數(shù)學人教版八年級上第十一章111　與三角形有關(guān)的線段

1、11.1與三角形有關(guān)的線段1三角形(1)定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形(2)構(gòu)成：如圖所示，三角形ABC有三條邊，三個內(nèi)角，三個頂點邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊角：相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角頂點：相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點(3)表示：三角形用符號“”表示，三角形ABC用符號表示為ABC.注：頂點A所對的邊BC用a表示，頂點B所對的邊AC用b表示，頂點C所對的邊AB用c表示(4)分類：三角形按角分類如下：三角形三角形按邊的相等關(guān)系分類如下：破疑點 等邊三角形和等腰三角形的關(guān)系等邊三角形是特殊的等腰三角形，即等邊三角形是底邊

2、和腰相等的等腰三角形【例1】 如圖所示，圖中有幾個三角形，分別表示出來，并寫出它們的邊和角分析：根據(jù)三角形的定義及構(gòu)成得出結(jié)論解：圖中有三個三角形，分別是：ABC，ABD，ADC.ABC的三邊是：AB，BC，AC，三個內(nèi)角分別是：BAC，B，C；ABD的三邊是：AB，BD，AD，三個內(nèi)角分別是：BAD，B，ADB；ADC的三邊是：AD，DC，AC，三個內(nèi)角分別是：ADC，DAC，C.2三角形的三邊關(guān)系(1)三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，用字母表示：abc，cba，acb.三角形兩邊的差小于第三邊，用字母表示為：cb<a，ba<c，ca<b.(2)作用：利用三角形的三邊關(guān)

3、系，在已知兩邊的三角形中可以確定第三邊的取值范圍；根據(jù)所給三條線段長度判斷這三條線段能否構(gòu)成三角形“兩點之間線段最短”是三邊關(guān)系得出的理論依據(jù).破疑點 三角形三邊關(guān)系的理解三角形兩邊之和大于第三邊指的是三角形中任意兩邊之和都大于第三邊，即abc，cba，acb三個不等式同時成立【例2】 下列長度的三條線段(單位：厘米)能組成三角形的是()A1,2,3.5 B4,5,9C5,8,15 D6,8,9解析：選擇最短的兩條線段，計算它們的和是否大于最長的線段，若大于，則能構(gòu)成三角形，否則構(gòu)不成三角形，只有68149，所以D能構(gòu)成三角形答案：D3三角形的高(1)定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直

4、線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高(2)描述方法：高的描述方法有三種，這三種方法都能得出AD是BC邊上的高如圖所示AD是ABC的高；ADBC，垂足為D；D在BC上，且ADBADC90°.(3)性質(zhì)特點：因為高是通過作垂線得出的，因而有高一定有垂直和直角常用關(guān)系式為：因為AD是BC邊上的高，所以ADBADC90°.“三角形的三條高(所在直線)交于一點”，當是銳角三角形時，這點在三角形內(nèi)部；當是直角三角形時，這點在三角形直角頂點上；當是鈍角三角形時，這點在三角形外部如圖所示破疑點 三角形的高線的理解三角形的高是線段，不是直線，它的一個端點是三角形的頂點，另一個端點在這

5、個頂點的對邊或?qū)吽诘闹本€上【例3】 三角形的三條高在()A三角形的內(nèi)部B三角形的外部C三角形的邊上D三角形的內(nèi)部、外部或邊上解析：三角形的三條高交于一點，但有三種情況：當是銳角三角形時，這點在三角形內(nèi)部；當是直角三角形時，這點在三角形直角頂點上；當是鈍角三角形時，這點在三角形外部，所以只有D正確答案：D4三角形的中線(1)定義：三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線(2)描述方法：三角形中線的描述方法有兩種方式，如圖直接描述：AD是BC邊上的中線；間接描述：D是BC邊上的中點(3)性質(zhì)特點：由三角形中線定義可知，有中線就有相等的線段，如上圖中，因為AD是BC邊上的中線，所

6、以BDCD(或BDBC，DCBC)如下圖所示，一個三角形有三條中線，每條邊上各有一條，三角形的三條中線交于一點不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，三角形的三條中線都交于三角形內(nèi)部一點三角形三條中線的交點叫做三角形的重心破疑點 三角形的中線的理解三角形的中線也是線段，它是一個頂點和對邊中點的連線，它的一個端點是三角形的頂點，另一個端點是這個頂點的對邊中點【例4】 如圖，AE是ABC的中線，EC6，DE2，則BD的長為()A2 B3 C4 D6解析：因為AE是ABC的中線，所以BEEC6.又因為DE2，所以BDBEDE624.答案：C5三角形的角平分線(1)定義：三角形中，一個內(nèi)角的平分

7、線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線(2)描述方法：角平分線的描述有三種，如圖直接描述：AD是ABC的角平分線；在ABC中，1=2，且D在BC上；AD平分BAC，交BC于點D.(3)性質(zhì)特點：由三角形角平分線的定義可知，有角平分線就有相等的角，如上圖中，因為AD是ABC的角平分線，所以1=2(或1=2=BAC，或BAC=21=22)一個三角形有三條角平分線，三角形的三條角平分線交于一點，不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，這個交點都在三角形內(nèi)部解技巧 三角形的角平分線的理解三角形的角平分線也是一條線段，角的頂點是一個端點，另一個端點在對邊上【例5】 下列

8、說法正確的是()平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線；三角形的中線、角平分線都是線段，而高是直線；每個三角形都有三條中線、高和角平分線；三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的直線A B C D解析：任何一個三角形都有三條高、中線和角平分線，并且它們都是線段，不是射線或直線，因此只有正確，故選B.答案：B6三角形的穩(wěn)定性(1)定義：三角形的三邊確定后，這個三角形的大小、形狀就確定不變了，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性(2)理解：三角形的穩(wěn)定性指的是三角形的大小和形狀不變，這說明一個三角形確定后它的附屬性質(zhì)也不變，這不同于四邊形，因而在實際生活中，都是用三角形做支架的【例6】 在建筑工地我們常

9、可看見如圖所示，用木條EF固定矩形門框ABCD的情形這種做法根據(jù)()A兩點之間線段最短B兩點確定一條直線C三角形的穩(wěn)定性D矩形的四個角都是直角解析：這是三角形穩(wěn)定性在日常生活中的應(yīng)用，C正確答案：C解技巧 三角形的穩(wěn)定性的理解三角形穩(wěn)定性的問題都是以實際生活為原型，說明這樣做的道理，一般較為簡單7三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用三角形中“兩邊之和大于第三邊(兩邊之差小于第三邊)”，這是三角形中最基本的三邊關(guān)系這里的“兩邊之和”指的是“任意兩邊的和”，滿足這一關(guān)系是三條線段能否構(gòu)成三角形的前提三角形三邊關(guān)系的運用主要有兩方面，一是在已知兩邊的情況下確定第三邊的取值范圍；二是根據(jù)所給三條線段的長度判斷這三條線

10、段能否構(gòu)成三角形解技巧 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用當線段a，b，c滿足最短的兩條線段之和大于最長的線段時就可構(gòu)成三角形；已知兩條線段，可根據(jù)第三條線段大于這兩邊之差，小于這兩邊之和，來確定第三條線段的取值范圍【例71】 以下列長度的三條線段為邊，能組成三角形嗎？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三條線段長之比為456；(3)a1，a2，a3(a0)分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來判斷已知的三條線段能否組成三角形，選擇較短的兩條線段，看它們的和是否大于第三條線段，即可判斷能否組成三角形解：(1)因為6810，所以長為6 cm,8 cm,10 cm的三條線段能組成三角形；(2)設(shè)這三條線段長分別為

11、4x,5x,6x(x0)，因為4x5x大于6x，所以三條線段長之比為456時，能組成三角形；(3)因為a1a22a3，當a0時，2a3a3，所以a1，a2，a3(a0)長的線段能組成三角形【例72】 已知三角形的兩邊長分別為5 cm和8 cm，則此三角形的第三邊的長x的取值范圍是_解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，第三條邊的長x應(yīng)大于已知兩邊之差且小于已知兩邊之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中線、角平分線的畫法三角形是最基本的圖形，也是應(yīng)用最多的圖形，因此畫出它們高、中線、角平分線經(jīng)常用到，是必須掌握的基本技能(1)高的畫法

12、：類似于垂線的畫法，用三角板過某一頂點向?qū)吇驅(qū)呇娱L線畫垂線，交對邊于一點，所得到的垂線段就是這條邊上的高(2)中線的畫法：取一邊中點，連接這點和這邊相對的頂點的線段，就是所求中線(3)角平分線的畫法：類似于畫角平分線，作三角形一個角的平分線，交對邊于一點，這點和角的頂點之間的線段就是所求的角平分線9三角形高的應(yīng)用從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高因為三角形的高是通過作垂線得到的，既有直角，又有垂線段，因此它的應(yīng)用方向主要有兩方面：一是求面積問題，高是垂線段，也是點到直線的距離，是求三角形的面積所必須知道的長度；二是直角，高是垂線段，因而一定有直

13、角，根據(jù)所有直角都相等或互余關(guān)系進行解題是三角形的高應(yīng)用的另一方向解技巧 巧證直角背景下兩銳角相等圖形中含有高時，經(jīng)常用“同角(或等角)的余角相等”來證明角相等，這既是一種方法，也是一個規(guī)律【例8】 如圖(1)，已知ABC，畫出ABC中，BC邊上的高、中線和BAC的平分線圖(1) 圖(2)分析：因為三角形的高、中線、角平分線都是描述性定義，它們的定義就蘊含了它們的畫法，根據(jù)總結(jié)的畫法畫出圖形即可，如圖(2)解：畫法如下：(1)過A作BC的垂線，垂足為D，AD即為BC邊上的高；(2)取BC的中點E，連接AE，AE即為BC邊上的中線；(3)作BAC的平分線，交BC于點F，連接AF，AF即為ABC中

14、BAC的平分線【例9】 如圖，在ABC中，AD，BE分別是邊BC，AC上的高，試說明DAC與EBC的關(guān)系分析：因為有三角形中的高就有垂直、直角，所以ADC，BEC都是直角根據(jù)小學所學三角形的內(nèi)角和為180°，所以DACC90°，EBCC90°，根據(jù)同角的余角相等，即可得出DACEBC.解：DACEBC.因為AD，BE分別是邊BC，AC上的高，所以ADC90°，BEC90°.所以DACC90°，EBCC90°.所以DACEBC.10三角形中線應(yīng)用拓展三角形的中線是三角形中的一條重要線段，它最大的特點是已知三角形的中線，圖中一定

15、含有相等線段，由此延伸出中線的應(yīng)用：(1)面積問題：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個三角形，如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，則SABDSACDSABC.因為BDCD，ABD和ADC等底同高，所以面積相等，因此通過作三角形的中線可將三角形分成面積相等的兩部分(2)周長問題：如圖所示，AD是BC邊上的中線，ABD和ACD的周長之差實質(zhì)上就是AB與AC的差，這也是三角形中線中常出現(xiàn)的問題【例10】 有一塊三角形優(yōu)良品種試驗基地，如圖所示，由于引進四個優(yōu)良品種進行對比試驗，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請你制定出兩種以上的劃分方案供選擇(畫圖說明)分析：根據(jù)三角形中線將三角形分為面積相

16、等的兩部分的特征，先把原三角形分為兩個面積相等的三角形，然后再依次等分解：答案不唯一，如方案1：如圖(1)，在BC上取點D，E，F(xiàn)，使BDDEEFFC，連接AD，AE，AF.方案2：如圖(2)，分別取AB，BC，CA的中點D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，DF.方案3：如圖(3)，分別取BC的中點D、CD的中點E、AB的中點F，連接AD，AE，DF.方案4：如圖(4)，分別取BC的中點D、AB的中點E、AC的中點F，連接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三邊關(guān)系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特點是兩條邊相等，所以反映在三邊關(guān)系中，就是底與腰的關(guān)系：只要兩腰之和大于底就一定能構(gòu)成三角形；在等腰

17、三角形中，底的取值范圍是大于0且小于兩腰之和因為等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形問題時，只要不明確哪是底，哪是腰，就必須分情況討論，并且要驗證是否能構(gòu)成三角形如一個等腰三角形的兩邊長是2 cm和5 cm，它的周長是多少？情況一：當腰是2 cm底是5 cm時，因為22<5，兩邊之和小于第三邊，所以此等腰三角形不存在；情況二：當腰是5 cm底是2 cm時，525，所以此等腰三角形存在，此時周長為12 cm.解技巧 利用三邊關(guān)系求等腰三角形的邊長根據(jù)兩邊之和大于第三邊，結(jié)合底和腰的關(guān)系先判斷等腰三角形是否存在是求解的前提【例111】 等腰三角形的兩邊長分別為6 cm和9 cm，則腰長為

18、_解析：兩種情況，一是腰長為6 cm時，底邊就是9 cm，此時669，此三角形存在，所以腰長可以是6 cm；二是腰長為9 cm，此時969，此三角形也存在，所以腰長也可以是9 cm，故腰長為6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例112】 已知等腰三角形的周長是24 cm，(1)腰長是底邊長的2倍，求腰長；(2)若其中一邊長為6 cm，求其他兩邊長分析：(1)可以通過設(shè)未知數(shù)，利用周長作為相等關(guān)系，列出方程，通過求方程的解從而求出答案；(2)因為題目中沒有說明這條邊究竟是腰還是底邊，要分兩種情況考慮，并且計算結(jié)果還要注意檢查是否符合兩邊之和都大于第三邊解：(1)設(shè)底邊長為x cm，則腰

19、長為2x cm，根據(jù)題意，得x2x2x24，解得x4.8，所以腰長為2x2×4.89.6(cm)(2)當長為6 cm的邊為腰時，則底邊為246×212(cm)因為6612，兩邊之和等于第三邊，所以6 cm長為腰不能組成三角形，故腰長不能為6 cm.當長為6 cm的邊為底邊時，則腰長為(246)÷29(cm)，因為6 cm,9 cm,9 cm可以組成三角形，所以等腰三角形其他兩邊長均為9 cm.12.與三角形有關(guān)的線段易錯點分析在本節(jié)內(nèi)容中，易錯點主要表現(xiàn)在以下三個方面：(1)三角形的高、中線、角平分線都是線段，它們都有長度，這與前面所學的垂線是直線、角平分線是射線容易混淆(2)畫鈍角三角形的高時易出錯，如下圖三種畫法都是錯誤的三種情況錯誤的原因都是對三角形的高的定義理解不透徹圖1中BE不垂直于邊AC，錯因是受銳角三角形的影響，誤認為高的垂足必落在對邊上；圖2錯在沒有過點B畫AC的垂線段；圖3錯在把三角形的高與AC邊上的垂線混淆，把線段畫成了射線正確的作法是過點B向?qū)匒C所在的直線畫垂線，垂足為E.因為三角形是鈍角三角形，所以垂足落在CA的延長線上，如下圖所示：(3)運用三角形三邊關(guān)系時出錯，只有兩邊之和大于第三邊，才能構(gòu)成三角形，才能進行其他運算，這是前提特別是等腰三角