例談數(shù)學翻折問題的解題方法(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上例談初中數(shù)學翻折問題的解題方法翻折作為幾何變換的一種,在中考試卷中愈來愈受命題人的青睞,主要原因是想通過在考査平面幾何變換的基礎知識點的同時也要學生學會掌握運用數(shù)學思想與方法解決問題的能力。初中數(shù)學中的幾何變換一般是指平移、對稱（翻折）和旋轉(zhuǎn).數(shù)學課程標準在課程目標中已明確指出“經(jīng)歷探索物體與圖形的基本性質(zhì)、變換、位置關系的過程”，我們知道，圖形的變換不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置，故解題時可充分利用圖形變換的特征，把圖形位置進行改變，從而達到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，進一步整合圖形（題設）信息的目的，使較為復雜的問題得以創(chuàng)造性地解決。 要求初中階段的學生理解基本的幾何

2、變換,通過有關數(shù)學知識的技能學習,逐步領會方程思想、函數(shù)思想、分類討論思想等基本數(shù)學思想。筆者下面以近幾年各地中考中的翻折問題為例,簡單敘述翻折問題的解答過程以及涉及到的數(shù)學思想與方法。一、紙片中的折疊例1如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則的度數(shù)等于（） 解： = 1，2 = 1 = 22+AEB=180°，即2+30°=180°，解得=75°本題考查的是平行線的性質(zhì)，同位角相等，及對稱的性質(zhì)，折疊的角與其對應角相等，和平角為180度的性質(zhì)，注意EAB是以折痕AB為底的等腰三角形。例2如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC，使CAB=45°，則后

3、重合部分的面積為 。解：作CDAB，CEAB，1=2，根據(jù)翻折不變性，1=BCA，故2=BCAAB=AC又CAB=45°，在RtADC中，AC = ，AB = SAB×CD = 在折疊問題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補充完整，對于矩形（紙片）折疊，折疊后會形成“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個以折痕為底邊的等腰三角形ABC。二、三角形中的折疊例3、在ABC中，已知A=80°，C=30°，現(xiàn)把CDE沿DE進行不同的折疊得CDE，對折疊后產(chǎn)生的夾角進行探究：（1）如圖（1）把CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內(nèi)，則求1+2的和；（

4、2）如圖（2）把CDE沿DE折疊覆蓋A，則求1+2的和；（3）如圖（3）把CDE沿DE斜向上折疊，探求1、2、C的關系分析：（1）根據(jù)折疊前后的圖象全等可知，1=180°-2CDE，2=180°-2CED，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；（2）連接DG，將ADG+AGD作為一個整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求；（3）將2看作180°-2CED，1看作2CDE-180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求解：（1）如圖(1) 1+2=180°- 2CDE +180°- 2CED=360°- 2（CDE+CED）=360°-

5、2（180°- C）=2C=60°；（2）如圖(2)連接DG，1+2=180°- C-（ADG +AGD）=180°-30°-（180°-80°）=50°；（3）如圖(3) 2-1=180°- 2CED -（2CDE - 180°）=360°- 2（CDE + CED）=360°- 2（180°- C）=2C所以：2 - 1=2C由于等腰三角形是軸對稱圖形，所以在折疊三角形時常常會出現(xiàn)等腰三角形。例4：如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中

6、點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；設Pn-1Dn-2的中點為Dn-1，第n次紙片折疊，使A與點Dn-1重合，折痕與AD交于點Pn（n2），則AP6長（）解：AD = 第一次折疊后，AP1 = P1D，P1D1 = D1DAP1 = = 第二次折疊后，AP2 = P2D1，P2D2 = D2D1AP2 = = = = 第三次折疊后，AP3 = P3D2AP3 = = = = = 即當n = 1時，AP1

7、= = 當n = 2時，AP2 = = 當n = 3時，AP3 = = 則第n次折疊后，APn = 故AP6 = 此題考查了翻折變換的知識，解答本題關鍵是寫出前面幾個有關線段長度的表達式，從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力。三、矩形中的折疊例5如圖，沿矩形ABCD的對角線BD折疊，點C落在點E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折疊后重合部分的面積分析：點C與點E關于直線BD對稱，1 = 2ADBC，1 = 32 = 3FB = FD設FD = x，則FB = x，F(xiàn)A = 8 x在RtBAF中，BA2 + AF2 = BF262 + (8 - x)2 = x2解得x = 所以

8、，陰影部分的面積SFBD = FD×AB = ××6 = cm2重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形例6：矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應點A落在線段BC上，再打開得到折痕EF （1）當A與B重合時（如圖1），EF= ；當折痕EF過點D時（如圖2），求線段EF的長； （2）觀察圖3和圖4，設BA=x，當x的取值范圍是 時，四邊形AEAF是菱形；在的條件下，利用圖4證明四邊形AEAF是菱形圖1 圖2 圖3 圖4解： (1) 5 由折疊（軸對稱）性質(zhì)知 ° 在Rt中，=3 設，則 在Rt中， 解得： 在Rt中，（2）

9、 證明：由折疊（軸對稱）性質(zhì)知 又 BC AFE=FEA AEF=AFE AE=AF 四邊形是菱形 注意折線的變化，使得得到的圖形也發(fā)生變化，翻折是全等變換，關注對應邊、對應角的相等，結(jié)合勾股定理，平行線的性質(zhì)就可解決問題。四、圓中的折疊例7如圖，將半徑為8的O沿AB折疊，弧AB恰好經(jīng)過與AB垂直的半徑OC的中點D，則折痕AB長為 。解：延長CO交AB于E點，連接OB，CEAB，E為AB的中點，由題意可得CD=4，OD=4，OB=8，DE = (8×2 - 4) = 6OE=6-4=2，在RtOEB中，根據(jù)勾股定理可得：AB = 注意折疊過程中形成的對應邊，利用勾股定理求解例8如圖，將弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D，若AD=5，DB=7，則BC的長是多少？解：連接CA、CD；根據(jù)對稱的性質(zhì)，得：弧CB = 弧BDCCAB=CBD+BCD；CDA=CBD+BCD，CAD=CDA，即CAD是等腰三角形；過C作CEAB于E，則AE=DE=2.5；BE=BD+DE=9.5；在RtACB中，CEAB，ABCCBE，得：BC2=BEAB=9.5×12=114；故BC= 此題考查的是對稱的性質(zhì)、圓周角定理、以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠根據(jù)圓周角定理