微分方程輔導Word版

1、微分方程輔導 3.1 一階微分方程A知識概述 1）基本概念一階微分方程 含有未知函數(shù)的一階導數(shù)的方程 或 解 滿足微分方程的可微函數(shù)。通解 滿足方程的，含有一個任意常數(shù)的可微函數(shù)。定解條件 未知函數(shù)滿足的關(guān)系 .定解 使用定解條件從通解中確定任意常數(shù)得出的2）一階方程（可分離，線性，齊次，貝努利*，全微分方程*）分類求解 可分離方程 -基本題型求通解 分離變量后不定積分： 注意一邊積分寫上任意常數(shù)。求定解 初始條件，作變限積分： 線性方程 -重點題型求通解 先化作以上標準形式，再套用以下公式 非齊次通解公式（其中 ） （常用） （變通使用）齊次通解公式 求定解 在通解中代入初始條件求C。注意

2、當方程同時還屬于其它類型時，一般優(yōu)先選擇依線性方程求解。1 / 12 齊次方程 求解要點 代換 后分離變量為： Bernoulli方程 （）求解要點 代換 后化作線性方程（注意對比系數(shù)）： B常見題型與考點【題型1】【基本問題考察典型解法，細節(jié)處理】【題型2】【綜合問題增加對解函數(shù)的繼續(xù)討論】【題型3】【變形問題變量對換，變量代換運用】C. 范例分析與解答【題型1】【基本方程求解典型解法，細節(jié)處理】細節(jié)-合理識別類型，利用初始條件排除分支；絕對值符號的處理； （1） 設(shè) , 求.解1（看作分離變量方程，常規(guī)解法:先通解-再特解）分離變量: 兩邊積分: ， 求得通解： ()確定常數(shù)： 由定出.

3、所求定解為 .解2（看作分離變量方程，快速解法:直接求定解）分離變量: ）兩邊作變限積分: 所求定解為: 解3（推薦解法，看作線性齊次方程，用通解公式）線性齊次: 因為 故可以取 求得通解： 再由 定出 .（2） 解1 （看作齊次方程） 變量代換：令，方程化為： ，分離變量： ，兩邊積分有 ， 得 ， 即 代入初始條件：，得 ，所求定解為 解2（看作Bernoulli方程）化作 ， 記，得：標準化： 由線性方程通解公式， 所求通解為代入條件得 ，從而 （3）解 （使用線性方程通解公式，涉及到分段函數(shù)的定積分計算）由題知 通解為 定解為 【題型2】【討論解函數(shù)（極限、積分計算，大小控制）-看作兩

4、道小題】（4） 解 初始條件變形，要討論解函數(shù)的極限 .通解：由,推得，故有.（5） 解（研究解函數(shù)的界，使用變限積分形式的通解公式） 定解為 由于 ，故有 【2002】求方程的解函數(shù)，使得解函數(shù)與直線以及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小。 答案：【2001】若滿足，。求的和函數(shù)。答案：【題型3】【方程形式變化變量對換，代換的運用】（6） （交換變量的地位）解 寫成: 得到函數(shù)的線性方程. , 通解為 練習 （7） （代換） 答案：（8） （代換） 答案：練習 練習 練習 （9） （代換 答案 一階線性方程的單項選擇題思路：求同，排異；手段：幾何作圖；直接計算；選取特例。 設(shè)有

5、一階齊次微分方程，處處連續(xù)。則不是其通解的函數(shù)為A. B. C. D. 設(shè)微分方程有一個特解，則對于初始條件，方程的特解是：A. B. C. D. 3.2 二階線性微分方程A知識概述1） 線性二階微分方程：齊次 ， 非齊次 ,2）線性二階微分方程通解構(gòu)造： 齊次通解 = 兩個不成比例的齊次特解之組合： 非齊次通解 = 齊次通解非齊特解： 3）解的疊加原理： 非齊次項:設(shè)函數(shù)是方程的解，則 是方程的解。 齊次解的線性組合還是齊次解 非齊次解 + 齊次解 = 非齊次解 非齊次解 - 非齊次解 = 齊次解 4）常系數(shù)線性二階微分方程求解法 齊次方程的求解步驟-解特征方程 -由特征根寫出基本解組 根基

6、本解組1，03，35i23i-寫通解 非齊次方程的求解步驟-寫對應(yīng)的齊次方程的通解-寫出非齊次解的待定形式（六字法）-代入原方程求中的待定系數(shù)-疊加得解 同類型：指保持中指數(shù)函數(shù)正余弦函數(shù)特征，保持多項式階數(shù)不變而系數(shù)待定。再調(diào)整：乘或。寫待定式舉例非齊次項特征根 基本解組要寫成的 1，5 0，1， 0，01， 2，8，2，2，統(tǒng)一規(guī)則 (1) 若則(2) 若,則特解疊加原理 對方程 可以就寫，就寫，相加得特解：注意 以代入方程確定待定系數(shù)時，可用以下等式簡化計算。B常見題型【題型1】【基本問題：求通解，特解；寫或選】【題型2】【綜合問題：對解函數(shù)繼續(xù)討論：極限，積分，大小估計】【題型3】【代

7、換問題：通過給定的變量代換，使得在新變量下方程變簡單，然后求解】【題型4】【方程建立：知道方程的解，利用解的結(jié)構(gòu)求出方程】C.范例分析【題型1】【基本問題依據(jù)標準方法求解】（1）填空題真題 的通解_的通解_通解_解 代入求系數(shù).填代入求系數(shù).填求系數(shù). 填【2010】練習 （2）寫的特解待定式. 解 于是 時 時 練習 的特解形式可設(shè)為。【題型2】【綜合問題解函數(shù)的繼續(xù)討論】 求 分析 相當于齊次線性方程求定解+廣義積分解 特征方程 通解 代入初始條件 故 , 【題型3】【變量對換或者代換方程變形后求解】對換【2003】 將換作以為因變量的微分方程.并求在初始條件下方程的解.解 將用表示 (考

8、察微分運算).，回代后得 求得通解 再求定解 因變量代換令，對 化簡并求解。解 用表示.直接求得： 移項 = 方程化為 解得 自變量代換【2005】數(shù)學二 使用代換 化簡 ，并求其滿足的解。解 令，得化簡的 （考察微分計算）的方程 ， (初始條件不動)再依據(jù)常系數(shù)線性齊次微分方程求解便可成功：定解 【題型4】【給解函數(shù)構(gòu)造方程求解】 （1） 使用疊加原理造線性微分方程 已知某二階非齊次線性微分方程的三個解， 求此二階非齊次線性微分方程及其通解.解（應(yīng)用疊加原理求出齊次方程的基本解組，再設(shè)法推出特征值，得到特征方程后便可寫出齊次微分方程，再代入一解函數(shù)，便可以定出非齊次項）由 ，得齊次方程的解函數(shù)及特征值: ；由 ，得齊次方程的解函數(shù)及特征值: ；于是,特征方程為 或 微分方程為 最后代入，得 而通解為 （2）由通解中消除任意常數(shù)得方程（齊次，給兩個解）已知是某二階齊次線性微分方程的解函數(shù)，建立此微分方程。解 為通解，故本題相當于由通解求方程。兩邊對求導兩次：消去便得到所求的二階線性（變系數(shù)）微分方程： (3) 已知一解及方程的架構(gòu)，