數(shù)學物理方程第一章-復變函數(shù)ppt課件

1、第一篇第一篇 復復 變變 函函 數(shù)數(shù) 論論復變函數(shù)復變函數(shù)微分和積分微分和積分泰勒展開和洛朗展開泰勒展開和洛朗展開留數(shù)定理留數(shù)定理傅立葉變換傅立葉變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換zyx11O第一章 復變函數(shù)代數(shù)表示代數(shù)表示: x ,y 為實數(shù)，為實數(shù)，i 為單位虛數(shù)，為單位虛數(shù)，那么那么iyxz且 x 為其實部，y 為虛部，記zxRezyIm1.1. 復數(shù)12i為復數(shù)iez 且)/(22xyarctgyx和sincosyxzArgz)20( Argz主值復共軛ieiyxz又稱為模其它概念其它概念x 軸為實軸，y 軸為虛軸，構(gòu)成復數(shù)平面復數(shù) z 為此平面上的一點幾何表示幾何表示從幾何上看，復數(shù)又是此

2、平面上的一個矢量為矢量長度為幅角記復數(shù)的運算復數(shù)的運算222111,iyxziyxz加法)()(212121yyixxzz2121zzzz減法)()(212121yyixxzz2121zzzz乘法)()(1221212121yxyxiyyxxzz除法)(2122222112222221212121ieyxyxyxiyxyyxxzz冪n整數(shù)）innnez 根ninnez/迫近000,yyxxzz12i測地投影和無限遠點測地投影和無限遠點如左圖，一球的南極與復數(shù)平面的原點相切，平面上任意點 A 與球的北極由一條直線相連，直線與球相交于 A 。由此，每一有限的復數(shù) 投影到球上一點 。這個投影叫測地投

3、影，這個球叫復數(shù)球。所有的無窮大復數(shù)平面上無限遠點投影到唯一的北極 N。故我們?yōu)榉奖悖瑢o窮遠點看作一個點。其模無窮大，幅角無意義。復數(shù) z 是兩個獨立變量 (x, y) 的集合。它在數(shù)值計算中是一個整體，服從通常的四則運算規(guī)則和虛單位的特殊規(guī)則；它可以看作具有兩個獨立分量的量來表示矢量和計算。小結(jié)小結(jié)1.2. 復變函數(shù)比較與實變函數(shù)相對應的定義實函數(shù)：實函數(shù)：)(xfyxx)(xfy定義域、值域y=f(x)y=f(x)ivu0zxyzvu0)(zf復函數(shù)()fz0zxyzvu0)(zf定義域值域定義定義 在復平面上一點集在復平面上一點集 E 中每一點，都有一個或幾個復中每一點，都有一個或幾個

4、復數(shù)數(shù) 與之對應，稱與之對應，稱 為為 z 的函數(shù)，的函數(shù)，E 為定義域，為定義域，Ezzf)(記 0zxyzvu0)(zf定義域值域E實函數(shù)：實函數(shù)：定義定義: 對于實數(shù)域中一區(qū)域?qū)τ趯崝?shù)域中一區(qū)域 B 中的每一實數(shù)中的每一實數(shù) x ，都有唯一的一個實數(shù)都有唯一的一個實數(shù) y 與之對應。則稱與之對應。則稱 y 為為 x 的的函數(shù)。函數(shù)。 B為此函數(shù)的定義域，記為此函數(shù)的定義域，記 。連續(xù)，可微：連續(xù)，可微： )(xfynCCn 次可微無限可微鄰域鄰域區(qū)域區(qū)域 B 的內(nèi)點的內(nèi)點外點外點境界點境界點 境界線境界線區(qū)域區(qū)域內(nèi)點組成的連通集合閉區(qū)域閉區(qū)域區(qū)域和境界線的全體全體境界點的集合不是內(nèi)點，也

5、不是外點的點。z 和它的鄰域都不屬于 B， 那么 z 為 B 的外點。z 和它的鄰域都屬于 B， 那么 z 為 B 的內(nèi)點。復平面上圓 內(nèi)點的集合 幾個概念幾個概念zzrrzz00z區(qū)域例多項式多項式nnzazazaa2210有理分式有理分式mmnnzbzbzbbzazazaa22102210根式根式nnzazazaa2210指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))sin(cosyiyeeeeexiyxiyxz三角函數(shù)三角函數(shù)ieezeeziziziziz2sin,2cos雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)2sinh,2coshzzzzeezeez對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)iezilnlnln冪函數(shù)冪函數(shù)isssez 連續(xù)：連續(xù)：0zz )(

6、)(0zfzf或：00yyxx.),(),(),(),(000000yxvyxvyxuyxu視 z 為矢量),(),()(yxv jyxuizyjxiz這是平面上的矢量場可以設(shè)矢量函數(shù)1.3. 1.3. 導導數(shù)數(shù)zzfzzfzzz)()(limlim00定義定義dzdf運算規(guī)則運算規(guī)則;)(,1,)(,)(,)(222121212121212121dzddzdFFdzdddzdzddzddzddzddzddzddzddzd.1ln,sincos,cossin,1zzdzdzzdzdzzdzdeedzdnzzdzdzznn復函數(shù)是一個二元函數(shù)實部和虛部），復數(shù)空間又是個二元空間，故復函數(shù)類似于一

7、個矢量場，其導數(shù)一般應與方向有關(guān)?？蓪В簩θ魏畏较虻目蓪В簩θ魏畏较虻?，極限都存在并唯一。，極限都存在并唯一。zx0y),(yxu1r2r1r2r1u2u可導：對任何方向的可導：對任何方向的 ，極限都存在并唯一。，極限都存在并唯一。zxyzzz zz復數(shù)0 xxx實數(shù)因而，復函數(shù)的可導性是比實函數(shù)的可導性強的多的條件。柯西柯西黎曼方程黎曼方程z沿實軸0yxvixuzxvixuzz0limz沿虛軸yiviyiuz0 xyuiyvzz0lim可導，要求二者相等可導，要求二者相等yvxu必要條件必要條件yuxv柯西柯西黎曼方程黎曼方程yvxu必要條件必要條件可導的充分條件:)(zf的yvxvyux

8、u,存在，連續(xù)且滿足柯西黎曼方程。yuxv1.4. 1.4. 解析函數(shù)解析函數(shù))(zf在點 解析，即在這點可導。0z為在區(qū)域 B 中解析函數(shù)，即在區(qū)域的點點解析。性質(zhì)性質(zhì)曲線族21),(),(CyxvCyxu相互正交。yvyuxvxu即由柯西黎曼方程vuyvyuxvxu0兩族曲線的梯度正交兩族曲線正交(1)知 U 求 V當它們是某解析函數(shù)的實部和虛部dyxudxyudyyvdxxvdvyxv),(可由 (1) 曲線積分 (2) 湊全微分顯式 (3) 不定積分 求出滿足拉普拉斯方程由柯西黎曼方程)()(xvyuyyvxux02222yuxu02222yvxv調(diào)和函數(shù)(2)例例22),(yxyxu求)(),(zfyxv解解:2, 22222yuxu u 是調(diào)和函數(shù);Cxdyydxdyxudxyuyxv22),(1)二元函數(shù)的線積分，將來在熱力學中出現(xiàn)。全微分的積分與路徑無關(guān)CxyCydxCxdyydxxdyydxyxvyxyyxyy222222),(),(), 0(),(), 0(), 0()0 , 0(2)2(22),(xydxdyydxyxdvCxyv 2(3)(2)(2),(xxyxxdyyxv視 x 為參量，對 y 積分yyuxyxv2)( 2求 滿足的方程)