橋梁設計理論secret

1、第六講 薄壁桿件的約束扭轉第一節(jié) 基本假定薄壁桿件的自由扭轉是指桿件受扭時，截面的縱向翹曲位移不受約束，因而縱向翹曲應變和相應的正應力都不存在。當截面的縱向翹曲位移受到約束時，便產(chǎn)生約束正應力和相應的附加剪應力，這便是約束扭轉。約束扭轉的分析，可以從確定截面上縱向翹曲位移著手，進而利用彈性理論的幾何方程確定縱向翹曲應變；利用物理方程確定翹曲正應力；最后利用微單元的平衡方程確定相應的翹曲剪應力。薄壁桿件的約束扭轉分析中，除沿用前兩章的若干基本假定（包括平面假定、線性假定、小變形假定和周邊投影不變形假定）外，補充的基本假定有：1、約束扭轉產(chǎn)生的正應力和剪應力沿壁厚均勻分布（參見圖5-7），并且桿件

2、縱向纖維不存在正應力。據(jù)此假定，由圖3-2所示薄壁單元體在軸方向的平衡條件，可得到截面正應力和剪應力間的微分關系，即式（3-19） （6-1）（3-19）2、在約束扭轉分析中，桿件縱向翹曲位移采用自由扭轉時的表達式。根據(jù)彈性理論，參照圖6-1，薄壁單元體的剪切應變?yōu)椋?（6-2）圖6-1由周邊投影不變形假定有：。這里，為扭轉角，為扭轉中心到點切線的垂直距離（見圖3-4），于是式（6-2）可寫為：那么，縱向翹曲位移的一般表達式便可由此積分求得，即 （6-3）式中為=0處的翹曲位移值。參照第三講剪力中心推導中關于扇性坐標的定義有： （6-4）（3-30-1）式中為自積分起點至扇性零點（=0，到點所

3、包圍的扇性面積的2倍。于是，縱向翹曲位移的一般表達式（6-3）可寫為： （6-5）對于開口薄壁桿件，其在中面上的自由扭轉剪應變，代入上式便得截面的縱向翹曲位移表達式 （6-6）對于閉口薄壁桿件，其在中面上的自由扭轉剪應變，根據(jù)虎克定律，分別按單室或多室閉口截面確定剪應力剪應變。對于單室截面，剪應力由式（5-38）給出，于是，剪應變可寫成： （6-7）式中自由扭轉矩 （6-8）將式（6-7），式（6-8）代入式（6-3），化簡后便可得： （6-9-1）或 （6-9-2）其中： （6-10）稱為廣義扇性坐標，它表示產(chǎn)生單位扭轉角（時的縱向翹曲位移，因此，常稱為單位翹曲。顯然，其中第二項則為計及中面

4、自由扭轉變形影響的修正項，此即與開口截面（）的差別所在。對于多室截面，在剪切變形表達式中，引入相應的剪力流，即將以下各式：代入中得到多室截面自由扭轉變形剪應變： 對于截面周界壁和交界壁則分別為：截面周界壁上： （6-11-1）截面交界壁上： （6-11-2）將式（6-11）代入式（6-3）后積分，得到多室截面翹曲位移表達式如下：周界壁： 交界壁： 或統(tǒng)一寫成： （6-12）式中：周邊 （6-13-2）交界 （6-13-2）上式展開并引入扇性坐標后，改寫為：周界壁 （6-14）交界壁 稱為閉口截面的廣義扇性坐標，當以扭轉中心為極點，以主扇性零點（）為積分起點（=0）時，則稱為主廣義扇性坐標。上述

5、推導中均引用了自由扭轉的剪切特性。為計及約束扭轉引起的翹曲剪應力的影響，蘇聯(lián)學者YMANCK建議以一待定函數(shù)來代替扭轉角，即將式（6-12）寫成： （6-15）這便是閉口截面約束扭轉翹曲位移的表達式，它具有與開口截面翹曲位移式（6-6）相似的形式。由于式（6-5）為縱向翹曲位移的一般表達式，其中剪應變沿用了自由扭轉的有關公式，對于開口截面，式（6-6）中顯然忽略了沿壁厚均勻分布的約束扭轉剪應力產(chǎn)生的剪應變；對于閉口截面，式（6-15）也只是近似地計及了約束扭轉剪應力的影響。故本書將縱向翹曲位移表達式（6-6），式（6-15）視為約束扭轉分析的一種基本假定。第二節(jié) 開口薄壁桿件的約束扭轉本節(jié)將按

6、上節(jié)指明的約束扭轉分析步驟討論開口薄壁桿件的約束扭轉問題。一、縱向翹曲位移如上節(jié)所述，開口薄壁截面的縱向翹曲位移這里，為以扭轉中心為極點，任選曲線坐標起算點的扇性坐標，其中為待定的積分函數(shù)，它表示起算點處的縱向翹曲位移。二、約束扭轉的正應力引用彈性理論的幾何方程，可直接寫出縱向翹曲應變?yōu)椋焊鶕?jù)物理方程虎克定律及桿件縱向纖維間不存在正應力的基本假定，可得出約束扭轉正應力為： （6-16）式中待定函數(shù)可由靜力學方程來確定，注意到截面內(nèi)力中除外，其余內(nèi)力，因此，約束扭轉正應力在截面上是自相平衡的，即其合力為零。 （6-17）注意到,將式（6-16）代入式（6-17）后得到待定積分函數(shù) （6-18）將

7、式（6-18）代回式（6-16）有： （6-19）適當?shù)剡x擇曲線坐標起算點（=0），使積分式（6-19）中，。相應的起算點稱為主扇性零點，當滿足條件式（6-19）有幾個點時，則以距扭轉中心最近的扇性零點為主扇性零點。基于主扇性零點的坐標稱為主扇性坐標，利用這一特點，當主扇性零點易于判斷確定時，將簡化主扇性坐標地計算，詳見第五節(jié)算例。對于主扇性坐標，由式（6-18）得到： 或 =常數(shù) 其物理意義為：主扇性零點處的縱向翹曲位移為沿桿軸向為常數(shù)。即主扇性零點處無翹曲應變，翹曲正應力為零。于是，用主扇性坐標表達翹曲位移時，時（6-19）可簡化為： （6-20）即翹曲正應力按主扇性坐標（）的規(guī)律分布。三

8、、約束扭轉剪應力利用式（6-1）表示扭轉正應力與剪力流的關系式 （6-21）將式（6-20）表示的約束正應力代入上式移項后積分，可得開口薄壁截面約束扭轉剪力流：或 （6-22）其中： （6-23）稱為扇性靜矩。 顯然，式（6-22）中積分常數(shù)為積分零點處的剪力流。對于開口薄壁截面，當積分零點選在開口處的自由邊緣時，則約束扭轉剪力流的最后表達式（6-22）可簡化為： （6-24）而約束扭轉剪應力為： （6-25）觀察上述各式可知，開口薄壁桿件約束扭轉正應力和剪應力的計算涉及到扭轉變形和，因此，需先求出桿件的約束扭轉變形（在下一講討論），再根據(jù)截面的扭轉中心和主扇性零點，計算主扇性坐標和扇性近矩，

9、最后利用式（6-20）及式（6-25）求算開口薄壁截面約束扭轉的正應力和剪應力。四、約束扭轉雙力矩和約束扭轉力矩在前二章關于彎曲和自由扭轉分析中，彎曲正應力，彎曲剪應力，自由扭轉剪應力等都采用截面內(nèi)力以及截面幾何特性來表示，而本章約束扭轉正應力和剪應力則沒有以相應的截面內(nèi)力表示。為取得更為直觀的物理概念，將約束扭轉正應力和剪應力與截面內(nèi)力和幾何特性相聯(lián)系，因此式（6-20）和式（6-25）表示的約束扭轉正應力和剪應力合成為截面內(nèi)力。令 （6-26）則： （6-27）注：式中由于為主扇性坐標，因此，。 其中： （6-28）稱為截面的主扇性慣矩。為約束扭轉剪應力合成的力矩。故稱為約束扭轉力矩。則稱

10、為約束扭轉雙力矩，它是正應力以扇性坐標為“力臂”合成的廣義力矩。在如圖6-2a所示的工字型截面中，表現(xiàn)為大小相等方向相反，分別作用在兩翼緣板內(nèi)的一對力偶，故形象的稱之為雙力矩。從圖6-2b）也可看到對應于這樣的雙力矩，截面變形呈“翹曲”狀態(tài)，故這種約束扭轉正應力和剪應力又稱為翹曲正應力和翹曲剪應力。a)圖b)翹曲變形圖6-2顯然，由式（6-26）、（6-27）可見，約束扭轉雙力矩和約束扭轉力矩之間有下列微分關系： （6-29）將式（6-26）表示的及式（6-27）表示的代回式（6-20）及式（6-25），可得到用截面內(nèi)力和幾何特性表示的約束扭轉正應力及剪應力計算公式如下： （6-30）五、約束

11、扭轉與梁平面彎曲的比較分析式（6-26）、（6-27）、（6-29）及式（6-30）可見，約束扭轉的基本方程與梁的平面彎曲基本方程具有相似的數(shù)學表達式。為便于記憶。現(xiàn)將二者綜合比較列于表6-1。梁的平面彎曲與開口截面約束扭轉比較 表6-1內(nèi)容平面彎曲（平面）約束扭轉位移撓度轉角扭轉角單位扭轉角截面幾何特性靜矩慣矩扇性靜矩扇性慣矩內(nèi)力彎矩剪力分布荷載扭轉雙力矩扭轉力矩分布扭矩應力正應力剪應力正應力剪應力微分方程第三節(jié) 閉口薄壁桿件的約束扭轉一、縱向翹曲位移閉口截面約束扭轉的縱向翹曲位移采用式（6-15），它具有與開口截面相似的形式，以代替，以待定函數(shù)代替扭轉角，即有： （6-31）（6-15）二

12、、單室閉口截面的約束扭轉正應力由于閉口截面的縱向翹曲位移具有與開口截面完全相似的形式，故其約束扭轉正應力可對比開口截面直接寫出，不再推導。 （6-32）（6-20）而 （6-33）（6-19）如果用約束扭轉雙力矩表示，則有： （6-34）（6-26） （6-35）（6-30） （6-36）（6-28）其中可用與圖圖乘計算得出。三、單室閉口截面的約束扭轉剪應力約束扭轉剪應力同樣可對比開口截面的扭轉剪應力公式（6-22）及式（6-23）直接寫出。 （6-37）其中： （6-38）閉口截面沒有自由邊緣，值不能直接定出，參照第三講第五節(jié)閉口截面彎曲剪應力的做法，將閉口截面“切開”使其成為開口截面，在切

13、口處加上贅余力，若曲線坐標積分起點取在切口處，則式（6-37）中即為切口處的贅余力，而即為相應的開口截面剪力流。仍根據(jù)切口處的變形連續(xù)條件求解，即 （6-39）將式（6-37）代入，移項得： （6-40）將式（6-40）代回式（6-37）得： （6-41）其中： （6-42）稱為廣義扇性近矩。于是，得到閉口截面的約束扭轉剪力流 （6-43）和開口截面類似，引入約束扭轉力矩，則有： （6-44）（6-27） （6-45）（6-28） （6-46）（6-30）四、多室閉口截面的約束扭轉剪應力對于多室截面，仿照第三講第五節(jié)將各室“切開”，確定各室贅余剪力流，與各室安開口截面解得的約束扭轉剪力流疊加，

14、即參照式（2-41）不難求出多室閉口截面約束扭轉的總剪力流。即 （周邊） （6-47-1） （交界） （6-47-2）其中仍由各室切口處的變形連續(xù)條件給出的線形方程組求解。即由式（6-47），并根據(jù)虎克定律及剪力流的定式（2-3），便有：代入前式，并注意到在截面上=常數(shù)（與的坐標無關），得到線性方程 （6-48）式中開口截面約束扭轉剪力流可仿照（6-30）寫成 （6-49）代入式（6-48）并移項后得到： （6-50）用式（6-50）除以，并令：； （6-51）于是，式（6-50）轉化為： （6-52）（3-41）對于室閉口截面，此式提供了求解的線形方程組，而未知數(shù)則表示當時，各室的約束扭贅余

15、剪力流。顯然，當基本體系（開口截面）對于主扇性坐標的靜矩為已知時，即可根據(jù)（6-52）求解。將式（6-51）及式（6-49）代入（6-47）便有： （6-53）其中： （周邊） （6-54-1） （交界） （6-54-2）稱為多室截面的廣義扇性靜矩，它表示截面約束扭轉翹曲剪力流的分布規(guī)律，故又稱為約束扭轉翹曲剪力流的分布函數(shù)。至于多室截面的主扇性慣矩，則由單室截面的定義式（6-45）不難寫出 （6-55）可應用圖進行圖乘計算，式中表示截面的壁段。第四節(jié) 薄壁截面的扇性特性上兩節(jié)分析表明，無論開口或閉口截面，約束扭轉的分析都歸結為與彎曲分析相類似的的形式，但具體求解則繁復的多。首先是相應于撓度的

16、扭轉角系約束扭轉和自由扭轉的綜合效應，因而還不能按表6-1給出的扭轉角微分方程單獨求解。此外。截面扇性幾何特性的計算也遠較彎曲分析中幾何特性的計算復雜得多，為此，將開口和單室閉口截面的扇性幾何特性的一般公式歸納于表6-2。項目開口截面單室閉口截面多室閉口截面扇性坐標主扇性坐標(1)以扭轉中心S為極點(2)(1)以扭轉中心S為極點(2) 條件同左.扇性靜矩零點取在開口邊緣扇性零點取在切口處扇性零點取在切口處扇性慣矩第五節(jié) 算 例例6-1 如圖2-6a）、b）所示單箱雙室截面和工字型截面，試分別計算其主扇性坐標，主扇性靜矩，主扇性慣矩。截面尺寸如圖所示?！窘狻渴紫葘㈤_口截面和閉口截面約束的計算公式

17、對比如下，以便確定計算步驟。項目開口截面閉口截面雙力矩其中：其中：約束扭轉力矩約束扭轉正應力其中：其中：約束扭轉剪應力其中：其中：由上述各式可知，薄壁桿件約束扭轉計算的步驟是：1、計算截面形心及形心主軸；2、以形心為極點，任選扇性零點；3、計算截面對形心主軸的慣矩；4、計算截面扭轉中心的坐標（）及主扇性零點；5、計算截面主扇性坐標或；6、求主扇性慣矩及極慣矩（下一講討論）；7、求扭轉微分方程，求扭轉變形；8、求及（或及）；9、計算翹曲應力及（或及）；一、確定截面坐標由扭轉中心的計算公式（3-28）、（3-31）、（3-45）及式（3-51）不難得知，無論開口和閉口截面，截面的對稱中心即為剪力中

18、心（扭轉中心）。又由式（6-19）可以推知，對稱軸與截面中線的交點均為扇性零點，而扭轉中心最近的扇性零點為主扇性零點。應用這些結論可以省去許多繁冗的計算。本例因中腹板通過對稱中心，故扇性零點均與對稱中心重合。二、工字型截面1、主扇性坐標由式（6-4）及式（6-19）式中系扭轉中心為極點，主扇性零點（）為積分起點（=0），曲線坐標以繞扭轉中心逆時針為正，對于工字型截面（見圖6-3），據(jù)上述分析，應以為起始矢徑進行計算，故由圖（6-3a）有：(0)-1.51.51.5-1.5-0.075-0.075a)構造圖a)圖a)圖兩層鋼筋網(wǎng)兩層鋼筋網(wǎng)1.51.51.01.0圖6-3段：；段：=1.51.0=

19、1.5（m2）段：=1.5（-1.0）=-1.5（m2）利用截面的對稱性（呈反對稱），做圖如圖（6-3b）所示。2、主扇性靜矩以開口截面自由邊（圖6-3中的或）為積分起點（滿足=0），曲線坐標以繞扭轉中心逆時針轉為正。由圖（6-3b）可知，為的線形函數(shù)，即=-1.5（1.0） （a）務必指出，在求圖時采用的積分起點（=0）和這里求可以不一致，但當將式（a）代入（6-23）具體計算時，就應將已有的與取相同的積分起點建立方程，如上式所示。已知翼緣壁厚=0.1m，于是將（a）代入（6-23）得：即 （b）則各特征點的為：點： 點： （c）點： 利用對稱性，作出圖如圖（6-3c）所示。主扇性慣矩對圖（

20、見圖6-3b）應用圖乘法得到：三、單箱雙室截面單箱雙室截面的扭轉中心、主扇性零點均位于對稱中心。1、主廣義扇性坐標由式（6-14）知廣義扇性坐標為： （d）其中相應的開口截面扇性坐標如式（6-4） （e）由于上二式計算均取主扇性零點為積分起點，故式（d）、式（e）即為相應的主扇性坐標及。現(xiàn)已知道=0.1m，由第三章例3-1已求得，故對于截面周邊由式（6-13）有： （f）即 對于交界腹板，因其通過扭轉中心，且，故 （g）于是，根據(jù)式（e），取點為切點，并以該點為各點曲線坐標的起算點（見圖6-4b），計算如下：（注意到之為零）按式（f）計算，如圖（6-4c）所示。左點 1.2=0 （）點 1.2

21、=1.20（m2）點 1.2=4.80（m2）點 1.2=7.20（m2）點 1.2=10.80（m2）右點 1.2=12.00（m2）將圖（6-4b）疊加，即得到主廣義扇性坐標圖，容易看出，沿周邊s呈線形分布，其各特征點的坐標（如圖6-4d）所示為：2、廣義扇性慣矩根據(jù)式（6-3b）及圖，不難計算廣義扇性慣矩 （h）于是根據(jù)圖（圖6-5d）應用圖乘法有：3、相應的開口截面靜矩將截面在某一位置（圖6-4e）切開，使其成為開口（靜定）截面，其相應的靜矩 （k）現(xiàn)=0。10m，由于圖為的線形函數(shù)，故知為的二次函數(shù)。取切口處為積分起點=0，計算的特征點值如下：點 點 點 點 點 由圖不難推知，應呈正

22、對稱，應用二者的微分關系，便可確定圖的凹凸性，得出圖如圖（6-4e）所示4、廣義扇性靜矩根據(jù)式（6-54）廣義扇性靜矩其中需求解線性方程組（6-52）確定，即 （） 1.01.0縱向預應力筋縱向預應力筋1.5縱向預應力筋縱向預應力筋1.5縱向預應力筋縱向預應力筋-7.2縱向預應力筋縱向預應力筋-4.8縱向預應力筋縱向預應力筋-1.2縱向預應力筋縱向預應力筋-10.8縱向預應力筋縱向預應力筋-12.0縱向預應力筋縱向預應力筋10.5縱向預應力筋縱向預應力筋12.0縱向預應力筋縱向預應力筋兩層鋼筋網(wǎng)兩層鋼筋網(wǎng)7.5縱向預應力筋縱向預應力筋4.5縱向預應力筋縱向預應力筋1.5縱向預應力筋縱向預應力筋

23、-0.3縱向預應力筋縱向預應力筋0.3縱向預應力筋縱向預應力筋-0.3縱向預應力筋縱向預應力筋0.3縱向預應力筋縱向預應力筋0.015縱向預應力筋縱向預應力筋0.015縱向預應力筋縱向預應力筋0.015縱向預應力筋縱向預應力筋0.015縱向預應力筋縱向預應力筋0.0375縱向預應力筋縱向預應力筋0.0375縱向預應力筋縱向預應力筋0.02縱向預應力筋縱向預應力筋0.02縱向預應力筋縱向預應力筋0.02縱向預應力筋縱向預應力筋0.02縱向預應力筋縱向預應力筋-0.02縱向預應力筋縱向預應力筋-0.005縱向預應力筋縱向預應力筋0.005縱向預應力筋縱向預應力筋-0.005縱向預應力筋縱向預應力筋0.005縱向預應力筋縱向預應力筋-0.02縱向預應力筋縱向預應力筋0.0175縱向預