第七講 弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論

1、第七講第七講 弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論西華師范大學數(shù)學與信息學院西華師范大學數(shù)學與信息學院楊孝斌楊孝斌1. 生平及貢獻生平及貢獻Hans Freudenthal（1905-1990年）年）,荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家,生于德國生于德國.1930年獲柏林大學數(shù)學博士學位；年獲柏林大學數(shù)學博士學位；1946年起任荷蘭年起任荷蘭Utrecht 大學教授；大學教授；1951年起為荷蘭皇家科學院院士；年起為荷蘭皇家科學院院士；1967年當選為國際數(shù)學教育委員會主席；年當選為國際數(shù)學教育委員會主席；1971-1976年任數(shù)學教育研究所所長；年任數(shù)學教育研究所所長；

2、1987年年12月應邀來上海華東師范大學講學，并先后三次來中國。月應邀來上海華東師范大學講學，并先后三次來中國。弗賴登塔爾是著名數(shù)學家布勞威爾的學生，早年從事純粹數(shù)學研弗賴登塔爾是著名數(shù)學家布勞威爾的學生，早年從事純粹數(shù)學研究，以代數(shù)拓撲學和李群研究方面的杰出工作進入國際著名究，以代數(shù)拓撲學和李群研究方面的杰出工作進入國際著名數(shù)學家的行列，曾任荷蘭數(shù)學會的兩屆主席數(shù)學家的行列，曾任荷蘭數(shù)學會的兩屆主席 弗賴登塔爾被稱為弗賴登塔爾被稱為“二十世紀數(shù)學教育之父二十世紀數(shù)學教育之父” “對于數(shù)學教育，本世紀的上半葉對于數(shù)學教育，本世紀的上半葉Felix Klein做出了不朽的功績；本世紀的下半葉做出

3、了不朽的功績；本世紀的下半葉Hans Freudenthal做出了巨大的貢獻。做出了巨大的貢獻?！?加亨加亨(Kahane)教教授授主要工作：主要工作：v1967年當選為國際數(shù)學教育委員會主席；v 單獨舉行國際數(shù)學教育大會（ICME1，1969法國里昂）；v提倡數(shù)學教育的科學研究；v創(chuàng)辦ICME的理論刊物Educational Studies in Mathematics（數(shù)學教育研究）主要數(shù)學教育論著：v作為教育任務的數(shù)學； v除草與播種數(shù)學教育學的序言；v數(shù)學結構的教學法現(xiàn)象； v數(shù)學教育再探在中國的三次講學2. 弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀v情境問題是教學的平臺情境問題是

4、教學的平臺v數(shù)學化是數(shù)學教育的目標數(shù)學化是數(shù)學教育的目標v學生通過自己努力得到的結論和創(chuàng)造是學生通過自己努力得到的結論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分教育內(nèi)容的一部分v“互動互動”是主要的學習方式是主要的學習方式v學科交織是數(shù)學教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式學科交織是數(shù)學教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式概括為：現(xiàn)實、數(shù)學化、再創(chuàng)造現(xiàn)實、數(shù)學化、再創(chuàng)造(1) 何謂數(shù)學教育中的何謂數(shù)學教育中的“現(xiàn)實現(xiàn)實”？v數(shù)學教育中的現(xiàn)實數(shù)學來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，應用于現(xiàn)實，而且每個學生有各自不同的“數(shù)學現(xiàn)實”.v數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.弗賴登塔爾堅持主張：數(shù)學教育體系的內(nèi)容應弗賴登塔爾堅持

5、主張：數(shù)學教育體系的內(nèi)容應該是與現(xiàn)實密切聯(lián)系的數(shù)學，能夠在實際中該是與現(xiàn)實密切聯(lián)系的數(shù)學，能夠在實際中得到應用的數(shù)學，即得到應用的數(shù)學，即“現(xiàn)實的數(shù)學現(xiàn)實的數(shù)學”。如果過于強調了數(shù)學的抽象形式，忽視了生動如果過于強調了數(shù)學的抽象形式，忽視了生動的具體模型，過于集中于內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，的具體模型，過于集中于內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，割斷了與外部現(xiàn)實的密切關系割斷了與外部現(xiàn)實的密切關系，那必然會給，那必然會給數(shù)學教育帶來極大的損害。數(shù)學教育帶來極大的損害?！靶聰?shù)新數(shù)”運動的運動的失敗就是個明證。失敗就是個明證。 v如何理解如何理解“現(xiàn)實現(xiàn)實”？v不同的社會需要是否就是不同的社會需要是否就是“現(xiàn)實現(xiàn)實”？v每個

6、人的每個人的“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”是一樣的嗎？是一樣的嗎？數(shù)學教育應為不同的人提供不同的數(shù)學修養(yǎng)，數(shù)學教育應為不同的人提供不同的數(shù)學修養(yǎng)，從而為每個人培養(yǎng)適合于他所從事的不同專從而為每個人培養(yǎng)適合于他所從事的不同專業(yè)所必需的數(shù)學態(tài)勢，使其能順利地處理有業(yè)所必需的數(shù)學態(tài)勢，使其能順利地處理有關的各種數(shù)學問題。為此，弗賴登塔爾的一關的各種數(shù)學問題。為此，弗賴登塔爾的一個基本結論是：每個人都有自己生活、工作個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學概念、它的運算方法、規(guī)律世界的各種數(shù)學概念、它的運算方法、規(guī)律和有關的

7、數(shù)學知識結構。和有關的數(shù)學知識結構。這就是說，這就是說，每個人都有自己的一套每個人都有自己的一套“數(shù)學現(xiàn)數(shù)學現(xiàn)實實”。 從這個意義上說，所謂從這個意義上說，所謂“現(xiàn)實現(xiàn)實”不一定限于具體的不一定限于具體的事物，作為屬于這個現(xiàn)實世界的數(shù)學本身，也是事物，作為屬于這個現(xiàn)實世界的數(shù)學本身，也是“現(xiàn)實現(xiàn)實”的一部分，或者可以說，每個人也都有的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的自己所接觸到的特定的“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”。大多數(shù)人的數(shù)學現(xiàn)實世界可能只限于數(shù)和簡單的幾大多數(shù)人的數(shù)學現(xiàn)實世界可能只限于數(shù)和簡單的幾何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟悉何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟

8、悉某些簡單的函數(shù)與比較復雜的幾何，至于一個數(shù)某些簡單的函數(shù)與比較復雜的幾何，至于一個數(shù)學家的數(shù)學現(xiàn)實可能就要包含學家的數(shù)學現(xiàn)實可能就要包含Hilbert空間的算，空間的算，子、拓撲學以及纖維叢等等。子、拓撲學以及纖維叢等等。 數(shù)學教育的任務就在于，隨著學生們所接觸的客觀數(shù)學教育的任務就在于，隨著學生們所接觸的客觀世界越來越廣泛，應該確定各類學生在不同階段世界越來越廣泛，應該確定各類學生在不同階段必須達到的必須達到的“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”，并且根據(jù)學生所實際，并且根據(jù)學生所實際擁有的擁有的“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”，采取相應的方法予以豐富，采取相應的方法予以豐富，予以擴展，從而使學生逐步提高所具有的予以

9、擴展，從而使學生逐步提高所具有的“數(shù)學數(shù)學現(xiàn)實現(xiàn)實”的程度并擴充其范圍。的程度并擴充其范圍。數(shù)學教學的本質就是培養(yǎng)學生數(shù)學教學的本質就是培養(yǎng)學生從已有的從已有的“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”發(fā)展到更高層次的發(fā)展到更高層次的“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”一些具體的例子如下：通過公共汽車上下車人數(shù)的變化引一些具體的例子如下：通過公共汽車上下車人數(shù)的變化引入整數(shù)的加減法，并找出運算規(guī)律；借助學生上學乘汽入整數(shù)的加減法，并找出運算規(guī)律；借助學生上學乘汽車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現(xiàn)的各車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現(xiàn)的各種情況，介紹各種類型的圖象表示、解析表示，進一步種情況，介紹各種類型的圖象表

10、示、解析表示，進一步可介紹變化率以及斜率等概念及有關性質；還可以從商可介紹變化率以及斜率等概念及有關性質；還可以從商店出售各種不同牌子、不同規(guī)格的商品所獲得的利潤計店出售各種不同牌子、不同規(guī)格的商品所獲得的利潤計算，引進矩陣的乘法概念，以及它的運算法則；以及根算，引進矩陣的乘法概念，以及它的運算法則；以及根據(jù)血壓的變化介紹一般周期函數(shù)的概念，再進到更有規(guī)據(jù)血壓的變化介紹一般周期函數(shù)的概念，再進到更有規(guī)律的正弦函數(shù)及其性質；或者從物質的生長率引進指數(shù)律的正弦函數(shù)及其性質；或者從物質的生長率引進指數(shù)函數(shù)概念，從而導出對數(shù)函數(shù)等。函數(shù)概念，從而導出對數(shù)函數(shù)等。 由于人們對數(shù)學需求不盡相同，各人在不同

11、階段又有特定的數(shù)學現(xiàn)實，弗賴登塔爾認為，在現(xiàn)實背景材料的使用上有下述三種不同的水平： 第一級是在實際問題中直接包含著有關的數(shù)學第一級是在實際問題中直接包含著有關的數(shù)學運算運算，只要通過簡單的變換或過渡，就可以從實際問題求得相應的數(shù)學問題。在這里，具體的現(xiàn)實問題起著核心作用。 ( (數(shù)學知識的簡單應用數(shù)學知識的簡單應用) ) 第二級是提出了某個現(xiàn)實問題，希望學生能夠第二級是提出了某個現(xiàn)實問題，希望學生能夠找出與之有關的數(shù)學，加以組織，建立結構，從而找出與之有關的數(shù)學，加以組織，建立結構，從而解決問題。解決問題。這里需要運用數(shù)學作為工具來組織現(xiàn)實問題并予以解決，因而具體的實際問題是起著實質性的作用

12、。 ( (生活數(shù)學的數(shù)學化生活數(shù)學的數(shù)學化) ) 第三級則是指出某個數(shù)學概念或是描述第三級則是指出某個數(shù)學概念或是描述了某個數(shù)學過程的特征，由此引進新的數(shù)學了某個數(shù)學過程的特征，由此引進新的數(shù)學概念或是構造新的數(shù)學模型概念或是構造新的數(shù)學模型，在這兒所提供的現(xiàn)實背景材料已經(jīng)從通常的具體客觀世界中抽象出來。 ( (數(shù)學問題的模型化數(shù)學問題的模型化) ) 綜上所述，弗賴登塔爾提的弗賴登塔爾提的“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”原則，和我們通常所說的理論聯(lián)系實際有原原則，和我們通常所說的理論聯(lián)系實際有原則的區(qū)別則的區(qū)別，有其獨特的含義和理論深度，值得我們借鑒。 (2) 什么是什么是“數(shù)學化數(shù)學化”？弗賴登塔爾的名

13、言是：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習“數(shù)學化”；與其說是學習公理系統(tǒng)，還不如說是學習“公理化”；與其說是學習形式體系，還不如說是學習“形式化” 。 人們運用數(shù)學的方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，這個過程就是數(shù)學化。簡單地說，數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學化。 數(shù)學化，是一個由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的數(shù)學化，是一個由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過程。過程。數(shù)學化的對象：水平數(shù)學化數(shù)學化的對象：水平數(shù)學化生活數(shù)學的數(shù)學化生活數(shù)學的數(shù)學化 垂直數(shù)學化垂直數(shù)學化數(shù)學問題的進一步抽象數(shù)學問題的進一步抽象水平數(shù)學化，形成數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律、定理，水平數(shù)學化，形

14、成數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律、定理，以及為解決實際問題而構造的數(shù)學模型；垂直數(shù)學化，以及為解決實際問題而構造的數(shù)學模型；垂直數(shù)學化，形成數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律、定理，以及不同層形成數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律、定理，以及不同層次的公理體系和形式體系。次的公理體系和形式體系。現(xiàn)實數(shù)學教育的數(shù)學化有兩種形式：現(xiàn)實數(shù)學教育的數(shù)學化有兩種形式：v一是實際問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學化，即一是實際問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學化，即發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對這些成分發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對這些成分作符號化處理；作符號化處理；v二是從符號到概念的數(shù)學化，即在數(shù)學范疇二是從符號到概念的數(shù)學化，即在數(shù)學范疇之內(nèi)對

15、已經(jīng)符號化了的問題作進一步抽象化之內(nèi)對已經(jīng)符號化了的問題作進一步抽象化處理。處理。實際問題轉化為數(shù)學問題的基本流程是：實際問題轉化為數(shù)學問題的基本流程是：v確定一個具體問題中包含的數(shù)學成分；確定一個具體問題中包含的數(shù)學成分；v建立這些數(shù)學成分與學生已知的數(shù)學模型之間的聯(lián)建立這些數(shù)學成分與學生已知的數(shù)學模型之間的聯(lián)系；系；v通過不同方法使這些數(shù)學成分形象化、符號化和公通過不同方法使這些數(shù)學成分形象化、符號化和公式化；式化；v找出蘊含其中的關系和規(guī)則；找出蘊含其中的關系和規(guī)則；v考慮相同數(shù)學成分在其他數(shù)學知識領域方面的體現(xiàn)；考慮相同數(shù)學成分在其他數(shù)學知識領域方面的體現(xiàn)；v作出形式化表述。作出形式化

16、表述。從符號到概念的數(shù)學化的基本流程是：從符號到概念的數(shù)學化的基本流程是：v用數(shù)學公式表示關系；用數(shù)學公式表示關系；v對有關規(guī)則作出證明；對有關規(guī)則作出證明；v嘗試建立和使用不同的數(shù)學模型；嘗試建立和使用不同的數(shù)學模型；v對得出的數(shù)學模型進行調整和加工；對得出的數(shù)學模型進行調整和加工；v綜合不同數(shù)學模型的共性，形成功能更強的新模型；綜合不同數(shù)學模型的共性，形成功能更強的新模型；v用已知數(shù)學公式和語言盡量準確地描述得到的新概用已知數(shù)學公式和語言盡量準確地描述得到的新概念和新方法；念和新方法；v作一般化的處理、推廣。作一般化的處理、推廣。(3) 什么是什么是“再創(chuàng)造再創(chuàng)造”？弗賴登塔爾認為存在兩種

17、數(shù)學，一種是現(xiàn)成的或已完成的數(shù)學，另一種是活動的或者創(chuàng)新的數(shù)學。完成的數(shù)學在人們面前以形式演繹的面目出現(xiàn)，完成的數(shù)學在人們面前以形式演繹的面目出現(xiàn)，它完全顛倒了數(shù)學的思維過程和實際創(chuàng)造過程，它完全顛倒了數(shù)學的思維過程和實際創(chuàng)造過程，給予人們的是思維的結果；活動的數(shù)學則是數(shù)活動的數(shù)學則是數(shù)學家發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學的過程的真實體現(xiàn)，它表學家發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學的過程的真實體現(xiàn)，它表明了數(shù)學是一種艱難曲折又生動有趣的活動過明了數(shù)學是一種艱難曲折又生動有趣的活動過程。程。 v弗賴登塔爾所說的弗賴登塔爾所說的“再創(chuàng)造再創(chuàng)造”，其核心，其核心是數(shù)學過程再現(xiàn)。是數(shù)學過程再現(xiàn)。v學生學生“再創(chuàng)造再創(chuàng)造”學習數(shù)學的過程實際

18、上學習數(shù)學的過程實際上就是一個就是一個“做數(shù)學做數(shù)學”的過程。的過程。v教師的任務是引導和幫助學生去進行這教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造的工作。種再創(chuàng)造的工作。日常生活中，象日常生活中，象“狗狗”、“椅子椅子”等概念，都等概念，都不需要事先給以嚴格的定義，兒童通過實際不需要事先給以嚴格的定義，兒童通過實際接觸，自然地形成了概念。接觸，自然地形成了概念。數(shù)學中的一些東西，同樣來自現(xiàn)實，也可以通數(shù)學中的一些東西，同樣來自現(xiàn)實，也可以通過學生的實際感受而形成概念。過學生的實際感受而形成概念。以學習平行四邊形概念為例，教師可以出示一系列的平行以學習平行四邊形概念為例，教師可以出示一系列的平

19、行四邊形的圖形或是實際例子，告訴學生這些就是四邊形的圖形或是實際例子，告訴學生這些就是“平行平行四邊形四邊形”，讓學生自己進行比較、分析、研究。，讓學生自己進行比較、分析、研究。在經(jīng)過反復的觀察與思考后，他們就會發(fā)現(xiàn)在經(jīng)過反復的觀察與思考后，他們就會發(fā)現(xiàn)“平行四邊形平行四邊形”的許多共同性質，的許多共同性質，如：對邊平行、對角相等、鄰角互補、如：對邊平行、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分等等，接著就會進而發(fā)現(xiàn)這些性質之間對角線互相平分等等，接著就會進而發(fā)現(xiàn)這些性質之間的聯(lián)系，可以由一個性質出發(fā)推出其它的性質，在教師的聯(lián)系，可以由一個性質出發(fā)推出其它的性質，在教師的引導與學生間相互討論的基礎上

20、，學生就不僅掌握了的引導與學生間相互討論的基礎上，學生就不僅掌握了平行四邊形的概念，同時也理解了形式定義的含義以及平行四邊形的概念，同時也理解了形式定義的含義以及各種相關性與等價定義的概念各種相關性與等價定義的概念. 也就是說，學生也就是說，學生通過自己的實踐活動學會了怎通過自己的實踐活動學會了怎樣定義一個數(shù)學的概念樣定義一個數(shù)學的概念，對于定義的必要性，對于定義的必要性與作用都會有更深的體會，通過這樣的與作用都會有更深的體會，通過這樣的“再再創(chuàng)造創(chuàng)造”方式進行的概念教學，顯然比將一個方式進行的概念教學，顯然比將一個現(xiàn)成的定義強加給學生要有效得多現(xiàn)成的定義強加給學生要有效得多.偉大的教育家夸美

21、紐斯有一句名言偉大的教育家夸美紐斯有一句名言：“教一個活動的教一個活動的最好方法是演示。最好方法是演示?！彼鲝堃蜷_學生的各種感覺他主張要打開學生的各種感覺器官，那就不僅是被動地通過語言依賴聽覺來吸收器官，那就不僅是被動地通過語言依賴聽覺來吸收知識，也包括眼睛看甚至手的觸摸及動作。知識，也包括眼睛看甚至手的觸摸及動作。弗賴登塔爾將這一思想進一步發(fā)展成為弗賴登塔爾將這一思想進一步發(fā)展成為“學一個活動學一個活動的最好方法是實踐的最好方法是實踐”，這樣提法的目的是這樣提法的目的是將強調的將強調的重點從教轉向學，從教師的行為轉到學生的活動，重點從教轉向學，從教師的行為轉到學生的活動，并且從感覺的效應

22、轉為運動的效應。并且從感覺的效應轉為運動的效應。就象游泳本身就象游泳本身也有理論，學游泳的人也需要觀摩教練的示范動作，也有理論，學游泳的人也需要觀摩教練的示范動作，但更重要的是他必須下水去實地練習，老是站在陸但更重要的是他必須下水去實地練習，老是站在陸地上是永遠也學不會游泳的。地上是永遠也學不會游泳的。 提倡按提倡按“再創(chuàng)造再創(chuàng)造”原則來進行數(shù)學教育，就是基于以原則來進行數(shù)學教育，就是基于以上原理，弗賴登塔爾認為可以從教育學的角度來找上原理，弗賴登塔爾認為可以從教育學的角度來找到這一做法的合理根據(jù)，至少可以提出以下三到這一做法的合理根據(jù)，至少可以提出以下三點：點： (1)(1)通過自身活動所得

23、到的知識與能力比由旁人通過自身活動所得到的知識與能力比由旁人硬塞的理解得透徹，掌握得快，同時也善于應用，硬塞的理解得透徹，掌握得快，同時也善于應用，一般來說還可以保持較長久的記憶。一般來說還可以保持較長久的記憶。 (2)(2)發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，通過發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，通過“再創(chuàng)造再創(chuàng)造”來進行學來進行學習能夠引起學生的興趣，并激發(fā)其學習動力。習能夠引起學生的興趣，并激發(fā)其學習動力。 (3)(3)通過通過“再創(chuàng)造再創(chuàng)造”方式，可以進一步促進人們方式，可以進一步促進人們形成數(shù)學教育是一種人類活動的看法。形成數(shù)學教育是一種人類活動的看法。 小 結弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論不是弗賴登塔爾的數(shù)學教育理論不是“教

24、育學教育學+數(shù)數(shù)學例子學例子”式的論述，而是抓住數(shù)學教育的特式的論述，而是抓住數(shù)學教育的特征，緊扣數(shù)學教育的特殊過程，因而有征，緊扣數(shù)學教育的特殊過程，因而有“數(shù)數(shù)學現(xiàn)實學現(xiàn)實”、“數(shù)學化數(shù)學化”、“數(shù)學反思數(shù)學反思”、“再創(chuàng)造再創(chuàng)造”、“思辨數(shù)學思辨數(shù)學”等諸多特有的概等諸多特有的概念念.每一個概念以及他的每一個想法，都值得我們每一個概念以及他的每一個想法，都值得我們?nèi)ニ伎?、去領悟、去實踐去思考、去領悟、去實踐3.3.弗賴登塔爾數(shù)學教育思想對中學數(shù)學教育的啟示弗賴登塔爾數(shù)學教育思想對中學數(shù)學教育的啟示(1)(1)數(shù)學教學要立足于數(shù)學現(xiàn)實，著眼于超越現(xiàn)實數(shù)學教學要立足于數(shù)學現(xiàn)實，著眼于超越現(xiàn)實

25、按照數(shù)學源于現(xiàn)實，也必須寓于現(xiàn)實，并且用按照數(shù)學源于現(xiàn)實，也必須寓于現(xiàn)實，并且用于現(xiàn)實的弗賴登塔爾于現(xiàn)實的弗賴登塔爾“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”思想，數(shù)思想，數(shù)學教學必須緊密聯(lián)系實際。學教學必須緊密聯(lián)系實際。 數(shù)學教學必須聯(lián)系實際，而且要應用于實際。為了達數(shù)學教學必須聯(lián)系實際，而且要應用于實際。為了達到這個目的，教師可以從幾個方面努力：破除思維到這個目的，教師可以從幾個方面努力：破除思維定勢，主動樹立聯(lián)系實際的意識，并且要落到實處；定勢，主動樹立聯(lián)系實際的意識，并且要落到實處；作為老師，要加強數(shù)學史的學習，數(shù)學史是數(shù)學和作為老師，要加強數(shù)學史的學習，數(shù)學史是數(shù)學和現(xiàn)實結合的歷史，從這出發(fā)能更好的把握數(shù)

26、學的邏現(xiàn)實結合的歷史，從這出發(fā)能更好的把握數(shù)學的邏輯；輯；引入生活中的新鮮例子，這就要求老師要關心引入生活中的新鮮例子，這就要求老師要關心周圍的事物，了解他學科知識背景，并能從中抽象周圍的事物，了解他學科知識背景，并能從中抽象數(shù)學問題。數(shù)學問題。數(shù)學教學要聯(lián)系學生的實際，這個實際數(shù)學教學要聯(lián)系學生的實際，這個實際要立足于學生要立足于學生現(xiàn)有的水平，并以超越學生現(xiàn)有水平為目的現(xiàn)有的水平，并以超越學生現(xiàn)有水平為目的，使學，使學生感覺到數(shù)學的有用之處，這才是數(shù)學教學中運用生感覺到數(shù)學的有用之處，這才是數(shù)學教學中運用“數(shù)學現(xiàn)實數(shù)學現(xiàn)實”的關鍵點。的關鍵點。(2)(2)注重學生的數(shù)學化過程，提倡探究教學

27、注重學生的數(shù)學化過程，提倡探究教學 學生學生“數(shù)學化數(shù)學化”的過程，就是將學生的數(shù)學現(xiàn)實進一的過程，就是將學生的數(shù)學現(xiàn)實進一步提高、組織、抽象的過程。步提高、組織、抽象的過程。它可以分為五個水平：直觀階段、分析階段、抽象階它可以分為五個水平：直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段和嚴謹階段。這一思維水平是根據(jù)兒段、演繹階段和嚴謹階段。這一思維水平是根據(jù)兒童思維發(fā)展與學習過程提出的，故而不是要求每個童思維發(fā)展與學習過程提出的，故而不是要求每個學生都要一次完成所有階段。數(shù)學教學中不能過分學生都要一次完成所有階段。數(shù)學教學中不能過分強調公理化的演繹和形式化的證明，而應符合學生強調公理化的演繹和形式化的證明，而應符合學生的年齡特征的年齡特征 。根據(jù)弗賴登塔爾提出的應該讓每個人在學習數(shù)根據(jù)弗賴登塔爾提出的應該讓每個人在學習數(shù)學的過程中，根據(jù)自己的體驗，用自己的思學的過程中，根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關的數(shù)學知識的觀點。維方式，重