函數(shù)求導(dǎo)法則Word版

1、（十） 隱函數(shù)求導(dǎo)法則由方程所確定的是的函數(shù)稱為隱函數(shù)。從方程中有時可解出是的顯函數(shù) ,如從方程可解出顯函數(shù)；有時，從方程中可以解出不止一個顯函數(shù)，如從方程中可以解出。它包含兩個顯函數(shù)，其中代表上半圓周，代表下半圓周。但也有時隱函數(shù)并不能表示為顯函數(shù)的形式，如方程就不能解出來的形式?，F(xiàn)在討論當(dāng)是由方程所確定的的函數(shù)，并且對可導(dǎo)（即存在），那么在不解出的情況下，如何求導(dǎo)數(shù)呢？其辦法是在方程中，把看成的函數(shù)，于是方程可看成關(guān)于的恒等式:.在等式兩端同時對求導(dǎo)（左端要用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），然后解出 即可。例2.14 求方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 當(dāng)我們對方程的兩端同時對求導(dǎo)時，則應(yīng)有(是中間變

2、量) . 解出 .思考題 證明：圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為.問：法線方程是什么？例2.15 求曲線在點(diǎn)處的切線方程。解 將曲線方程兩邊對求導(dǎo)，得 ，即 .于是 . 過點(diǎn)處的切線斜率1 / 14 =.故所求切線方程為 ， 即 .例2.16 已知 求.解 方程兩邊對求導(dǎo)，得 ，即 . 例2.17 證明雙曲線上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸形成的三角形的面積等于常數(shù).證 在雙曲線上任取一點(diǎn)，過此點(diǎn)的切線斜率為 故切線方程為 .此切線在軸與軸上的截距分別為，, 故此三角形面積為 .例2.18 設(shè) ，求 .解 兩邊對求導(dǎo)，有 當(dāng)時，由 可解出, 即 而當(dāng) 時，由可解出 . .（十一）取對數(shù)求導(dǎo)法（是要點(diǎn)）先看

3、幾個例題。例2.19 設(shè). 此為指數(shù)函數(shù)。兩邊取對數(shù)得 ,即 ,這是隱函數(shù)形式，按隱函數(shù)求導(dǎo)法：將此式兩邊對求導(dǎo)，得 , 即 . , .即指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 （1）特別當(dāng)時，則有 （2）由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，利用公式（1）容易求出的導(dǎo)數(shù)： .而 .若求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只須兩邊對求導(dǎo)，得 所以 (注：另一種解法 從中容易解出 此為的反函數(shù)。而 由此易知 . 即).例2.20 求冪函數(shù)（為任意實(shí)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解 當(dāng)，已有. 現(xiàn)在在兩邊取對數(shù)，則有, 即 . 兩邊對求導(dǎo)數(shù)（做中間變量），有 , . 即 .例2.19,例2.20說明：對指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，都可以利用“取對數(shù)求導(dǎo)

4、法”。但注意，要盡量利用已有公式，如求不必再去令，然后兩邊取對數(shù)。而可直接求例2.21 求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解法一 利用兩邊取對數(shù)方法： 即 .再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 (這里中間變量是)：解法二 由，可變形. 解法一是對冪指函數(shù)兩邊取對數(shù)；解法二是利用（當(dāng)）。兩種技法都要掌握。例2.22 求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 兩邊取對數(shù)兩邊對求導(dǎo)，有，解出例2.20，例2.21，例2.22告訴我們，對于指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù),冪指函數(shù)都可采用先取對數(shù)，再求導(dǎo)，最后解出的方法即“取對數(shù)求導(dǎo)法”。不僅如此，“取對數(shù)求導(dǎo)法”也常用來求那些含乘，除，乘方，開方因子較多的函數(shù)的求導(dǎo)。這是因?yàn)閷?shù)能變，為+，把乘方變乘法。例2.

5、23 求.解法一 =.解法二 令，兩邊取對數(shù)，兩邊對求導(dǎo)數(shù)，. 所以與解法一的方法不同，但結(jié)果一樣。細(xì)心的同學(xué)可能會對解法二提出質(zhì)疑：在表達(dá)式中，并未說明有，那么，怎么可以對它們?nèi)?shù)呢？嚴(yán)格說來，應(yīng)該分情況：當(dāng)或時，由導(dǎo)數(shù)定義可以知道的導(dǎo)數(shù)在處不存在。當(dāng)且時，此時可先在表達(dá)式兩邊取絕對值，得 .因?yàn)椋钥稍谏鲜絻蛇吶?shù)： （*）再對兩邊對求導(dǎo)數(shù)（但我們記得，與是相同的，即對（*）關(guān)于求導(dǎo)的結(jié)果應(yīng)該與不帶絕對值的式子 兩邊對求導(dǎo)的結(jié)果完全一樣。因此，今后做題取對數(shù)時，可不用取絕對值，而直接取對數(shù)就可以了。參數(shù)方程求導(dǎo)法：（十二）由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo)公式。平面曲線一般可用方程或表示。

6、但有時動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不是這樣直接給出，而是通過另一個變量t間接給出的，例如，圓心在原點(diǎn)（0，0），半徑為R的圓周可用方程組, 表示。一般來說， 圖3.4如果平面曲線L上的動點(diǎn)坐標(biāo)可表為如下形式 , , （*） 則稱此方程組（*）為曲線L的參數(shù)方程，t稱為參數(shù)。在上取一點(diǎn)t的值，則對應(yīng)曲線L上一點(diǎn). 當(dāng)t取遍上的所有值時，對應(yīng)的點(diǎn)便組成曲線L. 當(dāng)函數(shù)由參數(shù)方程（*）給出時，怎樣求導(dǎo)數(shù)？ 設(shè) 都存在，且函數(shù)存在反函數(shù)，則通過成為的復(fù)合函數(shù).再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知 .又由反函數(shù)求導(dǎo)法可知 , 所以 .就相當(dāng)于 .例2.24 求橢圓 在 處的切線方程。 解 當(dāng)時， .于是橢圓上的切點(diǎn)是. 橢圓在

7、切點(diǎn)處的切線斜率為 利用點(diǎn)斜式可寫出切線方程 .即 . 或?qū)憺?.作業(yè)：p.114 7, 8(4,10), 9(3,5,6,7,9). 導(dǎo)數(shù)計算法則小結(jié)（1） 四則運(yùn)算法則設(shè)存在，則（）,（）.（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè) ，則 .（3） 隱函數(shù)求導(dǎo)法則（4） 取對數(shù)求導(dǎo)法則。若, 可令 （5）反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)存在可導(dǎo)的反函數(shù)，且，則 或 .(6) 在分段點(diǎn)要用定義求導(dǎo)數(shù)（7） 參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo)法設(shè)，其中可導(dǎo)，且，則 . 要熟記的常用公式1. , .2. , .3. . 4. .5., . . .6. , , .7. .8. 的不同的意義。9. . 求導(dǎo)的典型習(xí)題習(xí)題1 ，求. 解 =.

8、習(xí)題2 ，求. 解 =.習(xí)題3 ，求.解 （利用隱函數(shù)求導(dǎo)法），兩邊對求導(dǎo). 解出 .習(xí)題4 已知 ,且，求證. 而 ，故有.*習(xí)題5 設(shè)，求.解 當(dāng)時，（用公式求）.注意：為求，不能當(dāng)時，如果，則 ，因此在處不連續(xù)，故在處不可導(dǎo)，即不存在。 如果,在處連續(xù)，此時須用導(dǎo)數(shù)定義求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)： . 當(dāng)時=0.故結(jié)論是：(1) 當(dāng)時，(2) 當(dāng)時， 習(xí)題6 求的導(dǎo)數(shù).解 .習(xí)題7設(shè)，定義在內(nèi),其中. 求.解 實(shí)際上是一個分段函數(shù)：所以，當(dāng)時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.，不存在。*習(xí)題8 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，證明必有一點(diǎn) ，使得.（想曲線圖）證（證明的關(guān)鍵是如何利用條件）不妨設(shè) ，由已知條件可得.由于極限大于0，所以，使當(dāng) 時，有 .，有，故存在 ，使得.同樣，由.由于極限大于0，所以 ，使當(dāng) 時，有.，有，故存在，使.在上連續(xù),且異號，由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可知，使.習(xí)題9 設(shè)在處可導(dǎo)，試證 .證 .則 . 習(xí)題10 參數(shù)方程表示平面上的一條曲線,求在處,曲線的切線與法線方程。解 當(dāng)時,曲線上對應(yīng)的點(diǎn)為. 又 . .而 . .切線方程：，即.法線方程：（過點(diǎn)與切線垂直的直線），即 .習(xí)題11 設(shè)球的半徑以2厘米/秒的速度等速增加，求當(dāng)球半徑=10厘米