小波變換基礎(chǔ)Word版

1、第9章 小波變換基礎(chǔ)9.1 小波變換的定義給定一個(gè)基本函數(shù)，令 （9.1.1）式中均為常數(shù)，且。顯然，是基本函數(shù)先作移位再作伸縮以后得到的。若不斷地變化，我們可得到一族函數(shù)。給定平方可積的信號(hào)，即，則的小波變換（Wavelet Transform，WT）定義為 （9.1.2）式中和均是連續(xù)變量，因此該式又稱為連續(xù)小波變換（CWT）。如無特別說明，式中及以后各式中的積分都是從到。信號(hào)的小波變換是和的函數(shù)，是時(shí)移，是尺度因子。又稱為基本小波，或母小波。是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，我們稱之為小波基函數(shù)，或簡(jiǎn)稱小波基。這樣，（9.1.2）式的又可解釋為信號(hào)和一族小波基的內(nèi)積。母小波可以是實(shí)函

2、數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。若是實(shí)信號(hào)，也是實(shí)的，則也是實(shí)的，反之，為復(fù)函數(shù)。在（9.1.1）式中，的作用是確定對(duì)分析的時(shí)間位置，也即時(shí)間中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸縮。我們?cè)?.1節(jié)中已指出，由變成，當(dāng)時(shí)，若越大，則的時(shí)域支撐范圍（即時(shí)域?qū)挾龋┹^之變得越大，反之，當(dāng)252 / 39時(shí)，越小，則的寬度越窄。這樣，和聯(lián)合越來確定了對(duì)分析的中心位置及分析的時(shí)間寬度，如圖9.1.1所示。圖9.1.1 基本小波的伸縮及參數(shù)和對(duì)分析范圍的控制(a)基本小波，（b）， ,(c) 不變，, (d)分析范圍這樣，（9.1.2）式的WT可理解為用一族分析寬度不斷變化的基函數(shù)對(duì)作分析，由下一節(jié)的討論可知，這一變化

3、正好適應(yīng)了我們對(duì)信號(hào)分析時(shí)在不同頻率范圍所需要不同的分辨率這一基本要求。（9.1.1）式中的因子是為了保證在不同的尺度時(shí)，始終能和母函數(shù)有著相同的能量，即 令，則，這樣，上式的積分即等于。令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為： （9.1.3）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表為： （9.1.4）此式即為小波變換的頻域表達(dá)式。9.2 小波變換的特點(diǎn)下面，我們從小波變換的恒Q性質(zhì)、時(shí)域及頻率分辨率以及和其它變換方法的對(duì)比來討論小波變換的特點(diǎn)，以幫助我們對(duì)小波變換有更深入的理解。比較（9.1.2）和（9.1.4）式對(duì)小波變換的兩個(gè)定義可以看出，如果在時(shí)

4、域是有限支撐的，那么它和作內(nèi)積后將保證在時(shí)域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)我們所希望的時(shí)域定位功能，也即使反映的是在附近的性質(zhì)。同樣，若具有帶通性質(zhì)，即圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么和作內(nèi)積后也將反映在中心頻率處的局部性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。顯然，這些性能正是我們所希望的。問題是如何找到這樣的母小波，使其在時(shí)域和頻域都是有限支撐的。有關(guān)小波的種類及小波設(shè)計(jì)的問題，我們將在后續(xù)章節(jié)中詳細(xì)討論。由1.3節(jié)可知，若的時(shí)間中心是，時(shí)寬是，的頻率中心是，帶寬是，那么的時(shí)間中心仍是，但時(shí)寬變成，的頻譜的頻率中心變?yōu)?，帶寬變成。這樣，的時(shí)寬帶寬積仍是，與無關(guān)。這一方面說明小波變換的時(shí)頻關(guān)系也受到不定原理

5、的制約，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波變換的一個(gè)性質(zhì)，也即恒Q性質(zhì)。定義 =帶寬/中心頻率 (9.1.5)為母小波的品質(zhì)因數(shù)，對(duì)，其 帶寬/中心頻率=因此，不論為何值，始終保持了和具有性同的品質(zhì)因數(shù)。恒Q性質(zhì)是小波變換的一個(gè)重要性質(zhì)，也是區(qū)別于其它類型的變換且被廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因。圖9.2.1說明了和的帶寬及中心頻率隨變化的情況。圖9.2.1 隨變化的說明；(a) ，(b) ，(c) 將圖9.1.1和圖9.1.2結(jié)合起來，我們可看到小波變換在對(duì)信號(hào)分析時(shí)有如下特點(diǎn)：當(dāng)變小時(shí)，對(duì)的時(shí)域觀察范圍變窄，但對(duì)在頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動(dòng)，如圖9.2.1c所示。反之，當(dāng)變

6、大時(shí)，對(duì)的時(shí)域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動(dòng)，如圖9.2.1b所示。將圖9.1.1和9.2.1所反映的時(shí)頻關(guān)系結(jié)合在一起，我們可得到在不同尺度下小波變換所分析的時(shí)寬、帶寬、時(shí)間中心和頻率中心的關(guān)系，如圖9.2.2所示。0圖9.2.2 a取不同值時(shí)小波變換對(duì)信號(hào)分析的時(shí)頻區(qū)間由于小波變換的恒Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖9.2.2中三個(gè)時(shí)、頻分析區(qū)間（即三個(gè)矩形）的面積保持不變。由此我們看到，小波變換為我們提供了一個(gè)在時(shí)、頻平面上可調(diào)的分析窗口。該分析窗口在高頻端（圖中處）的頻率分辨率不好（矩形窗的頻率邊變長(zhǎng)），但時(shí)域的分辨率變好（矩形的時(shí)間邊變短）；反之，在低頻端

7、（圖中處），頻率分辨率變好，而時(shí)域分辨率變差。但在不同的值下，圖9.2.2中分析窗的面積保持不變，也即時(shí)、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的需要作出調(diào)整。眾所周知，信號(hào)中的高頻成份往往對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等。對(duì)這一類信號(hào)分析時(shí)則要求時(shí)域分辨率要好以適應(yīng)快變成份間隔短的需要，對(duì)頻域的分辨率則可以放寬，當(dāng)然，時(shí)、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。與此相反，低頻信號(hào)往往是信號(hào)中的慢變成份，對(duì)這類信號(hào)分析時(shí)一般希望頻率的分辨率要好，而時(shí)間的分辨率可以放寬，同時(shí)分析的中心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波變換的特點(diǎn)可以自動(dòng)滿足這些客觀實(shí)際的需要。總結(jié)上述小波變換的特點(diǎn)可知，當(dāng)我們用較小的對(duì)信號(hào)

8、作高頻分析時(shí)，我們實(shí)際上是用高頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察，當(dāng)我們用較大的對(duì)信號(hào)作低頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀察。如上面所述，小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對(duì)信號(hào)作實(shí)際分析時(shí)的規(guī)律，也符合人們的視覺特點(diǎn)。現(xiàn)在我們來討論一下小波變換和前面幾章所討論過的其它信號(hào)分析方法的區(qū)別。我們知道，傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦。這一基函數(shù)在頻域有著最佳的定位功能（頻域的函數(shù)），但在時(shí)域所對(duì)應(yīng)的范圍是，完全不具備定位功能。這是FT的一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)。人們希望用短時(shí)傅里葉變換來彌補(bǔ)FT的不足。重寫（2.1.1）式，即 (9.2.6)由于該式中只有窗函數(shù)的位移而無時(shí)間的伸縮，因此，位移量的大小不會(huì)改變復(fù)指數(shù)的頻率

9、。同理，當(dāng)復(fù)指數(shù)由變成（即頻率發(fā)生變化）時(shí)，這一變化也不會(huì)影響窗函數(shù)。這樣，當(dāng)復(fù)指數(shù)的頻率變化時(shí)，STFT的基函數(shù)的包絡(luò)不會(huì)改變，改變的只是該包絡(luò)下的頻率成份。這樣，當(dāng)由變化成時(shí)，對(duì)分析的中心頻率改變，但分析的頻率范圍不變，也即帶寬不變。因此，STFT不具備恒Q性質(zhì)，當(dāng)然也不具備隨著分辨率變化而自動(dòng)調(diào)節(jié)分析帶寬的能力，如圖9.2.3所示。圖中.200/20u圖9.2.3 STFT的時(shí)頻分析區(qū)間(a) ，(b) 是的FT，是的FT， (c)在不同的和處，時(shí)寬、帶寬均保持不變我們?cè)诘诹恋诎苏滤懻摰腗通道最大抽取濾波器組是將分成M個(gè)子帶信號(hào)，每一個(gè)子帶信號(hào)需有相同的帶寬，即，其中心頻率依次為,

10、（注：若是DFT濾波器組，則中心頻率在, ），且這M個(gè)子帶信號(hào)有著相同的時(shí)間長(zhǎng)度。在小波變換中，我們是通過調(diào)節(jié)參數(shù)來得到不同的分析時(shí)寬和帶寬，但它不需要保證在改變時(shí)使所得到的時(shí)域子信號(hào)有著相同的時(shí)寬或帶寬。這是小波變換和均勻?yàn)V波器組的不同之處。但小波變換和7.9節(jié)討論過的樹狀濾波器組在對(duì)信號(hào)的分析方式上極其相似。由后面的討論可知，離散小波變換是通過“多分辨率分析”來實(shí)現(xiàn)的，而“多分辨率分析”最終是由兩通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)的。由（9.1.1）式，定義 (9.2.7)為信號(hào)的“尺度圖（scalogram）”。它也是一種能量分布，但它是隨位移和尺度的能量分布，而不是簡(jiǎn)單的隨的能量分布，即我們?cè)诘诙轮?/p>

11、第四章所討論的時(shí)頻分布。但由于尺度間接對(duì)應(yīng)頻率（小對(duì)應(yīng)高頻，大對(duì)應(yīng)低頻），因此，尺度圖實(shí)質(zhì)上也是一種時(shí)頻分布。綜上所述，由于小波變換具有恒Q性質(zhì)及自動(dòng)調(diào)節(jié)對(duì)信號(hào)分析的時(shí)寬/帶寬等一系列突出優(yōu)點(diǎn)，因此被人們稱為信號(hào)分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波變換是八十年代后期發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。法國(guó)數(shù)學(xué)家Y.Meyer，地質(zhì)物理學(xué)家J.Morlet和理論物理學(xué)家A.Grossman對(duì)小波理論作出了突出的貢獻(xiàn)。法國(guó)學(xué)者I.Daubechies和S.Mallat在將小波理論引入工程應(yīng)用，特別是信號(hào)處理領(lǐng)域起到了重要的作用。人們稱這些人為“法國(guó)學(xué)派”。在小波理論中一些有影響的教科書如文獻(xiàn)3,5,8,16等，一些有影

12、響的論文如文獻(xiàn)42,43,51,52,53,87,88,105,116等。國(guó)內(nèi)從工程應(yīng)用的目的較為全面地介紹小波理論的著作見文獻(xiàn)21，結(jié)合MATLAB介紹小波理論的著作見文獻(xiàn)18.9.3 連續(xù)小波變換的計(jì)算性質(zhì)1時(shí)移性質(zhì)若的CWT是，那么的CWT是。該結(jié)論極易證明。記，則 （9.3.1）2 尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)如果的CWT是，令，則 （9.3.2）證明： ，令，則 該性質(zhì)指出，當(dāng)信號(hào)的時(shí)間軸按作伸縮時(shí)，其小波變換在和兩個(gè)軸上同時(shí)要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一體現(xiàn)。3 微分性質(zhì)如果的CWT是，令，則 （9.3.3）證明： 由（9.3.1）式的移位性質(zhì)，有 即 4 兩個(gè)信

13、號(hào)卷積的CWT，令的CWT分別是及，并令，則 （9.3.4）式中符號(hào)表示對(duì)變量作卷積。證明： 再由（9.3.1）式的移位性質(zhì)，有 同理， 于是（9.3.4）式得證。5 兩個(gè)信號(hào)和的CWT令的CWT分別是，且，則 （9.3.5a）同理，如果，則 （9.3.5b）（9.3.5）式說明兩個(gè)信號(hào)和的CWT等于各自CWT的和，也即小波變換滿足疊加原理?？吹絎T的這一性質(zhì)，估計(jì)讀者馬上會(huì)想到WVD中的交叉項(xiàng)問題。由（9.3.5）式看來，似乎小波變換不存在交叉項(xiàng)。但實(shí)際上并非如此。（9.1.2）式所定義的CWT是“線性”變換，即只在式中出現(xiàn)一次，而在（3.1.2）式的WVD表達(dá)式中出現(xiàn)了兩次，即，所以，我們

14、稱以Wigner分布為代表的一類時(shí)頻分布為“雙線性變換”。正因?yàn)槿绱耍切盘?hào)能量的分布。與之相對(duì)比，小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅平方，即（9.2.7）式的尺度圖則是信號(hào)能量的一種分布。將代入(9.2.7)式，可得： (9.3.6)式中分別是和的幅角。證明： 由于后兩項(xiàng)互為共軛，因此必有（9.3.6）式.（9.3.6）式表明在尺度圖中同樣也有交叉項(xiàng)存在，但該交叉項(xiàng)的行為和WVD中的交叉項(xiàng)稍有不同。我們?cè)?.5節(jié)中已指出，WVD的交叉項(xiàng)位于兩個(gè)自項(xiàng)的中間，即位于處，分別是兩個(gè)自項(xiàng)的時(shí)頻中心。由（9.3.3）式可以得出，尺度圖中的交叉項(xiàng)出現(xiàn)在和同時(shí)不為零的區(qū)域，也即是真正相互交疊的區(qū)域

15、中，這和WVD有著明顯的區(qū)別?？梢宰C明【錢，書】，同一信號(hào)的WVD和其尺度圖有如下關(guān)系： （9.3.7）式中是母小波的WVD，該式揭示了WVD和WT之間的關(guān)系，這說明cohen類的時(shí)頻分布和小波變換有著非常密切的內(nèi)在聯(lián)系。6 小波變換的內(nèi)積定理定理9.1 設(shè)和，的小波變換分別是和，則 （9.3.8）式中 （9.3.9）為的傅里葉變換。證明：由（9.1.4）式關(guān)于小波變換的頻域定義，（9.3.8）式的左邊有： 假定積分 存在，再由Parseval定理，上述的推導(dǎo)最后為 于是定理得證。（9.3.8）式實(shí)際上可看作是小波變換的Parseval定理。該式又可寫成更簡(jiǎn)單的形式,即 (9.3.10)進(jìn)一步

16、，如果令，由（9.3.8）式，有 (9.3.11)該式更清楚地說明，小波變換的幅平方在尺度位移平面上的加權(quán)積分等于信號(hào)在時(shí)域的總能量，因此，小波變換的幅平方可看作是信號(hào)能量時(shí)頻分布的一種表示形式。（9.3.8）和（9.3.11）式中對(duì)的積分是從，這是因?yàn)槲覀兗俣倿檎?。這兩個(gè)式子中出現(xiàn)的是由于定義小波變換時(shí)在分母中出現(xiàn)了，而式中又要對(duì)作積分所引入的。讀者都熟知傅里葉變換中的Parseval定理，即時(shí)域中的能量等于頻域中的能量。但小波變換的Parseval定理稍為復(fù)雜，它不但要有常數(shù)加權(quán)，而且以的存在為條件。9.4小波反變換及小波容許條件下述定理給出了連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件。定

17、理9.2 設(shè)，記為的傅里葉變換，若 則可由其小波變換來恢復(fù)，即 (9.4.1)證明：設(shè)，,則 將它們分別代入（9.3.8）式的兩邊，再令，于是有 于是定理得證。在定理9.1和定理9.2中，結(jié)論的成立都是以<為前提條件的。（9.3.9）式又稱為“容許條件（admissibility condition）。該容許條件含有多層的意思：1. 并不是時(shí)域的任一函數(shù)都可以充當(dāng)小波。其可以作為小波的必要條件 是其傅里葉變換滿足該容許條件；2. 由（9.3.9）式可知，若，則必有，否則必趨于無窮。這等效地告訴我們，小波函數(shù)必然是帶通函數(shù)；3. 由于，因此必有 (9.4.2)這一結(jié)論指出，的取值必然是有正

18、有負(fù)，也即它是振蕩的。以上三條給我們勾畫出了作為小波的函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征，即是一帶通函數(shù)，它的時(shí)域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時(shí)頻定位的角度，我們總希望是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時(shí)域有限長(zhǎng)且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波（wavelet）的原因。2. 由上述討論，自然應(yīng)和一般的窗函數(shù)一樣滿足： （9.4.3）3. 由后面的討論可知，尺度常按來離散化，.由（9.1.3）式，對(duì)應(yīng)的傅里葉變換，由于我們需要在不同的尺度下對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，同時(shí)也需要在該尺度下由來重建，因此要求是有界的，當(dāng)由時(shí)，應(yīng)有 (9.4.4)式中。該式稱為小波變換的穩(wěn)定性條件，它是在頻域?qū)π〔ê瘮?shù)提出的又一要求。

19、滿足（9.4.4）式的小波稱作“二進(jìn)（dyadic）”小波。9.5重建核與重建核方程我們?cè)谏弦还?jié)指出，并不是時(shí)域任一函數(shù)都可以用作小波?？梢宰鳛樾〔ǖ暮瘮?shù)至少要滿足（9.3.9）式的容許條件。與此結(jié)論相類似，并不是平面上的任一二維函數(shù)都對(duì)應(yīng)某一函數(shù)的小波變換。如果是某一時(shí)域信號(hào)，如的小波變換，它應(yīng)滿足一定的條件，此即本節(jié)要討論的內(nèi)容。定理9.3 設(shè)是平面上的任一點(diǎn)，上的二維函數(shù)欲是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程，即 （9.5.1）式中是在處的值， （9.5.2）稱為重建核。證明：由（9.1.2）式小波變換的定義，有 將（9.4.1）式代入該式，有 此即（9.5.1）和

20、（9.5.2）式。（9.5.1）式的重建核方程和（9.5.2）式的重建核公式說明，若是的小波變換，那么在平面上某一點(diǎn)處小波變換的值可由半平面上的值來表示，也即，是半平面上的總貢獻(xiàn)。既然平面上各點(diǎn)的可由（9.5.1）式互相表示，因此這些點(diǎn)上的值是相關(guān)的，也即（9.4.1）式對(duì)的重建是存在信息冗余的。這一結(jié)論告訴我們可以用平面上離散柵格上的來重建，以消除重建過程中的信息冗余。在第二章中已指出，當(dāng)用的短時(shí)傅里葉變換來重建時(shí)，平面上的信息也是有冗余的，即平面上各點(diǎn)的是相關(guān)的，因此引出了離散柵格上的STFT，如（2.2.6）式，進(jìn)一步的發(fā)展即是信號(hào)的Gabor展開與Gabor變換。由此可以得出，將一個(gè)一

21、維的函數(shù)映射為一個(gè)二維函數(shù)后，在二維平面上往往會(huì)存在信息的冗余，由此引出了二維函數(shù)的離散化問題及標(biāo)架理論。有關(guān)離散小波變換及小波標(biāo)架的內(nèi)容將在本章的最后兩節(jié)來討論。重建核是小波和處的小波的內(nèi)積，因此反映了和的相關(guān)性。若，即兩個(gè)小波重合時(shí)，取最大值；若遠(yuǎn)離，則將迅速減小。若能保證，則平面上各點(diǎn)小波變換的值將互不相關(guān)。這等效地要求對(duì)任意的尺度及位移，由母小波形成的一族是兩兩正交的?？梢韵胂?，若連續(xù)取值，要想找到這樣的母小波使兩兩正交，那將是非常困難地。因此，連續(xù)小波變換的必然存在信息冗余。然而，當(dāng)離散取值時(shí)，則有可能得到一族正交小波基。9.6小波的分類由前兩節(jié)的討論可知，作為一個(gè)小波的函數(shù)，它一定

22、要滿足容許條件，在時(shí)域一定要是有限支撐的，同時(shí)，也希望在頻域也是有限支撐的，當(dāng)然，若時(shí)域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時(shí)域和頻域的有限支撐方面我們往往只能取一個(gè)折中。此外，我們希望由母小波形成的是兩兩正交的，或是雙正交的；進(jìn)一步，我們希望有高階的消失矩，希望與相關(guān)的濾波器具有線性相位，等等。我們可以根據(jù)上述要求對(duì)現(xiàn)已提出的大量的小波函數(shù)作一粗略地分類。在下面的分類中，第一類是所謂地“經(jīng)典小波”，在MATLAB中把它們稱作“原始（Crude）小波”。這是一批在小波發(fā)展歷史上比較有名的小波；第二類是Daubecheis構(gòu)造的正交小波，第三類是由Cohen，Daubechies構(gòu)造的雙正交小波

23、。9.6.1經(jīng)典類小波1. Haar小波Haar小波來自于數(shù)學(xué)家Haar于1910年提出的Haar正交函數(shù)集，其定義是： （9.6.1）其波形如圖9.6.1（a）所示。的傅里葉變換是： （9.6.2） Haar小波有很多好的優(yōu)點(diǎn)，如：（1） Haar小波在時(shí)域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（0，1）；（2） 若取，那么Haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即，而且在取不同值時(shí)也是兩兩正交的，即如圖9.6.1(b)和(c)所示。所以Haar小波屬正交小波；（3） Haar波是對(duì)稱的。我們知道，離統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)若具有對(duì)稱性，則該系統(tǒng)具有線性相位，這對(duì)于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯

24、一一個(gè)既具有對(duì)稱性又是有限支撐的正交小波；（4）Haar小波僅取1和1，因此計(jì)算簡(jiǎn)單。但Haar小波是不連續(xù)小波，由于，因此在處只有一階零點(diǎn)，這就使得Haar小波在實(shí)際的信號(hào)分析與處理中受到了限制。但由于Haar小波有上述的多個(gè)優(yōu)點(diǎn)，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。圖9.6.1 Harr小波， (a) ，(b) ，(c) 2.Morlet小波Morlet小波定義為 (9.6.3)其傅里葉變換 （9.6.4） 它是一個(gè)具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號(hào)一般是實(shí)信號(hào)，所以在MATLAB中將（9.6.3）式改造為： （9.6.5）并取 。該小波不是緊支撐的，理論上講可取。但是

25、當(dāng)，或再取更大的值時(shí)，和在時(shí)域和頻域都具有很好的集中，如圖9.6.2所示。Morlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換。但該小波是對(duì)稱的，是應(yīng)用較為廣泛的一種小波。 圖9.6.2 Morlet小波， (a)時(shí)域波形， (b)頻譜3 .Mexican hat小波該小波的中文名字為“墨西哥草帽”小波，又稱Marr小波。它定義為 (9.6.6) 式中，其傅里葉變換為 (9.6.7)該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和其頻譜如圖9.6.3所示。該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對(duì)稱的，可用

26、于連續(xù)小波變換。由于該小波在處有二階零點(diǎn)，因此它滿足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺的空間響應(yīng)特征，因此它在1983年即被用于計(jì)算機(jī)視覺中的圖像邊緣檢測(cè)131,75。 圖9.6.3 墨西哥草帽小波， (a)時(shí)域波形， (b)頻譜4Gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到的，定義為： ， (9.6.8)式中定標(biāo)常數(shù)是保證。該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當(dāng)取偶數(shù)時(shí)正對(duì)稱，當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，反對(duì)稱。圖9.6.4給出了時(shí)的的時(shí)域波形及對(duì)應(yīng)的頻譜。 圖9.6.4 高斯小波，取， (a)時(shí)域波形， (b)頻譜9.6.2 正交小波 目前提出的正交小波大致可分為四種，即Da

27、ubechies小波，對(duì)稱小波，Coiflets小波和Meyer小波。這些正交小波和前面所討論的“經(jīng)典小波”不同，它們一般不能由一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式給出，而是通過一個(gè)叫做“尺度函數(shù)（Scalling function）”的的加權(quán)組合來產(chǎn)生的。尺度函數(shù)是小波變換的又一個(gè)重要概念。由下一章的討論可知，小波函數(shù)，尺度函數(shù)同時(shí)和一個(gè)低通濾波器及高通濾波器相關(guān)連，和可構(gòu)成一個(gè)兩通道的分析濾波器組。這些內(nèi)容構(gòu)成了小波變換的多分辨率分析的理論基礎(chǔ)。因此，在討論正交小波時(shí)，同時(shí)涉及到尺度函數(shù)，分析濾波器組，及綜合濾波器組，。MATLAB中的Wavelet Toolbox中有相關(guān)的軟件來產(chǎn)生各類正交小波及其相應(yīng)的濾

28、波器。1Daubechies小波 Daubechies小波簡(jiǎn)稱db小波。它是由法國(guó)女學(xué)者Ingrid Dauechies于90年代初提出并構(gòu)造的。Daubechies對(duì)小波變換的理論做出了突出的貢獻(xiàn)，特別是在尺度取2的整數(shù)次冪時(shí)的小波理論及正交小波的構(gòu)造方面進(jìn)行了深入的研究，其代表作Ten Lectures on Wavelet（小波十講）深受同行們的歡迎。 dbN中的表示db小波的階次，.當(dāng)時(shí)，db1即是Haar小波。因此，前述的Haar小波應(yīng)歸于“正交小波”類。Daubechies計(jì)算出了時(shí)的及。在MATLAB5.3中，的階次還可以擴(kuò)展。db小波是正交小波，當(dāng)然也是雙正交小波，并是緊支撐的

29、。的支撐范圍在，的支撐范圍在。小波具有階消失矩，在處具有階零點(diǎn)。但db小波是非對(duì)稱的，其相應(yīng)的濾波器組屬共軛正交鏡像濾波器組（CQMFB）。圖9.6.5給出了時(shí)，及，的波形。有關(guān)db小波的構(gòu)造等更多內(nèi)容見第十一章。2. 對(duì)稱小波 對(duì)稱小波簡(jiǎn)記為symN，它是db小波的改進(jìn)，也是由Daubechies提出并構(gòu)造的。它除了有db小波的特點(diǎn)外，主要是是接近對(duì)稱的，因此，所用的濾波器可接近于線性相位。圖9.6.6是時(shí)的對(duì)稱小波。3. Coiflets小波該小波簡(jiǎn)記為coifN，.在db小波中，Daubechies小波僅考慮了使小波函數(shù)具有消失矩（階），而沒考慮尺度函數(shù)。R.Coifman于1989年向

30、Daubechies提出建議，希望能構(gòu)造出使也具有高階消失矩的正交緊支撐小波。Daubechies接受了這一建議，構(gòu)造出了這一類小波，并以Coifman的名字命名。coifN是緊支撐正交、雙正交小波，支撐范圍為，也是接近對(duì)稱的。的消失矩是，的消失矩是。圖9.6.7是時(shí)的coif4小波。 圖9.6.5 時(shí)db小波， (a) ，(b) ，(c) ，(d) 圖9.6.6 時(shí)的對(duì)稱小波，(a) ，(b) 圖9.6.7時(shí)的Coiflets小波，(a) ，(b) 4Meyer小波Meyer小波簡(jiǎn)記為meyr，它是由Meyer于1986年提出的【】。該小波無時(shí)域表達(dá)式，它是由一對(duì)共軛正交鏡像濾波器組的頻譜來

31、定義的，詳細(xì)內(nèi)容見第十一章。Meyer小波是正交、雙正交的，但不是有限支撐的，但其有效的支撐范圍在8，8之間。該小波是對(duì)稱的，且有著非常好的規(guī)則性。圖9.6.8給出了Meyer小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)。 圖9.6.8 Meyer小波，(a) ，(b) 9.6.3 雙正交小波我們?cè)诘谄哒乱阎赋?，兩通道正交鏡像濾波器組具有仿酋性質(zhì)。滿足這一條件的分析濾波器和是功率對(duì)稱的，且和之間有著（7.4.11）和（7.4.12）式的正交性，再是，和有著同樣的長(zhǎng)度，都不是線性相位的。為了取得線性相位的濾波器組，我們需放棄的功率互補(bǔ)性質(zhì)。這也就放棄了和之間的正交性，代之的是雙正交關(guān)系。 由于離散小波變換最后是由兩

32、通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)。因此，正交小波條件下的，和與都不具有線性相位（Haar小波除外）。為此，Daubechies和Cohen提出并構(gòu)造了雙正交小波【】，其目的是在放寬小波正交性的條件下得到線性相位的小波及相應(yīng)的濾波器組。雙正交濾波器組簡(jiǎn)稱biorNr,Nd，其中是低通重建濾波器的階次，是低通分解濾波器的階次。在MATLAB中，和的可能組合是： =1, =1,3,5=2, =2,4,6,8=3, =1,3,5,7,9=4, =4=5, =5=6, =8這一類小波自然不是正交的，但它們是雙正交的，是緊支撐的，更主要的是它們是對(duì)稱的，因此具有線性相位。分解小波的消失矩為。圖9.6.9給出的bior3

33、.7的分解小波、尺度函數(shù)及重建小波和尺度函數(shù)。圖9.6.9 雙正交小波bior3.7 (a) 分解尺度函數(shù)，(b) 分解小波，(c)重建尺度函數(shù)， (d)重建小波9.7連續(xù)小波變換的計(jì)算在（9.1.2）式關(guān)于小波變換的定義中，變量，和都是連續(xù)的，當(dāng)我們?cè)谟?jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個(gè)信號(hào)的小波變換時(shí)，和均應(yīng)離散化。對(duì)離散化最常用的方法是取，并取，這樣。對(duì)于按2的整次冪取值所得到的小波習(xí)慣上稱之為“二進(jìn)（dyadic）”小波。對(duì)這一類小波的小波變換，我們可用第十章的有關(guān)離散小波變換的方法來實(shí)現(xiàn)。然而取，在實(shí)際工作中有時(shí)顯得尺度跳躍太大。當(dāng)希望任意取值，也即在的范圍內(nèi)任意取值時(shí)，這時(shí)的小波變換即是連續(xù)小波變換。

34、計(jì)算（9.1.2）式的最簡(jiǎn)單的方法是用數(shù)值積分的方法，即，令 (9.7.1)由于在的區(qū)間內(nèi)，所以上式又可寫為： (9.7.2)由該式可以看出，小波變換可看作是和的卷積后的累加所得到的結(jié)果，卷積的中間變量是，卷積后的變量為及。MATLAB中的cwt.m即是按此思路來實(shí)現(xiàn)的。具體過程大致如下：1. 先由指定的小波名稱得到母小波及其時(shí)間軸上的刻度，假定刻度長(zhǎng)為；2. 從時(shí)間軸坐標(biāo)的起點(diǎn)開始求積分，；2. 由尺度確定對(duì)上述積分值選擇的步長(zhǎng)，越大，上述積分值被選中的越多；3. 求和所選中的積分值序列的卷積，然后再作差分，即完成（9.7.2）式。本方法的不足之處是在變化時(shí)，（9.7.2）式中括號(hào)內(nèi)的積分、

35、差分后的點(diǎn)數(shù)不同，也即和卷積后的點(diǎn)數(shù)不同。解決的方法是在不同的尺度下對(duì)作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支撐范圍內(nèi)的點(diǎn)數(shù)始終相同。有關(guān)CWT快速計(jì)算的方法還可借助于CZT及梅林變換等方法，詳細(xì)內(nèi)容見文獻(xiàn)21，此處不再討論。例9.7.1令為一正弦加噪聲信號(hào)，它取自MATLAB中的noissin.mat。對(duì)該信號(hào)作CWT，分別等于2和128，時(shí)，小波變換的結(jié)果對(duì)應(yīng)信號(hào)中的高頻成份，時(shí)，小波變換對(duì)應(yīng)信號(hào)中的低頻成份。其原始信號(hào)及變換結(jié)果見圖9.7.1(a)，(b)和（c）。例9.7.2 仍然使用例9.7.1的信號(hào)“noissin”，對(duì)其作CWT時(shí)分別取10，30，60，90，120及150。所得到

36、的圖9.7.2是在各個(gè)尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深，說明在該尺度及該位移（水平軸）處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對(duì)小波變換的結(jié)果具有不同的表示方式。 圖9.7.1 信號(hào)“noissin”的小波變換，(a)原信號(hào)，(b)，(c) 圖9.7.2 多尺度下小波變換的灰度表示9.8尺度離散化的小波變換及小波標(biāo)架我們?cè)冢?.1.2）式定義了信號(hào)的連續(xù)小波變換，式中，和都是連續(xù)變量。為了在計(jì)算機(jī)上有效地實(shí)現(xiàn)小波變換，自然應(yīng)取離散值，和也應(yīng)取離散值。從減少信息冗余的角度，和也沒有必要連續(xù)取值。和形成了一個(gè)二維的“尺度位移”平面。前已述及，越大，對(duì)應(yīng)的頻率越低，反之，對(duì)應(yīng)的頻率越高。因此，平面也可視為“

37、時(shí)頻平面”。對(duì)同一個(gè)信號(hào)，我們已給出過不同的表示形式，如STFT，Gabor變換，WVD及本章的小波變換。 現(xiàn)重寫幾個(gè)有關(guān)的公式，即 (9.8.1) (9.8.2) (9.8.3) (9.8.4)其中（9.8.2）式是用時(shí)頻平面離散柵格上的點(diǎn)來表示，即Gabor展開，（9.8.3）式是具有雙線性變換的表示形式，它和其它三種表示形式有較大的區(qū)別。（9.8.1）和（9.8.4）式說明同一信號(hào)在時(shí)頻平面上具有不同的表示形式。在第二章已指出，（9.8.1）式的反變換是有信息冗余的，即不需要的所有的值即可恢復(fù)。同理，（9.8.4）式的小波變換也存在著信息冗余。在這兩個(gè)式子中，我們只需取時(shí)頻平面上的離散柵

38、格處的點(diǎn)即可。問題的關(guān)鍵是如何決定和抽樣的步長(zhǎng)以保證對(duì)的準(zhǔn)確重建。下面，我們首先考慮尺度的離散化，然后再考慮和的同時(shí)離散化。9.8.1尺度離散化的小波變換目前通用的對(duì)離散化的方法是按冪級(jí)數(shù)的形式逐步加大，即令。若取，則 (9.8.5)稱為“半離散化二進(jìn)小波”，而 (9.8.6)稱為二進(jìn)小波變換。設(shè)母小波的中心頻率為，帶寬為，當(dāng)時(shí)，的中心頻率變?yōu)椋瑤挕Ｈ魰r(shí)，的中心頻率和帶寬分別是：，。從對(duì)信號(hào)作頻域分析的角度，我們希望當(dāng)由變成時(shí)，和在頻域?qū)?yīng)的分析窗和能夠相連接。這樣，當(dāng)由變至無窮時(shí)，的傅里葉變換可以覆蓋整個(gè)軸。顯然，若令母小波的，則上面兩個(gè)頻域窗首尾相連，即 和首尾相連。通過對(duì)母小波作合適的

39、調(diào)制，可以方便地做到?，F(xiàn)在，我們來討論如何由（9.8.6）式的來恢復(fù)，設(shè)是的對(duì)偶小波，并令和取類似的形式，即 (9.8.7)這樣，通過對(duì)偶小波，我們希望能重建： (9.8.8)為了尋找和應(yīng)滿足的關(guān)系，現(xiàn)對(duì)上式作如下改變： 式中代表求傅里葉變換。由（9.1.3）和（9.1.4）式，有 (9.8.9)顯然，若 (9.8.10)則（9.8.9）式的右邊變成的傅里葉反變換，自然就是。9.4節(jié)已指出，對(duì)于滿足容許條件的小波，當(dāng)時(shí)，其二進(jìn)制小波對(duì)應(yīng)的傅里葉變換應(yīng)滿足（9.4.4）式的穩(wěn)定性條件。這樣，結(jié)合（9.4.4）和（9.8.10）式，我們可由下式得到對(duì)偶小波: (9.8.11)由于（9.8.11）式

40、的分母滿足（9.4.4）式，因此有 (9.8.12)這樣，對(duì)偶小波也滿足穩(wěn)定性條件，也即，我們總可以找到一個(gè)“穩(wěn)定的”對(duì)偶小波由（9.8.8）式重建出。下面的定理更完整地回答了在半離散二進(jìn)小波變換情況下的重建問題。定理9.4 如果存在常數(shù)，使得 (9.8.13)則 (9.8.14)如果滿足 (9.8.15)則 (9.8.16)該定理指出，若的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，則在上的小波變換的幅平方的和是有界的。進(jìn)而，和的傅里葉變換若滿足（9.8.15）式（也即（9.8.10）式），則可由（9.8.16）式重建?？傊?，若滿足容許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，由二進(jìn)小波變換總可以重建，也即一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件

41、的對(duì)偶小波總是存在的。但是，滿足穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波不一定是唯一的。如何構(gòu)造“好”的小波及得到唯一的對(duì)偶小波是小波理論中的重要內(nèi)容。我們將再第十一章詳細(xì)討論。文獻(xiàn)10證明了若（9.8.13）式的穩(wěn)定性條件滿足，則（9.3.9）式的容許條件必定滿足，且 (9.8.17)從而，由連續(xù)小波變換總可以恢復(fù)，也即（9.4.1）式總是成立。以上討論的是僅對(duì)作二進(jìn)制離散化的情況，現(xiàn)在考慮和同時(shí)離散化的相應(yīng)理論問題。9.8.2離散柵格上的小波變換令，我們可實(shí)現(xiàn)對(duì)的離散化。若，則。欲對(duì)離散化，最簡(jiǎn)單的方法是將均勻抽樣，如令，的選擇應(yīng)保證能由來恢復(fù)出。當(dāng)時(shí)，將由變成時(shí)，即是將擴(kuò)大了倍，這時(shí)小波的中心頻率比的中心頻

42、率下降了倍，帶寬也下降了倍。因此，這時(shí)對(duì)抽樣的間隔也可相應(yīng)地?cái)U(kuò)大倍。由此可以看出，當(dāng)尺度分別取時(shí)，對(duì)的抽樣間隔可以取，這樣，對(duì)和離散化后的結(jié)果是： (9.8.18)對(duì)給定的信號(hào)，（9.1.2）式的連續(xù)小波變換可變成如下離散柵格上的小波變換，即 (9.8.19)此式稱為“離散小波變換（Discrete Wavelet Transform，DWT）”。注意式中仍是連續(xù)變量。這樣，平面上離散柵格的取點(diǎn)如圖9.8.1所示。圖中取，尺度軸取以2為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。由該圖可看出小波分析的“變焦距”作用，即在不同的尺度下（也即不同的頻率范圍內(nèi)），對(duì)時(shí)域的分析點(diǎn)數(shù)是不相同的。 圖9.8.1 DWT取值的離散柵格記

43、，我們可以仿照傅里葉級(jí)數(shù)和Gabor展開那樣來重建，即 (9.8.20)該式稱為小波級(jí)數(shù)，稱為小波系數(shù)，是的對(duì)偶函數(shù)，或?qū)ε夹〔?。我們知道，?duì)任一周期信號(hào)，若周期為，且，則可展成傅里葉級(jí)數(shù)，即 (9.8.21a)式中是的傅里葉系數(shù)，它由下式求出： (9.8.21b) 小波級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)形式上類似，但其物理概念卻有著明顯的不同：（1） 傅里葉級(jí)數(shù)的基函數(shù)，是一組正交基，即。而小波級(jí)數(shù)所用的一族函數(shù)不一定是正交基，甚至不一定是一組“基”；（2） 對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)來說，基函數(shù)是固定的，且分析和重建的基函數(shù)是一樣的，即都是（差一負(fù)號(hào)）；對(duì)小波級(jí)數(shù)來說，分析所用的函數(shù)是可變的，且分析和重建所用的函數(shù)是不相同的，即分析時(shí)是，而重建時(shí)是；（3） 在傅里葉級(jí)數(shù)中，時(shí)域和頻域的分辨率是固定不變的，而小波級(jí)數(shù)在軸上的離散化是不等距的，這正體現(xiàn)了小波變換“變焦”和“恒Q”性的特點(diǎn)。將（9.1.2）式的連續(xù)小波變換改變成（9.8.19）式的離散小波變換，人們自然會(huì)問：（1） 一族小波函數(shù)，在空間上是否是完備的？所謂完備，是指對(duì)任一，它都可以由這一組函數(shù)（即）來表示；（2） 如果是完備的，那么對(duì)的表示是否有信息的冗余？（3） 如果是完備的，那么對(duì)和的抽樣間隔如何選取才能保證對(duì)的表示不存在信息的冗余？Daubechies對(duì)上述問題進(jìn)行了深入的研究，給出了“小波標(biāo)架”的理論5，現(xiàn)介紹一下其中主