國際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育摘記

1、國際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育摘記 (2009-02-1614:44:13) 轉(zhuǎn)載 標簽：分類：且行且思 教育 按：前一段時間，一個朋友向我推薦了鄭毓信教授的國際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育，還把電子書傳給了我(可惜不能復(fù)制內(nèi)容)。因為一直很敬佩鄭教授，于是，邊看邊做一些摘記。呵呵，也許讀書是應(yīng)該留下一點痕跡的吧！ 引言：數(shù)學(xué)教育研究之合理定位 我們首先應(yīng)特別關(guān)注關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維活動的研究，因為，從根本上 說,一切的數(shù)學(xué)教學(xué)活動或教育教學(xué)研究最終都應(yīng)落實到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而， 只有對學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維活動具有較為深入的了解，數(shù)學(xué)教育研究才 有可能在科學(xué)的基礎(chǔ)上得到健康發(fā)展，我們的教學(xué)工作也才

2、可能真正超越純粹經(jīng)驗總結(jié)的水平而上升為理論指導(dǎo)下的自覺實踐。 【數(shù)學(xué)教育教學(xué)的重點應(yīng)放在：研究學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的思維活動情況。 讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，更進一步說，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，這是數(shù)學(xué)教育的終極目標?！?在2002年10月于香港召開的國際比較研究會議上，美國著名比較教育研究專家丁格勒就曾提及，在先前美國數(shù)學(xué)教育界通常較為注意學(xué)生的方面，而現(xiàn) 在則已認識到了教師是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵因素：進而，就如何改進教師的工作 而言，人們在先前往往比較注意如何招募更為優(yōu)秀的人材來充實教師隊伍，以及 如何提高教師的素質(zhì)，現(xiàn)在則開始認識到教學(xué)方法的重要性。 【“建構(gòu)主義”理論認為， 學(xué)習(xí)是個體的一種主動

3、建構(gòu)過程， 它強調(diào)學(xué)生的主體參與。但如果這種強調(diào)超過了一定的限度，也會產(chǎn)生一定的弊端，出現(xiàn)“主體性神話”現(xiàn)象。在強調(diào)學(xué)生主體的同時，教師的主導(dǎo)作用也應(yīng)予以重視！對教學(xué)方法的研究，無論在何種環(huán)境中，都是必須強調(diào)的。】 第一章數(shù)學(xué)教育的國際進展及其啟示 美國著名比較教育研究專家斯丁格勒在前面所提及的那次香港會議上曾表達了這樣的看法：“數(shù)學(xué)教學(xué)中問題設(shè)計”可以被看成改進教學(xué)的一個突破口，而我們中國在這一個方面顯然已經(jīng)積累了大量的經(jīng) 驗。 P22 第二章數(shù)學(xué)教育哲學(xué)與建構(gòu)主義 數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的研究應(yīng)當集中于以下三個問題： 第一，什么是數(shù)學(xué)？這也就是所謂的數(shù)學(xué)觀。 第二，為什么要進行數(shù)學(xué)教育？這直接涉及到

4、了數(shù)學(xué)的價值和數(shù)學(xué)教育的基本目標。 第三， 應(yīng)當怎樣去進行數(shù)學(xué)教學(xué)？這就是關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)于教學(xué)活動本質(zhì)的認識論分析。 由于上述三個問題顯然都應(yīng)被看成數(shù)學(xué)教育的基本問題，因此，筆者以為，這事實上也就更為清楚地表明了這樣一點：數(shù)學(xué)教育哲學(xué)研究的主要目標就是要從哲學(xué)高度為數(shù)學(xué)教育奠定必要的理論基礎(chǔ)。 P31 【原以為數(shù)學(xué)教育哲學(xué)是非常抽象和高深的，沒想到其研究的問題與我們息息相關(guān)呢！如果能把這三個問題參悟透，那一定會成為學(xué)者型教師！】 數(shù)學(xué)觀的革命 在強調(diào)數(shù)學(xué)知識更新的同時，我們也應(yīng)十分注意基本數(shù)學(xué)觀念的必要轉(zhuǎn)變， 也即應(yīng)當由傳統(tǒng)的靜態(tài)的、絕對主義的、機械反映論的數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)向動態(tài)的、易謬主義的、模式論的

5、數(shù)學(xué) 觀。 P 32 例如，一種十分常見的觀念就在于：人們往往把數(shù)學(xué)等同于數(shù)學(xué)知識（在此主要指各個具體的數(shù)學(xué)結(jié)論、命題和公式等）的匯集，后者又常常被看成無可懷疑的真理。 然而，以上的觀念（對此可稱為“靜態(tài)的和絕對主義的數(shù)學(xué)觀”）并不能被看成正確地反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，因為，與所說的“靜態(tài)”特征相比，數(shù)學(xué)事實上 更應(yīng)被看成是人類的一種創(chuàng)造性活動，而也正因為此，我們又應(yīng)明確承認數(shù)學(xué)的猜測性，這也就是說，數(shù)學(xué)活動即應(yīng)被看成一種包含有猜測、錯誤和嘗試、證明與反駁、檢驗與改進的復(fù)雜過程。 【讀到這段話，又想到了大數(shù)學(xué)家克萊因的觀點一一數(shù)學(xué)不是真理。也即是說，我們不該把數(shù)學(xué)視為“靜態(tài)”的，因為數(shù)學(xué)體系還在不斷

6、地發(fā)展、壯大。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動也是創(chuàng)造性的，允許猜想、錯誤、檢驗等行為存在?！?具體地說，后一種觀念就是所謂的“動態(tài)的、易謬主義的數(shù)學(xué)”。而由靜態(tài) 的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀向動態(tài)的、易謬主義的數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)變則就代表了數(shù)學(xué)觀的一 次革命。以下再圍繞“數(shù)學(xué)活動論”和“經(jīng)驗與擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀”對后者的主要內(nèi)涵與教育意義作出進一步的介紹。 所謂“數(shù)學(xué)活動論”，在此既是指在從事數(shù)學(xué)的教學(xué)活動時、我們不應(yīng)把注 意力唯一地集中于數(shù)學(xué)活動的最終產(chǎn)物，而應(yīng)更加注意活動本身。例如,數(shù)學(xué)活動往往以某個或某些有待于解決的問題作為實際出發(fā)點；從而，從這樣的角度去 分析，我們也就應(yīng)當將“問題”看成“數(shù)學(xué)（活動）”的一個重要組成成分；

7、其次，為了求解問題，我們顯然又必須采取一定的表述工具和研究方法，從而，這也就直接涉及到了“數(shù)學(xué)（活動）”的另外兩個要素：“語言”和“方法”。冉則，由于在現(xiàn)代社會中每個數(shù)學(xué)工作者都必定處于一定的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)之中，盡管其 本人可能并未明確地認識到這樣一點，而所說的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)則又往往借助于相應(yīng)的 “觀念”得到了明確表現(xiàn)，從而，我們在此事實上也就應(yīng)當把“觀念”看成是“數(shù)學(xué)（活動）”的又一重要組成成分。 綜上可見，從動態(tài)的角度去分析，“數(shù)學(xué)”就應(yīng)被看成包含有更多的內(nèi)容， 也既是由“命題”“問題”“語言”“方法”和“觀念”等多種成分所組成的一個復(fù)合體，這也就是所謂的“數(shù)學(xué)活動論”。 【在關(guān)注結(jié)論的同時， 更要十

8、二分地注重活動過程的體驗， 這就是“數(shù)學(xué)活動論”的真義吧！】 對于方法的強調(diào)則顯然也是與數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代發(fā)展趨勢完全相一致的，這也 就是說，與具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)相比，我們即應(yīng)更加注意學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，特別是，這就可以被看成改進數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要方向，既是應(yīng)當用數(shù)學(xué)方法論去指導(dǎo)具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)，從而真正做到“教活”“教懂”“教深”一一所謂“教活”，就是讓學(xué)生看到活生生的數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識；所謂“教懂”，就是讓學(xué)生真正理解有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而不是囪囹吞棗，死記硬背；所謂“教深”，則是指使學(xué)生不僅能掌握具體的數(shù)學(xué)知識，而其也能領(lǐng)會內(nèi)在的思想方法。 P35 【可見，對于方法的指導(dǎo)，再

9、重視也不過分！】 對于“語言”的強調(diào)則直接涉及到了對于“數(shù)學(xué)”自身的理解。于自然語言一樣，數(shù)學(xué)事實上也應(yīng)被看成一種語言：自然科學(xué)的語言（特殊地，這顯然就從 另一個角度說明了“數(shù)學(xué)”何以與“語文”“外語”一起被列為高考的三個基本 內(nèi)容；另外，從這一角度去分析，我們也可更為深入地去理解“數(shù)學(xué)地談?wù)摗庇?“數(shù)學(xué)地寫作”的意義）；另外，以下的事實則可說最為清楚地表明了“語言學(xué)習(xí)”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位：按照不少學(xué)者的看法，數(shù)學(xué)語言的掌握情況就可被看成數(shù)學(xué)水平的一個重要標志，例如，對代數(shù)語言的掌握就標志著由小學(xué)數(shù)學(xué)水平到中學(xué)數(shù)學(xué)水平的過渡，對極限語言的掌握則標志著由初等數(shù)學(xué)上升到了高等數(shù)學(xué)的水平，最后，

10、集合論語言的普遍使用則就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個重要標 P35 【數(shù)學(xué)是一種語言，這一語言分為：代數(shù)語言、極限語言和集合論語言。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，代數(shù)語言占據(jù)著重要地位?！?美國著名數(shù)學(xué)教育家戴維斯教授的以下警告：“我們的學(xué)校已接近于毀滅年 輕的一代?！?【這話絕非危言聳聽！】 所謂的“經(jīng)驗與擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀”其基本涵義之一就是對于數(shù)學(xué)猜測性和易謬性的直接肯定（后者也就是所謂的“易謬主義”的一個基本立場）；另外，從更深的層次來看，前者包括了對于數(shù)學(xué)真理性問題的進一步分析：我們首先即應(yīng) 承認社會實踐對于數(shù)學(xué)發(fā)展的決定性作用，然而，作為對于這種“經(jīng)驗數(shù)學(xué)觀”的必要補充和重要發(fā)展，我們又應(yīng)看到數(shù)學(xué)研究具有自己

11、相對獨立的檢驗標準，這就是關(guān)于數(shù)學(xué)意義的分析，如新的研究是否有利于認識的深化和方法論上的進步等一一顯然，后者事實上也就是對于數(shù)學(xué)特殊性的直接肯定，從而我們就不 應(yīng)將數(shù)學(xué)簡單地等同于一般的經(jīng)驗學(xué)科。 與“數(shù)學(xué)活動論”一樣，“經(jīng)驗與擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀”也有著重要的教育意義。 例如，從易謬主義的立場出發(fā)，我們在數(shù)學(xué)中顯然就不僅應(yīng)當教證明，而且也應(yīng)教會學(xué)生進行猜測。值得指出的是，后者就是與培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)美的鑒賞能力直接相關(guān)聯(lián)的，而又正如法國著名科學(xué)家、數(shù)學(xué)家彭加萊所指出的，“缺乏這種 審美感的人永遠不會成為真正的創(chuàng)造者。”另外，正因為數(shù)學(xué)活動是一種包括擦側(cè)、錯誤和嘗試、證明與反駁、檢驗與改進的復(fù)雜過程，

12、因此，就不能不說是一一種過于簡單化的認識與做法，既是希望能夠通過事先的預(yù)防完全避免學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)各種各樣的粗無，毋寧說，我們即應(yīng)對學(xué)生的錯誤采取更為容忍和理解的態(tài)度，并應(yīng)努力幫助學(xué)生學(xué)會“從錯誤中學(xué) 習(xí)”。P37 【同情并理解學(xué)生的錯誤，說說容易，要真正做到卻并未易 事！】 最后，我們再來對“模式論的數(shù)學(xué)觀”作一簡單介紹，與機械反映論相對立，模式論的數(shù)學(xué)觀其核心觀點就在于：數(shù)學(xué)并非對于客觀事物或現(xiàn)象的直接研究，而是通過相對獨立的量化模式的建構(gòu)、并以此為直接對象來從事客觀世界量性規(guī)律性研究的。這也就是說,無論是數(shù)學(xué)中的觀念和命題，還是數(shù)學(xué)中的問題和方法，它們都具有超越特殊對象的普遍意義，也即都

13、是一種抽象的“模式” (pattern),而并非真實的事實或現(xiàn)象，或是它們的直接“模型” 進而，數(shù)學(xué)則更應(yīng)當被看成是“模式的科學(xué)” 【數(shù)學(xué)主要研究客觀事物或現(xiàn)象呈現(xiàn)的模式、模型，它是模式的科學(xué)。因此，它具備抽象性，也就不足為怪了！】 更為一般地說，我們在此可明確地提出如下的目標：我們即應(yīng)以模式的概念為核心來組織數(shù)學(xué)教學(xué)，并應(yīng)努力幫助學(xué)生建立與發(fā)展分析模式、應(yīng)用模式、建構(gòu)模式與鑒賞模式的能力，這也就是所謂的“模式論的數(shù)學(xué)教學(xué)觀”。 顯然， 這事實上也就清楚地表明了“數(shù)學(xué)模式論”的教學(xué)內(nèi)涵。 P38 美國著名數(shù)學(xué)教育家倫伯格(T.Romberg)就曾指出：“兩千多年來，數(shù)學(xué)一直被認為是與人類的活動

14、和價值觀念無關(guān)的無可懷疑的真理的集合。這一觀 (model), 念現(xiàn)在遇到了越來越多的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的挑戰(zhàn)，他們認為數(shù)學(xué)是可錯的、變化的，并和其他知識一樣都是人類創(chuàng)造性的產(chǎn)物。這種動態(tài)的數(shù)學(xué)觀具有重要的數(shù)學(xué)涵義。”特殊地，這顯然也就十分清楚地表明了數(shù)學(xué)觀的必要轉(zhuǎn)變的重要性。 P39 【數(shù)學(xué)是可錯的、變化的，它是動態(tài)發(fā)展變化的，確立這一個數(shù)學(xué)觀，對我們的數(shù)學(xué)教育意義重 大！】 對立面的必要平衡 在筆者看來，這事實上就應(yīng)被看成目前正處于積極實施之中的新一輪數(shù)學(xué)課程改革深入發(fā)展的關(guān)鍵所在，既是應(yīng)當很好地處理以下的一些關(guān)系，特別是，我們在此不應(yīng)采取完全排斥的態(tài)度，而是應(yīng)當努力做到對立面的很好協(xié)調(diào)與相互促進： “學(xué)生情感、態(tài)度、價值觀和一般能力的培養(yǎng)”與“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與技能的 教學(xué)”； “學(xué)生的個性發(fā)展”與“個人的社會定位”； “義務(wù)教育的普及性、基礎(chǔ)性和發(fā)展性”與“數(shù)學(xué)上普遍的高標準”； “大眾數(shù)學(xué)”與“20%較好的學(xué)生在數(shù)學(xué)