概率論與數(shù)理統(tǒng)計小結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計小結(jié)第一章  隨機(jī)事件及其概率§1.1 隨機(jī)事件概率論里所研究的試驗具有下列特點：（1）在相同的條件下試驗可以重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗之前可以明確試驗的所有可能結(jié)果；（3）在每次試驗之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗將出現(xiàn)哪一種結(jié)果。（一）隨機(jī)事件的概念在概率論中，將試驗的結(jié)果稱為事件。每次試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量試驗中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事件（或偶然事件），簡稱為事件。這種不能分解成其它事件組合的最簡單的隨機(jī)事件稱為基本事件。每次試驗中一定發(fā)生的事件稱為必然事件，用符號 表示，每次試驗中一定不發(fā)生的事件稱為不可

2、能事件，用符號 表示。（三）事件間的關(guān)系及其運算5 / 5文檔可自由編輯打印1、事件的包含2、事件的相等3、事件的并（和）4、事件的交（積）5、事件的差6、互不相容事件如果事件 與 不能同時發(fā)生，即 ，稱事件 與 互不相容（或稱互斥）。互不相容事件 與 沒有公共的樣本點。7、對立事件事件“非 ”稱為 的對立事件（或逆事件）。它是由樣本空間中所有不屬于A的樣本點組成的集合。記作   8、完備事件組若事件 為兩兩互不相容的事件，并且 稱 構(gòu)成一個完備事件組。§1.2 概率（一）概率的統(tǒng)計定義定義1.1  在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行 次試驗，事件 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常

3、數(shù) 附近擺動。且一般說來， 越大，擺動幅度越小，則稱常數(shù) 為事件 的概率，記作 。（二）概率的古典定義定義1.2  若試驗結(jié)果一共由 個基本事件 組成，并且這些事件的出現(xiàn)具有相同的可能性，而事件 由其中某 個基本事件 組成，則事件 的概率可以用下式計算： （其中 ：有利于 的基本事件數(shù)， ：試驗的基本事件總數(shù)）這里 構(gòu)成一個等概完備事件組。§1.3 概率的加法法則加法法則  兩個互斥事件之和的概率等于它們概率的和。即當(dāng) 時，           (1.2)實際上，只要 式就成

4、立。§1.4 條件概率與乘法法則（一）條件概率 定義1.3   在事件 已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件 發(fā)生的概率，稱為事件 在給定 下的條件概率，簡稱為 對 的條件概率，記作 。相應(yīng)地，把 稱為無條件概率。（二）乘法法則乘法法則  兩個事件 之交的概率等于其中任一個事件（其概率不為零）的概率乘以另一個事件在已知前一個事件發(fā)生下的條件概率。即               (1.10)§1.5 獨立試驗概型

5、（一）事件的獨立性定義1.4  如果事件 發(fā)生的可能性不受事件 發(fā)生與否的影響，即 ，則稱事件 對于事件 獨立。顯然，若 對于 獨立，則 對于 也一定獨立，稱事件 與事件 相互獨立。定義1.5  如果 個事件 中任何一個事件發(fā)生的可能性都不受其它一個或幾個事件發(fā)生與否的影響，則稱 相互獨立。第二章  隨機(jī)變量及其分布§2.1 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量是建立在隨機(jī)事件基礎(chǔ)上的一個概念。既然事件發(fā)生的可能性對應(yīng)于一定的概率，那么隨機(jī)變量也以一定的概率取各種可能值。按其取值情況可以把隨機(jī)變量分為兩類：（1）離散型隨機(jī)變量可能取有限個或無限可列個值；（2）非離散型

6、隨機(jī)變量可以在整個數(shù)軸上取值，或至少有一部分值取某實數(shù)區(qū)間的全部值。本書只研究離散型及連續(xù)型隨機(jī)變量兩種。§2.2  隨機(jī)變量的分布（一）離散型隨機(jī)變量的分布定義2.1 如果隨機(jī)變量 只取有限個或可列個可能值，而且以確定的概率取這些不同的值，則稱 為離散型隨機(jī)變量。（二）隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義2.2  若 是一個隨機(jī)變量（可以是離散型的，也可以是非離散型的），對任何實數(shù) ，令              稱 是隨機(jī)變量 的分布

7、函數(shù)。分布函數(shù)具有下面幾個性質(zhì)：(1) ，對一切 成立；(2) 是 的不減函數(shù)；(3) (4) 至多有可列個間數(shù)點，而在其間斷點上也右連續(xù)的。（三）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布定義2.3  對于任何實數(shù) ，如果隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 可以寫成 其中 ，則稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱 為 的概率分布密度函數(shù)，也常寫為 。它具有下列兩個最基本的性質(zhì)： 第三章  隨機(jī)變量的數(shù)字特征§3.1 數(shù)學(xué)期望定義3.1  離散型隨機(jī)變量 有概率函數(shù)： ,若級數(shù) 絕對收斂，則稱這級數(shù)為 的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。記為 ，即     定義3.2 

8、 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 有概率密度 ，若積分 絕對收斂，則               稱為 的數(shù)學(xué)期望。§3.2  數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）常量的期望就是這個常量本身，即 。（2）隨機(jī)變量 與常量之和的數(shù)學(xué)期望等于 的期望與這個常量的和。（3）常量與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個常量與隨機(jī)變量期望的乘積。（4）隨機(jī)變量線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個隨機(jī)變量期望的同一線性函數(shù)。（5）兩個隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望等于這兩個隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和。 

9、(6)兩個相互獨立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué)期望的乘積,即            (3.5)§3.4  方差（一）方差的概念定義3.4   隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望，稱為隨機(jī)變量的方差，記作 或 。而 稱為 的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差根)。         （3.13）（二）方差的性質(zhì)（1）常量的方差等于零。（2）隨機(jī)變量與常量之和的方差就等于這個隨機(jī)變量的方差本身。（3） 常量與隨機(jī)變

10、量乘積的方差，等于這常量的平方與隨機(jī)變量方差的乘積。（4）兩個獨立隨機(jī)變量之和的方差，等于這兩個隨機(jī)變量方差的和。 (5)任意隨機(jī)變量的方差等于這個隨機(jī)變量平方的期望與其期望的平方之差：       （3.17）第四章 幾種重要的分布§4.1  二項分布（一）隨機(jī)變量 的分布律  定義41如果隨機(jī)變量 有概率函數(shù)        (4.1)其中 ，則稱 服從參數(shù)為 的二項分布。簡記作 。公式（41）稱為二項分布公式或貝努里公式。

11、（二）二項分布的期望和方差 （三）二項分布的最可能值           當(dāng)  是整數(shù)時         （4.3）§4.2 超幾何分布定義4.2  設(shè) 個元素分為兩類，有 個屬于第一類， 個屬于第二類 。從中按不重復(fù)抽樣取 個，令 表示這 個中第一（或二）類元素的個數(shù)，則 的分布稱為超幾何分布。其概率函數(shù)是：         

12、     §4.3 普哇松分布 定義43  如果隨機(jī)變量 的概率函數(shù)是        其中 ，則稱 服從普哇松（Poisson）分布。           同樣的方法可以計算出 ，所以          普哇松分布常見于所謂稠密性的問題中。如一段時間內(nèi)，電話用戶對電話臺的呼喚次數(shù)

13、、候車的旅客數(shù)、原子放射粒子數(shù)、織機(jī)上斷頭的次數(shù)，以及零件鑄造表面上一定大小的面積內(nèi)砂眼的個數(shù)等等。§4.4 指數(shù)分布定義4.4   如果隨機(jī)變量 的概率密度為    其中 ，則稱 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。指數(shù)分布常用來作為各種“壽命”分布的近似。如隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間、某些消耗性產(chǎn)品（電子元件等）的壽命等等，都常被假定服從指數(shù)分布。§4.6 正態(tài)分布    正態(tài)分布是最常見的也是最重要的一種分布。它常用于描述測量誤差及射擊命中點與靶心距離的偏差等現(xiàn)象。另外，許多產(chǎn)品的物理量，如青磚的抗壓強度、細(xì)紗的

14、強力、螺絲的口徑等隨機(jī)變量，它們的分布都具有“中間大、兩頭小”的特點。 （）正態(tài)分布的概率密度    定義4.6  如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為             其中 為常數(shù)，并且 ，則稱 服從正態(tài)分布，簡記作 可以計算出        特別地，當(dāng) 時， 可以寫成          稱它為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，簡記作 （二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度 的性質(zhì)及概率密度函數(shù)表    除具有一般概率密度的性質(zhì)外，還有下列性質(zhì)（請讀者用微積分的知識證明）。（1） 有各階導(dǎo)數(shù)；（2） ，即 的圖形關(guān)于 軸對稱； （3） 在 內(nèi)嚴(yán)格上升，在 內(nèi)嚴(yán)格下降，在 處達(dá)到最大值：        （4） 在 處有兩個拐點；