【課件】6.4.3.1余弦定理高一下學(xué)期人教A版2019必修第二冊課件

1、第1課時余 弦 定 理必備知識必備知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1.1.余弦定理余弦定理(1)(1)定理定理余弦余弦定理定理公式公式表達(dá)表達(dá)a a2 2= _,= _,b b2 2= _,= _,c c2 2= _= _語言語言敘述敘述三角形中任何一邊的平方三角形中任何一邊的平方, ,等于其他兩邊平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍推論推論 b b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos Aa a2 2+c+c2 2-2accos B-2accos Ba a2 2+b+b2 2-2abcos C-2abcos Ccos A_co

2、s B_；222bca2bc222acb2ac222abc2abcos C_.(2)(2)本質(zhì)本質(zhì): :把用把用SASSAS、SSSSSS判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫了刻畫, ,即把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)論變成了可定量計算的公式即把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)論變成了可定量計算的公式. .(3)(3)應(yīng)用應(yīng)用: :已知三角形的兩邊及一角求其他邊和角或已知三角形的三已知三角形的兩邊及一角求其他邊和角或已知三角形的三邊邊, ,求三角形的三角求三角形的三角. .【思考】【思考】已知三角形的兩邊及其一角已知三角形的兩邊及其一角, ,三角形的其他元素是

3、否唯一確定三角形的其他元素是否唯一確定? ?提示提示: :(1)(1)當(dāng)已知兩邊及其夾角時當(dāng)已知兩邊及其夾角時, ,由余弦定理可知由余弦定理可知, ,不妨設(shè)不妨設(shè)a,ba,b邊和其夾角邊和其夾角C C已知已知, ,則則c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos C,c-2abcos C,c唯一唯一,cos B= ,cos B= ,因為因為0B,0B,所以所以B B唯唯一一, ,從而從而A A也唯一也唯一, ,所以三角形其他元素唯一確定所以三角形其他元素唯一確定. .(2)(2)當(dāng)已知兩邊和其中一邊的對角時當(dāng)已知兩邊和其中一邊的對角時, ,如已知如已知a,b,A,a,b,A,可用可用

4、a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos A求解求解c,c,可能有兩解可能有兩解. .222acb2ac2.2.三角形的元素與解三角形三角形的元素與解三角形(1)(1)三角形的元素三角形的元素三角形的三角形的_和它們的和它們的_叫做三角形的元素叫做三角形的元素. .(2)(2)解三角形解三角形已知三角形的已知三角形的_求其他求其他_的過程叫做解三角形的過程叫做解三角形. .三個角三個角A,B,CA,B,C對邊對邊a,b,ca,b,c幾個元素幾個元素元素元素【思考】【思考】已知三角形的三個角能不能解三角形已知三角形的三個角能不能解三角形? ?提示提示: :根據(jù)余弦

5、定理知根據(jù)余弦定理知, ,已知三角形的兩邊及一角或已知三角形的三條邊已知三角形的兩邊及一角或已知三角形的三條邊, ,可以解三角形可以解三角形, ,根據(jù)三角形的三個角根據(jù)三角形的三個角, ,無法解三角形無法解三角形. .【基礎(chǔ)小測】【基礎(chǔ)小測】1.1.辨析記憶辨析記憶( (對的打?qū)Φ拇颉啊?”,錯的打錯的打“”)”)(1)(1)在三角形中在三角形中, ,勾股定理是余弦定理的一個特例勾股定理是余弦定理的一個特例. . ( () )(2)(2)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系, ,因此因此, ,它適應(yīng)于任何它適應(yīng)于任何三角形三角形. . ( () )(3)

6、(3)在在ABCABC中中, ,已知兩邊和其夾角時已知兩邊和其夾角時, ,ABCABC不唯一不唯一. . ( () )2/9/20222/9/2022提示提示: :(1)(1)余弦定理可以看作勾股定理的推廣余弦定理可以看作勾股定理的推廣. .(2)(2)余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系, ,它適合于任何三角形它適合于任何三角形. .(3)(3)由余弦定理可知由余弦定理可知, ,已知已知ABCABC的兩邊和其夾角時的兩邊和其夾角時, ,第三邊是唯一確定的第三邊是唯一確定的, ,所所以以ABCABC是唯一的是唯一的. .2.2.在在ABCABC中中, ,角角A,

7、B,CA,B,C所對的邊分別為所對的邊分別為a,b,c.a,b,c.若若a=4,b=5,c= ,a=4,b=5,c= ,則則角角C C等于等于 ( () ) A.120A.120B.90B.90C.60C.60D.45D.45【解析】【解析】由余弦定理的推論由余弦定理的推論, ,得得cos C= = ,cos C= = ,所所以以C=120C=120. .61222abc2ab22245( 61)12 4 52 A A3.(3.(例題改編例題改編) )已知在已知在ABCABC中中,a=1,b=2,C=60,a=1,b=2,C=60, ,則則c=c= .【解析】【解析】由余弦定理由余弦定理, ,

8、得得c c2 2=1=12 2+2+22 2-2-21 12 2cos 60cos 60=3,=3,所以所以c= .c= .答案答案: : 33關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)合作學(xué)習(xí)類型一已知兩邊及一角解三角形類型一已知兩邊及一角解三角形( (數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)運算) )【題組訓(xùn)練】【題組訓(xùn)練】1.(20181.(2018全國卷全國卷)在在ABCABC中中,cos ,BC=1,AC=5,cos ,BC=1,AC=5,則則AB=(AB=() ) 2.2.已知已知ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C的對邊分別為的對邊分別為a,b,c,a= ,c=2,cos A= ,a,b,c,a= ,c=2,cos

9、A= ,則則b=b=( () )A. A. B. B. C.2C.2D.3D.33.3.在在ABCABC中中, ,已知已知b=3,c=3 ,B=30b=3,c=3 ,B=30, ,則角則角C=C= .C5 25A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5523233A AD D6060或或120120【解析】【解析】1.cos C=2cos1.cos C=2cos2 2 -1=2 -1=2 -1=- , -1=- ,在在ABCABC中中, ,由余弦定理由余弦定理ABAB2 2=CA=CA2 2+CB+CB2 2-2CACBcos C,-2CACBcos C,得得ABAB2 2=25+1-2=

10、25+1-25 51 1 =32, =32,所以所以AB=4 .AB=4 .C225()5353()522.2.由余弦定理得由余弦定理得5=25=22 2+b+b2 2-2-22bcos A,2bcos A,因為因為cos A= ,cos A= ,所以所以3b3b2 2-8b-3=0,-8b-3=0,所以所以b=3b=3或或b=- (b=- (舍去舍去).).23133.3.由余弦定理由余弦定理b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos B,-2accos B,得得3 32 2=a=a2 2+(3 )+(3 )2 2-2a-2a3 3 cos 30cos 30, ,所以所以a a2

11、 2-9a+18=0,-9a+18=0,得得a=3a=3或或6.6.當(dāng)當(dāng)a=3a=3時時,A=30,A=30, ,所以所以C=120C=120. .當(dāng)當(dāng)a=6a=6時時, ,因為因為3 32 2+ =9+27=36=6+ =9+27=36=62 2. .所以所以A=90A=90, ,所以所以C=60C=60. .333【解題策略】【解題策略】解決解決“已知兩邊及一角已知兩邊及一角”解三角問題的步驟解三角問題的步驟(1)(1)用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程, ,運用解方程的方法求運用解方程的方法求出此邊長出此邊長. .(2)(2)再用余弦定理

12、和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】在在ABCABC中中, ,邊邊a,ba,b的長是方程的長是方程x x2 2-5x+2=0-5x+2=0的兩個根的兩個根,C=60,C=60, ,則邊則邊c=c=.【解析】【解析】由題意由題意:a+b=5,ab=2.:a+b=5,ab=2.由余弦定理得由余弦定理得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos C=a-2abcos C=a2 2+b+b2 2-ab-ab=(a+b)=(a+b)2 2-3ab=5-3ab=52 2-3-32=19,2=19,所以所以c= .c= .答案答案

13、: : 1919類型二已知三邊解三角形類型二已知三邊解三角形( (數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)運算) )【例【例1 1】1.1.在在ABCABC中中, ,若若(a+c)(a-c)=b(b-c),(a+c)(a-c)=b(b-c),則則A A等于等于 ( () ) A.90 A.90 B.60 B.60 C.120 C.120 D.150 D.1502.2.在在ABCABC中中, ,已知已知a=2 ,b=6+2 ,c=4 ,a=2 ,b=6+2 ,c=4 ,求求A,B,C.A,B,C.【思路導(dǎo)引】【思路導(dǎo)引】1.1.展開后利用余弦定理的推論求角展開后利用余弦定理的推論求角. .2.2.根據(jù)題目給出的三邊長根據(jù)題

14、目給出的三邊長, ,利用余弦定理的推論求角利用余弦定理的推論求角A A、C,C,再根據(jù)三角形的內(nèi)再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求角角和求角B.B.633B B【解析】【解析】1 .1 .因為因為(a+c)(a-c)=b(b-c),(a+c)(a-c)=b(b-c),所以所以b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc,=bc,所以所以cos A= cos A= 因為因為0 0A180A180, ,所以所以A=60A=60. .222bca1.2bc22.2.根據(jù)余弦定理的推論得根據(jù)余弦定理的推論得, ,cos A= cos A= 因為因為A A(0,(0,),),所以所以A= ,cos C= A= ,

15、cos C= 因為因為C C(0,(0,),),所以所以C= .C= .所以所以B=B=-A-C=-A-C=- - 所以所以A= A= 222222bca62 34 32 63.2bc2262 34 3（）（）（）（） （）6222222abc2 662 34 322ab22 2 662 3（）（）（），（）476412，7BC.6124，【解題策略】【解題策略】已知三角形的三邊解三角形的方法已知三角形的三邊解三角形的方法(1)(1)利用余弦定理的推論求出兩個角利用余弦定理的推論求出兩個角, ,最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角第三個角. .(2)(2)若已知

16、三角形三邊的比例關(guān)系若已知三角形三邊的比例關(guān)系, ,常根據(jù)比例的性質(zhì)引入常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,k,從而轉(zhuǎn)化為從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解已知三邊求解. .【跟蹤訓(xùn)練】【跟蹤訓(xùn)練】(2020(2020蘇州高一檢測蘇州高一檢測) )在在ABCABC中中,AB=3,BC= ,AC=4,AB=3,BC= ,AC=4,則則ACAC邊上的高為邊上的高為( () ) 【解析】【解析】由由BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2ABACcos A,-2ABACcos A,可得可得13=9+16-213=9+16-23 34 4cos A,cos A,得得cos A = .cos A = .因為因為A

17、 A為為ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角, ,所以所以A= ,A= ,所以所以ACAC邊上的高為邊上的高為ABsin A=3ABsin A=3 133 23 33A. B. C. D.3 322212333 3.22B B類型三余弦定理的綜合應(yīng)用類型三余弦定理的綜合應(yīng)用( (數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)運算, ,邏輯推理邏輯推理) )角度角度1 1求值問題求值問題【例【例2 2】1.1.在在ABCABC中中, ,已知已知a=3,b=5,c= ,a=3,b=5,c= ,則最大角與最小角的和為則最大角與最小角的和為( () ) A.90 A.90B.120B.120C.135C.135D.150D.1502.2.若若AB

18、CABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C所對的邊所對的邊a,b,ca,b,c滿足滿足(a+b)(a+b)2 2-c-c2 2=4,=4,且且C=60C=60, ,則則ab=ab=.19B B【思路導(dǎo)引】【思路導(dǎo)引】1.1.根據(jù)題意根據(jù)題意, ,利用三角形利用三角形“大邊對大角大邊對大角”“”“小邊對小角小邊對小角”判斷最大角和最小角判斷最大角和最小角, ,求出中間角后求出中間角后, ,根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解. .2.2.把已知關(guān)系式化簡把已知關(guān)系式化簡, ,根據(jù)化簡結(jié)果和角根據(jù)化簡結(jié)果和角C=60C=60求出求出abab即可即可. .【解析】【解析】1.1.在在ABCAB

19、C中中, ,因為因為a=3,b=5,c= ,a=3,b=5,c= ,所以最大角為所以最大角為B,B,最小角為最小角為A,A,所以所以cos C= ,cos C= ,所以所以C=60C=60, ,所以所以A+B=120A+B=120, ,所以所以ABCABC中中的最大角與最小角的和為的最大角與最小角的和為120120. .19222abc925 1912ab2 3 52 2.2.因為因為C=60C=60, ,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos 60-2abcos 60, ,即即c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-ab.-ab.又因為又因為(a+b)(a+b)2

20、2-c-c2 2=4,=4,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab-4.+2ab-4.由由知知-ab=2ab-4,-ab=2ab-4,所以所以ab= .ab= .答案答案: : 4343角度角度2 2判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀【例【例3 3】在在ABCABC中中, ,若若b b2 2sin sin 2 2C+cC+c2 2sin sin 2 2B=2bccos Bcos C,B=2bccos Bcos C,試判斷試判斷ABCABC的形狀的形狀. .【思路導(dǎo)引】【思路導(dǎo)引】先將正弦轉(zhuǎn)化為余弦先將正弦轉(zhuǎn)化為余弦, ,化簡后利用余弦定理的推論判斷化簡后利用余弦定理的推論判斷.

21、 .【解析】【解析】將已知等式變形為將已知等式變形為b b2 2(1-cos (1-cos 2 2C)+cC)+c2 2(1-cos (1-cos 2 2B)=2bccos Bcos C.B)=2bccos Bcos C.即即b b2 2+c+c2 2=b=b2 2coscos2 2C+cC+c2 2coscos2 2B+2bccos BcosB+2bccos Bcos C C=(bcos C+ccos B)=(bcos C+ccos B)2 2 所以所以A=90A=90. .所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. .2222222222abcacb2a(bc)()a .2ab2ac2

22、a【解題策略】【解題策略】利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑(1)(1)化邊的關(guān)系化邊的關(guān)系: :將條件中的角將條件中的角, ,利用余弦定理化為邊的關(guān)系利用余弦定理化為邊的關(guān)系, ,再變形條件再變形條件判斷判斷. .(2)(2)化角的關(guān)系化角的關(guān)系: :將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系, ,通過三角變換得出關(guān)系通過三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷進(jìn)行判斷. .【題組訓(xùn)練】【題組訓(xùn)練】1.1.在在ABCABC中中,A=60,A=60,a,a2 2=bc,=bc,則則ABCABC一定是一定是( () ) A. A.銳角三角形銳角三角形 B.B.

23、鈍角三角形鈍角三角形 C. C.直角三角形直角三角形 D.D.等邊三角形等邊三角形【解析】【解析】在在ABCABC中中, ,因為因為A=60A=60,a,a2 2=bc,=bc,所以由余弦定理可得所以由余弦定理可得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A=b-2bccos A=b2 2+c+c2 2-bc,-bc,所以所以bc=bbc=b2 2+c+c2 2-bc,-bc,即即(b-c)(b-c)2 2=0,=0,所以所以b=c,b=c,結(jié)合結(jié)合A=60A=60可得可得ABCABC一定是等邊三角形一定是等邊三角形. .D D2.2.已知已知ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA

24、,B,C所對的邊分別為所對的邊分別為a,b,c,a,b,c,若若bcos C+ccos B=asin A,bcos C+ccos B=asin A,則則ABCABC的形狀是的形狀是 ( () ) A. A.銳角三角形銳角三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C. C.鈍角三角形鈍角三角形 D.D.不確定不確定【解析】【解析】因為因為bcos C+ccos B=asin A,bcos C+ccos B=asin A,所以由余弦定理得所以由余弦定理得b =asin A,b =asin A,整理整理, ,得得a=asin A,a=asin A,所以所以sin A=1.sin A=1.又又A A(0,

25、(0,),),所以所以A= .A= .故故ABCABC為直角三角形為直角三角形. .222222abcacbc2ab2ac2B B3.3.如果等腰三角形的周長是底邊長的如果等腰三角形的周長是底邊長的5 5倍倍, ,那么它的頂角的余弦值為那么它的頂角的余弦值為( () ) 【解析】【解析】設(shè)頂角為設(shè)頂角為C,C,周長為周長為l, ,因為因為l=5c,=5c,所以所以a=b=2c,a=b=2c,由余弦定理的推論由余弦定理的推論, ,得得cos C= cos C= 5337A. B. C. Dbc4c4cc7.2ab2 2c 2c8D D余弦定理余弦定理方法總結(jié)方法總結(jié)核心

26、知識核心知識易錯提醒易錯提醒核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)1.1.余弦定理余弦定理2.2.推論：推論：3.3.利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形(1)(1)已知三角形三邊求角，直接利用余弦定理已知三角形三邊求角，直接利用余弦定理. .(2)(2)若已知三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入若已知三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k k， 從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求角從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求角(3)(3)已知三角形的任意兩邊及它們的夾角可以先求出第三邊，已知三角形的任意兩邊及它們的夾角可以先求出第三邊， 然后再求解其他量然后再求解其他量. .注意注意“大邊對大角、大角對大邊大邊對大角、大角對大邊”數(shù)學(xué)抽象：余弦定

27、理及其推論數(shù)學(xué)抽象：余弦定理及其推論. .邏輯推理：余弦定理在邊角互化中的應(yīng)用邏輯推理：余弦定理在邊角互化中的應(yīng)用. .數(shù)學(xué)運算：解三角形數(shù)學(xué)運算：解三角形. .CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222課堂檢測課堂檢測素養(yǎng)達(dá)標(biāo)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.1.在在ABCABC中中, ,已知已知B=120B=120,a=3,c=5,a=3,c=5,則則b b等于等于( () ) A.4 A.4 B. B. C.7C.7D.5D.5【解析】【解析】b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos

28、 B-2accos B=3=32 2+5+52 2-2-23 35 5cos 120cos 120=49,=49,所以所以b=7.b=7.37C C2.2.在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C對應(yīng)的邊分別為對應(yīng)的邊分別為a,b,c,C=60a,b,c,C=60,a=4b,c= ,a=4b,c= ,則則b=b=( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D. D. 【解析】【解析】由余弦定理知由余弦定理知( )( )2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos 60-2abcos 60, ,因為因為a=4b,a=4b,所以所以13=16b13=16b2 2+b+b2 2-2-24b4bb b , ,解得解得b=1.b=1.13131312A A3