否命題與命題否定工科

1、否命題與命題的否定一、識別否命題與命題的否定1 命題p的否命題：既否定命題p的條件又否定命題 p的結(jié)論，即若p表示命題“若 A則B ”，則其否命題是“若非 A，則非B ”。2 “非p ”叫做命題p的否定，對命題p怎樣否定呢？保留其條件，否定其結(jié)論，即如果命題p是“若A，則B ”，那么命題“非p ”是：若A，則非B。由此可知命題p與 p的條件相同，結(jié)論相反；命題 p與p的真假相反；一（一卩）=p。二、區(qū)別否命題與命題的否定1.注意區(qū)分“命題的否定”與“否命題”這兩個不同的概念。 命題p的否定為“非p ”, 記作-p，般只是否定命題 p的結(jié)論，否命題是對原命題“若p則q ”既否定它的條件，又否它的

2、結(jié)論。2“非”是否定的意思，一個命題 p經(jīng)過使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”，構(gòu)成了一個復(fù)合命題“非p ”，從集合的角度可以看作是 p在全集U中的補(bǔ)集CuP。“非”的含義有四條： “非p ”只否定p的結(jié)論； p與“非p ”的真假必須相反； “非p ”必須包含p的所有對立面； “非p ”必須使用否定詞語。三、實例幫您理解否命題與命題的否定在學(xué)習(xí)本節(jié)時，有些同學(xué)對命題的否定不知如何把握，很容易與否命題混淆， 下面以具體實例作一比較。若p是一個命題，則 一p是p的否定，它是對整個命題進(jìn)行否定。命題“若p則q ”的否命題是“若 p則q ”，即對命題的題設(shè)與結(jié)論同時否定，例 如： 命題：（所有）質(zhì)數(shù)不都是奇數(shù)（真）

3、；否定形式：（所有）質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)（假）；否命 題：有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)（真）。 命題：面積相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面積相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命題：面積不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。四、“或”、“且”連結(jié)的命題的否定形式“ p或q ”的否定是“非p且非q ”；“ p且q ”的否定形式是“非 p或非q ”。它類 似于集合中的“ Cu（aUb）=（Cj A）Pl（CuB）、Cj（A PlB） = （Cu A）U（CuB） ”，如“實數(shù) x與y均為零”的否定是“ x與y中至少有一個不為零”，而不是“ x與y都不為零”；“實 數(shù)x與y中至少有一個為零”的否定是

4、“ x與y均為零”。五、命題的否定形式、否命題與原命題的真假關(guān)系表:原命題否定形式否命題真假與原命題的真假無關(guān)與逆命 題真假相同假真六、命題中關(guān)鍵詞的否定表把握好命題的否定和正確地寫出命題的否命題，必須掌握一些關(guān)鍵詞的否定，見下表:關(guān)鍵 詞大(小)于是有全部任何，所有 的至少 有一 個至多 有一 個對任意xw A使p(x)真否定不大(小) 于不 是無不全，不 都某些，有幾 個一個 也沒 有至少 有兩 個存在xu A使p(x)假七、含有一個量詞的命題的否定 含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論:全稱命題 p :- X，M , p(x)，它的否定 一p : -x- M, p(x)全稱命題的否

5、定是存在性命題。含有一個量詞的存在性命題的否定，有下面的結(jié)論：存在性命題p : -!xM,p(x)，它的否定：p : -xM,p(x)存在性命題的否定是全稱命題八、典型例題剖析例1寫出命題“若 m < 2或n < 3，則m n < 5 ”的否命題錯解一：否命題為“若 m w 2或n < 3，則m n 5 ”錯解二：否命題為“若 m 2或n .3，則m n .5 ”。錯解剖析：這兩種結(jié)論都是錯誤的，在寫否命題時，首先要分清是“否命題”還是“命 題的否定”?！胺衩}”是對條件與結(jié)論分別否定，而“命題的否定”是只對結(jié)論的否定。即 若原命題為 A= B，那么它的否命題是非 A=

6、非B，而命題的否定是 A=非B。其次要 注意對“且”與“或”的否定。一般來說，“且”的否定是“或”，而“或”的否定是“且”。正解：原命題的否命題為：若m2且n3，則m，n5。例2寫出下列命題的否定，并判斷其真假2 1(1) p : -R, X-X > 0 ； (2) q :所有的正方形都是矩形；(3) r : xR,42 2x 2x 2 w 0 ； (4) s :至少有一個實數(shù) x，使x *1=0。1解：(1) p : x R, x -x 0。(假)42 11 2這是由于一R , X2 -X (x)2 > 0恒成立；42(2) q :至少存在一個正方形不是矩形。(假)2(3) r

7、: -x R, x 2x 20。(真)這是由于，R, x2 2x (x 1)21 > 00成立。例3已知命題p :存在一個實數(shù)x，使得x2 - x - 2 ： 0 ,寫出一 p。分析：命題p有兩種答案：(1)存在一個實數(shù) x，使得x2x2 > 0 ;或(2)不存在一個實數(shù)X，使得x -x-2 : 0。這兩個答案哪一種正確？2 2 解：由x -x-2 :： 0=仁：x :： 2。故原命題p是真命題。又x=3時，x -X-2.0 ,所以分析中答案（1）也是真命題。而 p與p的真假性相反，所以（1）是錯誤的。答案（2）是正確的。事實上，我們不妨把命題 p改寫成：若一個不等式是x2 - x - 2 ： 0 , 則存在一個實數(shù)x使這個不等式成立。由此可知，答案（ 2）才是否定了命題 p的結(jié)論，得 到了“ -p ”。例4寫出命題“若x