 1)兩點，且圓心M在直線x+y-2=0上.(I )求圓M的方程；(H)若圓M上存在點P,使|OP|=a (a>0),其中O為坐標原點，求實數(shù) a的取值范圍.【分析】(1)設(shè)圓心為(a, b)且半徑為r,得到圓的標準方程，根據(jù)題意 建立關(guān)于a、b、r的方程組，解之即可得到圓 M的標準方程；(2)畫出圓M的圖象，數(shù)形結(jié)合可求實數(shù)a的取值范圍.【解答】解：(1)設(shè)圓M的方程為：(x-a) 2+ (y-b) 2=r2 (r>0),?+ ? 2=0根據(jù)題意得

37、(1 - ?2+ (-1 - ?2= ?,解之得 a=b=1, r=2, (-1 - ?) + (1 - ?2 = ?.二圓 M 的方程為：(x - 1) 2+ (y-1) 2=4；(2)如圖,a=|OpC2豆，2+v2.25. (2017秋？寧城縣期末)求圓心在直線 11： x-y- 1=0 ±,與直線12： 4x+3y+14=0相切，截直線13： 3x+4y+10=0所得的弓玄長為6的圓的方程.【分析】根據(jù)題意設(shè)圓心為C (a, a-1),半徑為r,利用點到直線的距離以 及勾股定理求出圓心與半徑即可.【解答】解：由題意，設(shè)圓心為C (a, a-1),半徑為r,則點C到直線l2的距

38、離是di =|4?+3（?-1）+14|7?+11|（3分）點C到直線13的距離是d2=|3?+4（?-1）+10|7?+6|v32+4 25|7?+11| _（6分）?由題意，得5 2,（17等）+32=?5解得 a=2, r=5,（10 分）8分）即所求圓的方程是:（x - 2） 2+ （y-1） 2=25.（12 分）5),且圓心在y=2上是否存26. (2017秋？沈陽期末)已知圓 C經(jīng)過點A (6, 0), B (1, 直線 1: 2x- 7y+8=0 上.(1)求圓C的方程;(2)過點M (1, 2)的直線與圓C交于A, B兩點，問在直線在定點N,使得Kan+Kbn=0恒成立？若存

39、在，請求出點 N的坐標；若不存 在，請說明理由.【分析】(1)由已知求出直線m的方程，聯(lián)立直線1與直線m,求得圓心坐標，再由兩點間的距離公式求得半徑，則圓的方程可求；(2)假設(shè)存在點N (t, 2)符合題意，設(shè)交點坐標為A (X1, y1)，B(X2, y2), 當直線AB斜率存在時,設(shè)直線AB方程為y-2=k (x-1),聯(lián)立直線方程 與圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合 Kan+Kbn=0求得t值，已知AB斜率 不存在時成立，可得在直線y=2上存在定點N (- 7, 0),使得Kan+KBn=0 包成立.【解答】解：(1)二.直線AB的斜率為-1, ；AB的垂直平分線m的斜率為1, 75.A

40、B的中點坐標為(2 , 2),因此直線m的萬程為X-y- 1=0, 又圓心在直線l上，.圓心是直線 m與直線l的交點. 聯(lián)立方程租2? 7?+8=c0，得圓心坐標為C(3, 2),? - ?f- 1 = 0又半徑r=v13,圓的方程為(x- 3) 2+ (y-2) 2=13;(2)假設(shè)存在點N (t, 2)符合題意，設(shè)父點坐標為 A (xi, yi) , B(X2, y2),當直線AB斜率存在時,設(shè)直線AB方程為y-2=k (x- 1),?± ?(? 1)+2聯(lián)立方程組-2.22，消去y,得到方程(1+k2) X2- (2k2+6)(?- 3) + (?- 2) = 13x+k2 4=0.?-41+?2則由根與系數(shù)的關(guān)系得？+?= zi+6, ? = 1+?2Kan+Kbn=0,.?-2-+?-?:.2X1X2 一2?彳-81+?2?-2?= °，即?(?21)?(繆1)?-?-?0.(1+t) (X1+X2) +2t=0,(1 + ?2? +6 + 2? 0. 1+?27-227一2當直線AB斜率不存在時，點N顯然滿足題意.綜上，在直線y=2上存在定點N (- 7, 2),使得Kan+Kbn=0恒成立.27. (2017秋？涵江區(qū)校級期中)