李賢平 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 答案

1、第1章 事件與概率2、若A，B，C是隨機(jī)事件，說(shuō)明下列關(guān)系式的概率意義：(1)；(2)；(3)；(4).3、試把表示成n個(gè)兩兩互不相容事件的和6、 若A，B，C，D是四個(gè)事件，試用這四個(gè)事件表示下列各事件：（1）這四個(gè)事件至少發(fā)生一個(gè)；（2）這四個(gè)事件恰好發(fā)生兩個(gè)；（3）A，B都發(fā)生而C，D都不發(fā)生；（4）這四個(gè)事件都不發(fā)生；（5）這四個(gè)事件中至多發(fā)生一個(gè)。8、證明下列等式：（1）；（2）；（3）.9、袋中有白球5只，黑球6只，陸續(xù)取出三球，求順序?yàn)楹诎缀诘母怕省?0、一部五本頭的文集，按任意次序放書架上去，試求下列概率：（1）第一卷出現(xiàn)在旁邊；（2）第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊；（3）第一卷或第

2、五卷出現(xiàn)在旁邊；（4）第一卷及第五卷都不出現(xiàn)在旁邊；（5）第三卷正好在正中。11、把戲，2，3，4，5諸數(shù)各寫在一小紙片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得數(shù)是偶數(shù)的概率。12、在一個(gè)裝有n只白球，n只黑球，n只紅球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、紅球分別有只的概率。13、甲袋中有3只白球，7辦紅球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只紅球，9只黑球?，F(xiàn)從兩袋中各取一球，求兩球顏色相同的概率。14、由盛有號(hào)碼，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次記下其號(hào)碼，試求這些號(hào)碼按嚴(yán)格上升次序排列的概率。16、 任意從數(shù)列，N中不放回地取出n個(gè)數(shù)并按大小排列成：，試求的概率，這里18、從6只不同

3、的手套中任取4只，問(wèn)其中恰有一雙配對(duì)的概率是多少？19、從n雙不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件發(fā)生的概率：（1）沒(méi)有成對(duì)的鞋子；（2）只有一對(duì)鞋子；（3）恰有兩對(duì)鞋子；（4）有r對(duì)鞋子。20、袋中有n只球，記有號(hào)碼，求下列事件的概率：（1）任意取出兩球，號(hào)碼為1,2；（2）任意取出3球，沒(méi)有號(hào)碼1；（30任意取出5球，號(hào)碼1,2,3,中至少出現(xiàn)一個(gè)。21、袋中裝有號(hào)的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，試求在第k次摸球時(shí)首次摸到1號(hào)球的概率。24、從52張撲克牌中任意抽取13張來(lái)，問(wèn)有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張草花的概率。25、橋牌游戲中（四人各從52

4、張紙牌中分得13張），求4張A集中在一個(gè)人手中的概率。26、在撲克牌游戲中（從52張牌中任取5張），求下列事件的概率：（1）以A打頭的同花順次五張牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四張牌同點(diǎn)數(shù)；（4）三張同點(diǎn)數(shù)且另兩張也同點(diǎn)數(shù)；（5）五張同花；（6）異花順次五張牌；（7）三張同點(diǎn)數(shù)；（8）五比重中有兩對(duì)；（9）五張中有一對(duì)；（10）其它情況。27、某碼頭只能容納一只船，現(xiàn)預(yù)知某日將獨(dú)立來(lái)到兩只船，且在24小時(shí)內(nèi)各時(shí)刻來(lái)到有可能性都相等，如果它們需要停靠的時(shí)間分別為3小時(shí)及4小時(shí)，試求有一船要在江中等待的概率。28、兩人約定于7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，試求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率。

5、33、設(shè)是隨機(jī)事件，試用歸納法證明下列公式：。36、考試時(shí)共有N張考簽，n個(gè)學(xué)生參加考試，被抽過(guò)的考簽立刻放回，求在考試結(jié)束后，至少有一張考簽沒(méi)有被抽過(guò)的概率。37、甲，乙丙三人按下面規(guī)則進(jìn)行比賽，第一局由甲，乙參加而丙輪空，由第一局的優(yōu)勝者與丙進(jìn)行第二局比賽，而失敗者則輪空，比賽用這種方式一直進(jìn)行到其中一個(gè)人連勝兩局為止，連勝兩局者成為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝者。若甲，乙，丙勝每局的概率各為1/2，問(wèn)甲，乙，丙成為整場(chǎng)比賽優(yōu)勝者的概率各是多少？39、給定，求及。40、已知：，證明：。43、利用概率論的想法證明下列恒等式：其中A，a都是正整數(shù)，且。46、證明的一切子集組成的集類是一個(gè)域。47、證明：域之

6、交仍為域。48、證明：包含一切形如的區(qū)間的最小域是一維波雷爾域。解答2、解：（1）ABC，若A發(fā)生，則B與C必同時(shí)發(fā)生。（2），B發(fā)生或C發(fā)生，均導(dǎo)致A發(fā)生。（3）與B同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致C發(fā)生。（4），A發(fā)生，則B與C至少有一不發(fā)生。3、解： (或)6、解：（1）至少發(fā)生一個(gè)=.（2）恰發(fā)生兩個(gè)=.（3）A，B都發(fā)生而C，D都不發(fā)生=.（4）都不發(fā)生=.（5）至多發(fā)生一個(gè)=.8、解：（1）因?yàn)?，兩邊?duì)x求導(dǎo)得，在其中令x=1即得所欲證。（2）在上式中令x=-1即得所欲證。（3）要原式有意義，必須。由于，此題即等于要證.利用冪級(jí)數(shù)乘法可證明此式。因?yàn)?，比較等式兩邊的系數(shù)即得證。9、解：10、解：（1

7、）第一卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩下四卷可在剩下四個(gè)位置上任意排，所以（2）可能有第一卷出現(xiàn)在左邊而第五卷出現(xiàn)右邊，或者第一卷出現(xiàn)在右邊而第五卷出現(xiàn)在左邊，剩下三卷可在中間三人上位置上任意排，所以 （3）第一卷出現(xiàn)在旁邊+P第五卷出現(xiàn)旁邊-P第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊=.（4）這里事件是（3）中事件的對(duì)立事件，所以 （5）第三卷居中，其余四卷在剩下四個(gè)位置上可任意排，所以11、解：末位數(shù)吸可能是2或4。當(dāng)末位數(shù)是2（或4）時(shí)，前兩位數(shù)字從剩下四個(gè)數(shù)字中選排，所以 12、解：13、解：P兩球顏色相同=P兩球均白+P兩球均黑+P兩球均紅.14、 解：若取出的號(hào)碼是按嚴(yán)格上升次序排列，則n個(gè)

8、號(hào)碼必然全不相同，。N個(gè)不同號(hào)碼可產(chǎn)生種不同的排列，其中只有一個(gè)是按嚴(yán)格上升次序的排列，也就是說(shuō)，一種組合對(duì)應(yīng)一種嚴(yán)格上升排列，所以共有種按嚴(yán)格上升次序的排列?？偪赡軋?chǎng)合數(shù)為，故題中欲求的概率為.16、解：因?yàn)椴环呕?，所以n個(gè)數(shù)不重復(fù)。從中取出m-1個(gè)數(shù)，從中取出個(gè)數(shù)，數(shù)M一定取出，把這n個(gè)數(shù)按大小次序重新排列，則必有。故。當(dāng)或時(shí)，概率.18、解：有利場(chǎng)合是，先從6雙中取出一雙，其兩只全取出；再?gòu)氖Ｏ碌?雙中取出兩雙，從其每雙中取出一只。所以欲求的概率為19、解：（1）有利場(chǎng)合是，先從n雙中取出2r雙，再?gòu)拿侩p中取出一只。（2）有利場(chǎng)合是，先從n雙中取出一雙，其兩只全取出，再?gòu)氖Ｏ碌碾p中取出雙

9、，從鞭每雙中取出一只。.（3）.（4）.20、解：（1）P任意取出兩球，號(hào)碼為1，2=.（2）任取3個(gè)球無(wú)號(hào)碼1，有利場(chǎng)合是從除去1號(hào)球外的個(gè)球中任取3個(gè)球的組合數(shù)，故 P任取3球，無(wú)號(hào)碼1.（3）P任取5球，號(hào)碼1,2,3中至少出現(xiàn)1個(gè)=任取5球，號(hào)碼1,2,3不出現(xiàn).其中任取5球無(wú)號(hào)碼1,2,3，有利場(chǎng)合是從除去1,2,3號(hào)球外的個(gè)球中任取5個(gè)球的組合數(shù)。21、解：（1）有利場(chǎng)合是，前次從個(gè)號(hào)中（除1號(hào)外）抽了，第k次取到1號(hào)球，（2） 考慮前k次摸球的情況，。22.(老師的解法)P=23.24、解：25、解：.或解為，4張A集中在特定一個(gè)手中的概率為，所以4張A集中在一個(gè)人手中的概率為

10、.26、解：（1）. 這里設(shè)A只打大頭，若認(rèn)為可打兩頭AKQJ10及A2345，則答案有變，下同。（2）取出的一張可民由K，Q，6八個(gè)數(shù)中之一打頭，所以.（3）取出的四張同點(diǎn)牌為13個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)，再?gòu)氖Ｏ?8張牌中取出1張，所以 （4）取出的3張同點(diǎn)占有13個(gè)點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)，接著取出的兩張同點(diǎn)占有其余12個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，所以 (5)5張同花可以是四種花中任一種，在同一種花中，5張牌占有13個(gè)點(diǎn)中5個(gè)點(diǎn)，所以 (6)異花順次五張牌=順次五張牌同花順次五張牌。順次五張牌分別以A，K，6九個(gè)數(shù)中之一打頭，每張可以有四種不同的花；而同花順次中花色只能是四種花中一種。所以p = P順次五張牌同花順次五張牌

11、（7）三張同點(diǎn)牌占有13個(gè)點(diǎn)中一個(gè)占有剩下12個(gè)點(diǎn)中兩個(gè)點(diǎn)，所以（8）P五張中有兩對(duì)=P五張中兩對(duì)不同點(diǎn)+P五張中兩對(duì)同點(diǎn) （9） （10）若記（i）事件為，則而事件兩兩不相容，所以 y 27、解：設(shè)x，y分別為此二船到達(dá)碼頭的時(shí)間，則 24 F E. 兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間與由上述條件決定的正方形內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的（如圖） 設(shè)A表事件“一船要等待空出碼頭”，則發(fā)生意味著同時(shí)滿足下列兩不等式 24 由幾何概率得，事件的概率，等于正方形中直線 之間的部分面積，與正方形CDEF的面積之比，即28、解：設(shè)x，y分別為此二人到達(dá)時(shí)間，則 y F N E。顯然，此二人到達(dá)時(shí)間 8與由上述條件決定的正方形CD

12、EF內(nèi)和 M H點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的(如圖)。 7 D設(shè)A表事件“其中一人必須等另外一人的 C G 時(shí)間1/2小時(shí)以上“，則A發(fā)生意味著滿足如下 0 7 8 x不等式 。由幾何概率得，事件A的概率等于GDH及FMN的面積之和與正方形CDEF的面積之比，所以33、證：當(dāng)時(shí)，與兩者不相容，所以.此即當(dāng)時(shí)原式成立。 設(shè)對(duì)原式成立，現(xiàn)證對(duì)原式也成立。對(duì)前后兩項(xiàng)分別應(yīng)用歸納假設(shè)得.至此，原式得證。36、解：設(shè)考簽編號(hào)為，記事件，則， ，；諸相容，利用第33題公式計(jì)算得P=至少有一張考簽未被抽到.37、解：這些比賽的可能結(jié)果，可以用下面方法表示：其中a表甲勝，b表乙勝，c表丙勝。在這些結(jié)果中，恰巧包含k個(gè)字母的

13、事件發(fā)生的概率應(yīng)為，如aa發(fā)生的概率為1/4，acbb發(fā)生的概率為1/16等等。則.由于甲，乙兩人所處的地位是對(duì)稱的，所以，得.39、解： .40、證：設(shè).由可得， （1）又 再由得 （2）由并利用得 （3）由（1），（2），（3）可得43、證：設(shè)袋中有A個(gè)球，其中a個(gè)是白球，不還原隨機(jī)取出，第k次才首次取得白球的概率為 .因?yàn)榇杏衋個(gè)白球，個(gè)黑球，若一開始總是取到黑球，直到把黑球取完為止，則至遲到第次一定會(huì)取到白球；也就是說(shuō)，第一次或第二次或至遲到第次取得白球事件是必然事件，其概率為1。所以等式兩邊同乘以得.46、證：記F=的一切子集（i）是的子集，所以。(ii) 若，則A是的子集，也是的子集，所以。(iii)，當(dāng)然有。任一。必有某一，使，所以，從而，即也是的一