四隨機(jī)變量的數(shù)字特征A

1、第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望第二節(jié)第二節(jié) 方差方差第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣本章主要內(nèi)容 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分的概率分布，那么布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的是較難確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，們并不需要知

2、道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了. 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的某些數(shù)字特征是重要的 .我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差 分賭本問(wèn)題(產(chǎn)生背景) A, B 兩人賭技相同, 各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝, 取得全部 200 元.由于出現(xiàn)意外情況 ,在 A 勝 2 局 B 勝1 局時(shí),不得不終止賭博, 如果要分賭金,該如何分配才算公平?A 勝 2 局 B 勝 1 局前三局:后二局

3、:把已賭過(guò)的三局(A 勝2局B 勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即 A、B 賭完五局,A AA B B AB BA 勝B 勝假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:A AA B B AB BA勝B負(fù) A勝B負(fù) A勝B負(fù) B勝A負(fù) B勝A負(fù) A勝B負(fù) B勝A負(fù) B勝A負(fù) 因此, A 能“期望”得到的賭金應(yīng)為 41043200 ),(150 元而B(niǎo) 能“期望”得到的賭金, 則為43041200).(50 元故有, 在賭技相同的情況下, A, B 最終獲勝的可能性大小之比為3:1,即A 應(yīng)獲得賭金的 而 B 只能獲得賭金的,43.41因而A 期望所得的賭金即為X 的 “期望”值,等于X 的可能值與其概率之積

4、的累加.).即為設(shè)隨機(jī)變量 X 表示 “在 A 勝2局B 勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去 A 最終所得的賭金” .則X 所取可能值為:2000其概率分別為:4341:1定義kkkkkkpxpx 11絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，則則稱(chēng)稱(chēng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望，記為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望，記為E(X)，即即 kkkpxXE 1)(.21 X ，的的分分布布律律為為設(shè)設(shè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量 kpxPXkk說(shuō)明說(shuō)明v“絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂”保證期望存在及唯一；保證期望存在及唯一；v數(shù)學(xué)期望實(shí)際上就是數(shù)學(xué)期望實(shí)際上就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均；以概率為

5、權(quán)數(shù)的加權(quán)平均；vr.v.r.v.X的期望也就是它服從的分布的期望的期望也就是它服從的分布的期望。注：并非所有的隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望。注：并非所有的隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望。試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好? 誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手甲射手擊擊中中環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)概率1 . 06 . 010983 . 0擊中環(huán)數(shù)概率10982 . 05 . 03 . 0故甲射手的技術(shù)比較好.為為他他們們射射擊擊的的分分布布律律分分別別乙乙兩兩個(gè)個(gè)射射手手、甲甲,.,21XX數(shù)數(shù)分分別別為為設(shè)設(shè)甲甲、乙乙射射手手擊擊中中的的環(huán)環(huán)),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1環(huán)環(huán) XE),( 1 . 93 . 0105

6、. 092 . 08)(2環(huán)環(huán) XE( ),( )d,( )d,().()( )d .Xf xx f xxx f xxXE XE Xx f xx設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為若積分絕對(duì)收斂 則稱(chēng)積分的值為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 記為即 E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，形式上是是一個(gè)實(shí)數(shù)，形式上是X的可能值的加權(quán)平均的可能值的加權(quán)平均數(shù)，實(shí)質(zhì)上它體現(xiàn)了數(shù)，實(shí)質(zhì)上它體現(xiàn)了X取值的真正平均。又稱(chēng)取值的真正平均。又稱(chēng)E(X)為為X的平均值，簡(jiǎn)稱(chēng)均值。它完全由的平均值，簡(jiǎn)稱(chēng)均值。它完全由X的分布所決的分布所決定，又稱(chēng)為分布的均值定，又稱(chēng)為分布的均值.xxfxXEd)()(xxxde5150).(5 分鐘因此, 顧客平均等

7、待5分鐘就可得到服務(wù). 顧客平均等待多長(zhǎng)時(shí)間? 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間 X(以分計(jì))服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時(shí)間?. 0, 0, 0,e51)(5xxxfx例例2：設(shè)：設(shè)X的密度函數(shù)如下，求的密度函數(shù)如下，求EX其他021210)(xxxxxfdxxxfEX)(解：1)2.(.2110dxxxxdxx 1. 問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)的分布，我們需要計(jì)算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)望，比如說(shuō)g(X)的期望的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？呢？隨機(jī)變

8、量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望? 一種方法是，因?yàn)橐环N方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái)的分布求出來(lái). 一旦我們知道了一旦我們知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定義把就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來(lái)計(jì)算出來(lái). 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的的分布，一般是比較復(fù)雜的 . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根據(jù)根據(jù)

9、X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？kxX kkpxXP 21011p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求若的分布律先求2XY 2XY p4102p31pp 4p設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為則有)()()(2XEXgEYE43124)(10pppp423212221) 1(0pppp.)(41kkkxXPxg因此離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為若 Y=g(X), 且, 2, 1,kpxXPkk則有.)()(1kkkpxgXgE定理定理1: 設(shè)設(shè)Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)，即的函數(shù)，即Y=g(X),g(x)是是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)。.21 )1(，分布律為分布律為是離散型隨機(jī)變量，且是離散

10、型隨機(jī)變量，且設(shè)設(shè)， kpxXPXkkkkkpxgXgEYE 1)()()(絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有若若kkkpxg 1)()()2(xfX概概率率密密度度是是連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量，有有設(shè)設(shè)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，則則有有若若dxxfxg)()( dxxfxgxgEYE)()()()(推廣：推廣： 設(shè)設(shè)Z是隨機(jī)向量（是隨機(jī)向量（X,Y）的函數(shù)，即）的函數(shù)，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是連續(xù)函數(shù)）是連續(xù)函數(shù)）.21 ),()1(，分分布布律律為為是是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)向向量量，且且若若， jipyYxXPYXijji時(shí)時(shí)，有有則則當(dāng)當(dāng)， ijjijipyxg11)(ijjijipy

11、xgYXgEZE 11)(),()(，有有概概率率密密度度為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)向向量量且且具具若若),(),()2(yxfYX 時(shí)時(shí)，），（），（則則當(dāng)當(dāng)dxdyyxfyxg dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(有有： 該定理的重要性在于該定理的重要性在于: 當(dāng)我們求當(dāng)我們求Eg(X)時(shí)時(shí), 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的的分布就可以了分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便望帶來(lái)很大方便.即：如求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望即：如求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望并不要求知道其密度函數(shù)，只需知道作為并不要求

12、知道其密度函數(shù)，只需知道作為自變量的隨機(jī)變量的密度函數(shù)即可。自變量的隨機(jī)變量的密度函數(shù)即可。例4的的分分布布律律為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)2XY 解解kkkpxXEYE 22)()(30. 210. 0315. 0220. 01222 25. 0020. 0)1(10. 0)2(222 例例5：設(shè)：設(shè)XN(0,1)，求，求EX2dxexEXx222221解：)21(22xexddxeexxx)21(| 21.22221例例6： 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為f (x,y)=x + y0 0 x 1 1 ,0 y

13、1 10其它其它試求試求XY的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.解：解： dxdyyxfyxYXE(),() 1 10 01 1 0 0 dxdyyx(x + y)13 -?某地中秋節(jié)月餅需求量X在4 6t之間服從均勻分布，食品廠(chǎng)每銷(xiāo)出1t獲利1萬(wàn)元，若積壓1t，則損失4千元，為使工廠(chǎng)所獲利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，問(wèn)該廠(chǎng)應(yīng)生產(chǎn)多少t月餅為宜 ,at設(shè)生產(chǎn):YX則獲利是的函數(shù)104(),()10 ,.XaXXaYh XaXa若若64( )( )dh x f xx27-38562aa146,( )20,.xf x， 其他( ) ()( ) ( )dE YE h Xh x fxx64111104()d10d222aax

14、axxax38=( )7aE Y 最大。習(xí)題習(xí)題8： 設(shè)圓的直徑設(shè)圓的直徑XU(a,b)，求圓的面積的期望。，求圓的面積的期望。，則則設(shè)設(shè)圓圓的的面面積積為為解解24:XAA 式式有有則則由由定定理理1 其其他他）（的的概概率率密密度度為為 01bxaabxfXX）（222212 14)4()(aabbdxabxXEAEba 定理定理2： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 E(X), E(Y)存在存在.；為為常常數(shù)數(shù)，則則設(shè)設(shè)ccEc )(；)()(XcEcXE 三、三、 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)kkkkkkx py p()( ).E XE Y4. 設(shè)設(shè) X, Y 是相互獨(dú)立

15、的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有則有).()()(YEXEXYE 3. 設(shè)設(shè) X, Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量是兩個(gè)隨機(jī)變量, 則有則有).()()(YEXEYXE 證明證明()()kkkkE XYxyp說(shuō)明說(shuō)明 用連續(xù)型隨機(jī)變量用連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望的定義可類(lèi)的數(shù)學(xué)期望的定義可類(lèi)似證明。可利用期望的性質(zhì)求似證明?？衫闷谕男再|(zhì)求r.v.（函數(shù)）的期望。（函數(shù)）的期望。niiniiXEXE11)(:推廣（Xi獨(dú)立時(shí)）獨(dú)立時(shí)）niiniiXEXE11)(:推廣 由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出 X,Y獨(dú)立獨(dú)立11:()nniiiiEC XC E X更一般地推廣注

16、：注：1)1)性質(zhì)（性質(zhì)（3 3）和（）和（4 4）可推廣到個(gè)隨機(jī)）可推廣到個(gè)隨機(jī)變量的情形變量的情形例例8：設(shè)一次試驗(yàn)中事件：設(shè)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為，則在次發(fā)生的概率為，則在次這樣的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件這樣的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)XB（，），求（，），求E(X).解解 ： X的分布律為的分布律為qqnkqpCkXPknkkn 1.10 ，01iX記：第次試驗(yàn)中第次試驗(yàn)中A發(fā)生發(fā)生第次試驗(yàn)中第次試驗(yàn)中A不發(fā)生不發(fā)生則則Xi(1 i n )是服從是服從0-1分布的隨機(jī)變量且有分布的隨機(jī)變量且有niinXXXXX121.又又 E Xi=p (1 i n)npEXXEEXni

17、inii11)(從而1.數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù), 而非變量,它是一種加權(quán)平均, 與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正的平均值.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)).()()(,);()()();()(;)(YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE獨(dú)立例例1： 設(shè)設(shè)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的（的（0-1）分布，求）分布，求E(X)。解：解： X的分布律為的分布律為0p1,q=1-pppqXE 10）（則則幾種常用分布的期望幾種常用分布的期望例例2： 設(shè)設(shè)Xb(n，p)，求，求E(X)。解解 ： X的分布律為的分布律為qqnkqpCkXPknkkn 1.10 ，則：則：0=1nk

18、kn knknkn kkE XkCp qnkp qknk（ ）?。ǎ?！knknkqpknknnp 1111）?。。ǎ。╪pqpnpqpCnpnknknkkn 11111）（。的泊松分布，求服從參數(shù)為設(shè)例)(:3XEX: 0 1 . kXeP Xkkk解的分布律為， ，！則0() kkeE Xkk！11 1kkek（）！ee01kkek（）！例例4 設(shè)設(shè)XU(a，b)，求，求E(X)。 其其他他的的概概率率密密度度為為解解 01)(:bxaabxfX()E X12baabxdxba).()(:52XENX，求，設(shè)例dxexXEx22221)(: ）（解解 dtetXEtxt 2221)(）（

19、，得得換換元元， dtedttett2222221 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果X用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？a 乙儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果 a甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果較好較好測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近第二節(jié)第二節(jié) 方差方差 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征為此需要

20、引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的方差方差:1定定義義).()(2)()( )()(,2)(2)( XXXDXEXEXDxVarXDXXEXEXEXEX方差，記為的標(biāo)準(zhǔn)差或均為隨機(jī)變量稱(chēng)，即或記為的方差為則稱(chēng)存在，為隨機(jī)變量，若設(shè) 方差是隨機(jī)變量方差是隨機(jī)變量X與其與其“中心中心”E(X)的偏的偏差平方的平均。方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)差平方的平均。方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散于其數(shù)學(xué)期望的離散(偏離偏離)程度程度 .為為離離散散型型隨

21、隨機(jī)機(jī)變變量量，則則若若 X)(xfX率率密密度度為為為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量且且概概若若kkkpXExXD 12)()(的的分分布布律律為為，其其中中XkpxXPkk.21 dxxfXExXD)()()(:2 則則的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望的的函函數(shù)數(shù)是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量方方差差2)()()(XEXXgXXD 較較大大。取取值值比比較較分分散散，則則若若較較小小，取取值值比比較較集集中中，則則若若)()(XDXXDX計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展開(kāi)展開(kāi)證：證：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(

22、X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì)）。（的的方方差差求求其其它它）（的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量例例XDXxxxxxfX: 010 101- 1:1 dxxxfXE）（）（解解：dxxfxXE）（）（ 2261:22 ）（）（）（所所以以XEXEXD6111102012 dxxxdxxx）（）（ 0110011dxxxdxxx）（）（證明證明22)()()(CECECD (1) 設(shè)設(shè) C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有. 0)( CD22CC . 0 (2) 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(2XDCCXD

23、 證明證明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 設(shè)設(shè) X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在存在, 則則證明證明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE 22()( )2 ()( )E XE XE YE YEXE XYE Y ).()(YDXD 推廣推廣).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 則則有有相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若,21nXXX幾種重要隨機(jī)變量的方差幾種重要隨機(jī)變量的方差分分布布10. 1 分分布布，分分布布律律為為的的服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)10 pXX 0 1P 1-p

24、p).1()(,)(ppXDpXE 二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布. 2的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布，分分布布律律為為服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)pnX,).1()(,)(pnpXDnpXE 10 , 1 , 0 )1( pnkppCkXPknkkn設(shè)設(shè)XB(n,p), 則則X表示表示n重貝努里試驗(yàn)中的重貝努里試驗(yàn)中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù) . 若設(shè)若設(shè)10iiXi如第 次試驗(yàn)成功如第 次試驗(yàn)失敗i=1,2，n 故故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p, 則則 是是n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中“成功成功” 的次數(shù)的次數(shù)niiXX1= p- p2= p(1- p)利用方差性

25、質(zhì)：利用方差性質(zhì)：于是于是i=1,2，n D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p)由于由于X1,X2,Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立niiXDXD1)()(= np(1- p)泊泊松松分分布布. 3的的泊泊松松分分布布，分分布布律律為為服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè) X eekekekXEkkkk010)!1(!)( 0, 2 , 1 , 0! kkekXPk2220222()(1)(1)() (1)!(2)! +kkkkE XE X XXE X XE Xek kekkee 2222)()()(XEXEXD 其其他他 01)(bxaabxf21)(badxabxXEba 均均

26、勻勻分分布布. 4密密度度為為服服從從均均勻勻分分布布，其其概概率率，在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)baX12)(21 )()()(22222abbadxabxXEXEXDba 1)()( dxxxfXE5.指數(shù)分布度為的指數(shù)分布，其概率密服從參數(shù)為設(shè)X22222112)()()( XEXEXD0)0(00)( xxexfx 2222)()( dxxfxXEdxexXEx22221)( ）（ ，得得令令tx dtedttett22222216.正態(tài)分布度度為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布，其其概概率率密密，服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè) X xexfx, 021)(222)( dtetXEt 22)(21)( dxexX

27、Dx222221)()( ）（ ，得得令令tx 2222222()2()2ttD Xtedttde2222()2ttteedt2212tedt注：正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度中的兩個(gè)參數(shù)分別就注：正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度中的兩個(gè)參數(shù)分別就是該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，故正態(tài)隨機(jī)變量是該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，故正態(tài)隨機(jī)變量的分布完全由它的數(shù)學(xué)期望和方差所確定。的分布完全由它的數(shù)學(xué)期望和方差所確定。隨機(jī)變量的分布完全可由它的數(shù)學(xué)期望和方差來(lái)確隨機(jī)變量的分布完全可由它的數(shù)學(xué)期望和方差來(lái)確定。定。2(,),1,2, ,iiiXNin 若且它們相互獨(dú)立則22112211(,)nnnniiiiiiC XC X

28、C XNCC10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 1 21 分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布0, 2思考：思考： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立且相互獨(dú)立且XN(1,2),YN(0,1). 試求試求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度. 故故X和和Y的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，X和和Y的的任意線(xiàn)性組合是正態(tài)分布任意線(xiàn)性組合是正態(tài)分布.解解: XN(1,2),YN(0,1)，且，且X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,D(Z)=4D

29、(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), D(Z)ZN(5, 32)故故Z的概率密度是的概率密度是,231)(18)5(2zZezf z契比雪夫不等式契比雪夫不等式.,)(,)(222成成立立不不等等式式則則對(duì)對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù)方方差差具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定理理XPXDXEX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式也可以寫(xiě)成切比雪夫不等式也可以寫(xiě)成22(|)1PX 22.P X xxfxd)()(122.122 xxfxxd)(22 得得XP xxxfd)(證明證明取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來(lái)證明取連續(xù)型隨

30、機(jī)變量的情況來(lái)證明.則則有有的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)),(xfX22(|)1PX 例例2 把一枚均勻硬幣拋擲把一枚均勻硬幣拋擲1000次，試?yán)们斜却危嚴(yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)，在雪夫不等式估計(jì)，在1000次拋擲中正面出現(xiàn)次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)在的次數(shù)在400-600之間的概率。之間的概率。解解:若設(shè)若設(shè)111000,0iiXii如第 次出現(xiàn)正面，如第 次出現(xiàn)反面，E(Xi)=P(Xi=1)= 1/2, D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 =1/4由于由于X1,X2,Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立1()500,()()=250niiE XD XD X2400600 10050010025050

31、010010.975100PXPXP X 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之和方差，對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本節(jié)要討論的節(jié)要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1. 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 那那么么相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量,YX()()( ).D XYD XD Y不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX()?D XY2()()()D XYEXYE XY2()( )EXE XYE Y2 (

32、)( )E XE XYE Y22()( )E XE XE YE Y()( )2 ()( ).D XD YE XE XYE Y協(xié)方差協(xié)方差()( )EXE XYE YXY稱(chēng)為隨機(jī)變量 與 的cov(,)()( )X YEXE XYE YXY對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 和cov()()( )2(,)D XYD XD YX Ycov(, )X Y記為，即協(xié)方差.2. 定義定義若若(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為 PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2, ijijiipYEyXExYX)()(),(Cov若若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度

33、為為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x,y) dxdyyxfYEyXExYX),()()(),(Cov3. 協(xié)方差的計(jì)算公式協(xié)方差的計(jì)算公式Cov(,)()() ( )X YE XYE X E Y證明證明:Cov(,)()()X YEXE XYE Y)()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE cov1.(,)()X XD Xcovcov2.(,)( ,)X YY X為任意常數(shù)baYXabbYaX,),(cov),(cov. 3為任意常數(shù)CXC, 0),(cov. 4covcovcov12125.(,)(,)(,)X

34、X YX YX Y0),(cov,. 6YXYX則相互獨(dú)立與如果4. 性質(zhì)性質(zhì) ，反之未必成立。，反之未必成立。例例1：設(shè)一壇中裝有個(gè)紅球，個(gè)黑球，隨機(jī)的：設(shè)一壇中裝有個(gè)紅球，個(gè)黑球，隨機(jī)的取出一個(gè)球觀(guān)察后放回，同時(shí)再放入個(gè)與所取球取出一個(gè)球觀(guān)察后放回，同時(shí)再放入個(gè)與所取球同色的球，設(shè)同色的球，設(shè)01iX在第次取紅球在第次取紅球在第次取黑球在第次取黑球（i=1,2）求：求：cov(X1,X2).解：先求解：先求(X1,X2）的聯(lián)合分布，易知）的聯(lián)合分布，易知0|000, 012121XXPXPXXP)()(crsrscsscrsrrssXXP., 021crssrsrXXP.0,21crscr

35、rsrXXP.,21則則(X1,X2）的邊緣分布分布為：）的邊緣分布分布為：srrXPsrsXPX10:111srrXPsrsXPX10:222srrEXEX211, 111000)(2121XXPXXE)()(csrsrcrr212121)()cov(EXEXXXEXX)()(2csrsrrsc例例2 設(shè)設(shè) (X, Y)的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 f ( x, y) ,求求 Cov(X,Y). 其其他他,010 , 10,),(yxyxyxf101(),01,( )20,Xxy dyxxfx解：由于其他101(),01,( )20,Yxy dxyyfy其他1017()(),212E X

36、x xdx,127)21()(10 dyyyYE,31)()(10102101021010 dxdyxydxdyyxdxdyyxxyXYE144112712731)()()(),( YEXEXYEYXCov例例* 設(shè)設(shè) (X, Y)的分布律如圖所示的分布律如圖所示, 0 p 1, 求求 Cov(X,Y)。,1pXP 解解：,10pXP )1()(,)(ppXDpXE )1()(,)(ppYDpYE )1()()()(),(2ppppYEXEXYEYXCov ,X Y設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 方差都存在 稱(chēng))()(),(covYDXDYXDYEYYDXEXXEXYXY為隨機(jī)變量 與 的相關(guān)系數(shù).XY

37、注意：無(wú)量綱1. 定義定義1.1.XY2. 性質(zhì)性質(zhì) 利用利用Cauchy-Schwarz 不等式證明：不等式證明：222 ()E UVEUEV22)(),(EYYEXXEYXCOV22)()(EYYEEXXEDYDX121.1XY0,XYXY3.當(dāng)稱(chēng) 與 不相關(guān).2. 性質(zhì)性質(zhì) 2.1XY()1(0)P YaXbaX與與Y之間呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，即之間呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，即即即X與與Y之間無(wú)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，之間無(wú)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，（但可能存在非線(xiàn)性關(guān)系）（但可能存在非線(xiàn)性關(guān)系）.(1) 不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系3. 注意注意相互獨(dú)立相互獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān)(2) 不相關(guān)的充要條件不相關(guān)的充

38、要條件; 0,1o XYYX不不相相關(guān)關(guān); 0),Cov(,2o YXYX不不相相關(guān)關(guān)).()()(,3oYEXEXYEYX 不不相相關(guān)關(guān)2222(, )1/1( , )01X Yxyf x yxyXY例1：設(shè)服從單位上的均勻分布，即密度函數(shù)為：若若判斷 和 的相關(guān)性和獨(dú)立性1|01|12)(,2xxxxgYX邊緣密度均為：解：所以所以 X與與 Y不相關(guān)不相關(guān),2210cov(, )(, ).10 xyEXEYX YE X YEX EYxydxdy因?yàn)橐驗(yàn)閒(xy) g(x)g(y),所以所以X與與Y不獨(dú)立不獨(dú)立.0說(shuō)明說(shuō)明: (1)不能由不相關(guān)性推出獨(dú)立性不能由不相關(guān)性推出獨(dú)立性(2)即使即

39、使X與與Y不相關(guān)，它們之間還是可能存在不相關(guān)，它們之間還是可能存在函數(shù)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)只是函數(shù)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)只是X與與Y之間線(xiàn)性關(guān)系之間線(xiàn)性關(guān)系 程度的一種量度。程度的一種量度。但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨(dú)立獨(dú)立X與與Y不相關(guān)不相關(guān)例例* 設(shè)設(shè) (X, Y)的分布律如圖所示的分布律如圖所示, 0 p 1, 求求 Cov(X,Y)和和XY,1pXP 解解：,10pXP )1()(,)(ppXDpXE )1()(,)(ppYDpYE )1()()()(),(2ppppYEXEXYEYXCov 1)1()1

40、()1()()(),( ppppppYDXDYXCovXY 第五節(jié)第五節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣:4定義階階中中心心矩矩。的的稱(chēng)稱(chēng)它它為為存存在在，）（若若kXkXEXEk,.2 , 1, 階混合原點(diǎn)矩。階混合原點(diǎn)矩。的的和和稱(chēng)它為稱(chēng)它為存在，存在，若若lkYXlkYXElk ,.2 , 1,),(.階階混混合合中中心心矩矩的的和和稱(chēng)稱(chēng)它它為為存存在在，）（）（若若lkYXYEXXEXElk 階階矩矩。階階原原點(diǎn)點(diǎn)矩矩，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)的的稱(chēng)稱(chēng)它它為為存存在在若若為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)kkXkXEYXk,.2 , 1),(, 設(shè)設(shè)n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn) 的的1+1階混合中心

41、矩階混合中心矩 nnnnnn 212222111211.為為n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的協(xié)方差矩陣。的協(xié)方差矩陣。都存在，則稱(chēng)矩陣都存在，則稱(chēng)矩陣Cov(,) () (),1,2,.,ijijiijjX YEXE XYE Yi jn*協(xié)方差矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣。協(xié)方差矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣。協(xié)方差協(xié)方差Cov(x,y)是是x和和y的的1+1階混合中心矩階混合中心矩2例1：設(shè)X服從N a,求X的三階中心矩及四階中心矩。 ，解：aEXdteaxxEXEax222)(33)(21)()(22332axtdtett0dteaxxEXEax222)(44)(21)()(22442axtdtettdte

42、tett224222343：維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的性性質(zhì)質(zhì)n服服從從一一維維正正態(tài)態(tài)分分布布。的的任任意意的的線(xiàn)線(xiàn)性性組組合合的的充充要要條條件件是是維維正正態(tài)態(tài)分分布布服服從從維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量nnnnXlXlXlXXXnXXXn 22112121 ,),(. 1維維正正態(tài)態(tài)分分布布。服服從從則則的的線(xiàn)線(xiàn)性性函函數(shù)數(shù)，是是設(shè)設(shè)維維正正態(tài)態(tài)分分布布，服服從從若若KYYYXXXYYYnXXXknkn),(,),(. 221212121兩兩兩兩不不相相關(guān)關(guān)。相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的充充要要條條件件是是則則維維正正態(tài)態(tài)分分布布，服服從從設(shè)設(shè)nnnXXXXXXnXXX,),(. 3212121一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容 1.重點(diǎn)重點(diǎn)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和計(jì)算數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和計(jì)算2.難點(diǎn)難點(diǎn)數(shù)字特征的計(jì)算數(shù)字特征的計(jì)算方差的性質(zhì)和計(jì)算方差的性質(zhì)和計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方方 差差離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型性性 質(zhì)質(zhì)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二維隨機(jī)變量的數(shù)