第三章變額年金2ppt課件

1、13.4、每年支付、每年支付m次的遞增年金次的遞增年金l假設(shè)支付n年，每年支付m次，那么總的付款次數(shù)為 m n。l如果每年支付m次，付款又是遞增的，那么將會出現(xiàn)下述兩種情況：l同一年的每次付款相同l同一年的每次付款也是遞增的2每年支付每年支付 m 次的遞增年金：同一年的每次付款相同次的遞增年金：同一年的每次付款相同()()211()(123)mmnnIaavvnv現(xiàn)值：注：見下頁說明3第一年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為第二年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為第n年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為因此該項年金的現(xiàn)值為： ()1ma()12mva1()1nmnva()()211()(123)mmnnIaavvnv()1nnmanvvid

2、()nnmanvi4123()()2123mmnmmmnIavvvmn vm現(xiàn)值：3.5、每年支付、每年支付m次，每年遞增次，每年遞增m次的年金次的年金5l令l在式兩邊同時乘以 ，則有12323nmmmvvvmn vR(12)()23231nmmmnmmvvvmnIamv1(1)mi1121(1)1 23nmmmmRivvmnv 1211111nnmmmmRivvvmn v()mnnmamn v6l上式兩邊同時乘以m，則有l(wèi)所以 2()2()2()2()mnmmnnmnm am n vR im am n vRi()()()2()mnmmnmnanvRIami1()11mnmnRimamn v7

3、比較：比較：()()(|)|)()mnmmnmnnvIaai(|)|()mmnnnnvIaia (每年的付款是常數(shù))(每年的付款遞增)請大家寫出累積值的公式。8變額年金公式小結(jié)變額年金公式小結(jié) 年金遞增年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值每年支付1次每年支付m次連續(xù)支付|()nnnanvIai-=& &()nnsnIsi()nnnanvI a()nnsnI s1()Iadi|()()|()nnmmnanvIai|()()|()nmmnsnIsi1()I ad()()1()mmIadi9年金遞減年金現(xiàn)值 累積值每年支付1次連續(xù)支付()nnnaDai(1)()nnnnisDsi()nnna

4、Da(1)()nnnnisDs103.7、連續(xù)支付連續(xù)遞增年金、連續(xù)支付連續(xù)遞增年金l含義：連續(xù)支付，連續(xù)遞增。l假設(shè)在時刻t的付款比率為t，常數(shù)利息力為d，則連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值為：l注意，此年金是連續(xù)遞增并且連續(xù)支付的，因此上式中字母 I 和 a 上都有橫線。0()ntnI atedt11l上式右邊可用分部積分法展開： 0000exp()exp()d exp()exp()nnnnttttt dtttdt 20exp()1exp()nnnt 22exp()exp()1nnn 1 exp()exp()nnnnnanvve12l連續(xù)遞增年金的終值為()(1) ()nnnnsnIsiIa13l例：一

5、項例：一項10年期的連續(xù)遞增年金，在時刻年期的連續(xù)遞增年金，在時刻 t 的付款比率為的付款比率為9t+6，利息力為，利息力為9，計算此項年金在時刻零的現(xiàn)值。，計算此項年金在時刻零的現(xiàn)值。 l解：可以將此項年金的現(xiàn)金流分解成兩部分：解：可以將此項年金的現(xiàn)金流分解成兩部分：l連續(xù)遞增年金連續(xù)遞增年金l連續(xù)等額年金連續(xù)等額年金l因此其現(xiàn)值為：因此其現(xiàn)值為：l其中：其中： 10109()69 28.0885926 6.593670292.36Iaa 0.0919.4174%ie 10101 (1.094174)6.5936700.09a10106.593670 10(1.094174)()28.088

6、5920.09Ia14l例：一項年金的付款期是從第例：一項年金的付款期是從第2年末至第年末至第7年末，并且在時年末，并且在時刻刻t的付款比率為的付款比率為3t-4，假設(shè)固定利息力為，假設(shè)固定利息力為6，試求此項，試求此項年金在第年金在第7年末的終值。年末的終值。l解：解： 假設(shè)此年金的付款期是從時刻假設(shè)此年金的付款期是從時刻0到第到第7年末，則其終年末，則其終值可表示為：值可表示為：l從時刻從時刻0到第到第2年末的付款累積到第年末的付款累積到第7年末的價值為：年末的價值為：l因而，本例年金的終值為：因而，本例年金的終值為：773()4Iss0.06 (7 2)0.322223()43()4Is

7、s eIss e0.377223()43()4IssIsse15l通過計算可得：l l故本例年金的終值為：22(1.061837)12.1249480.06s78.6993607()28.3226670.06Is22.1249482()2.0824670.06Is0.377220.33()43()43 28.3226674 8.699360(3 2.08246742.124948)53.21IssIssee 0.0616.1837%ie 77(1.061837)18.6993600.06s16l連續(xù)遞增的永續(xù)年金：在連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值公式中，令連續(xù)遞增的永續(xù)年金：在連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值公式中，令

8、n 趨于無窮大，則可以得到連續(xù)遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值公式：趨于無窮大，則可以得到連續(xù)遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值公式： ()lim()nnIaIa21limnnnanv1 (1)limnnninv1 0017l例：一項連續(xù)支付的永續(xù)年金在時刻例：一項連續(xù)支付的永續(xù)年金在時刻 t 的付款比率為的付款比率為 3t，付款從付款從 0 時刻起并一直延續(xù)下去，年實際利率為時刻起并一直延續(xù)下去，年實際利率為5，則，則其現(xiàn)值為：其現(xiàn)值為：213()31260.25ln(1.05)Ia 183.8、連續(xù)支付連續(xù)遞減年金、連續(xù)支付連續(xù)遞減年金l連續(xù)支付，連續(xù)遞減。假設(shè)某項年金的支付期為連續(xù)支付，連續(xù)遞減。假設(shè)某項年金的支付期

9、為 n 年，在年，在時刻時刻 t 的付款比率為的付款比率為 n- t，固定利息力為，固定利息力為d，則稱此年金為，則稱此年金為一項連續(xù)遞減年金，其現(xiàn)值用符號一項連續(xù)遞減年金，其現(xiàn)值用符號 表示。表示。l連續(xù)遞減年金的現(xiàn)值公式：連續(xù)遞減年金的現(xiàn)值公式： ()nDa0()()()ntnnnDant edtnaIannannnanvna(1)nnnvvnan19l例：一份例：一份10年期的年金，在時刻年期的年金，在時刻 t 的付款比率為的付款比率為 10-t，假設(shè)利息力為假設(shè)利息力為5，試計算此項年金在時刻零的現(xiàn)值和，試計算此項年金在時刻零的現(xiàn)值和在第在第10年末的終值。年末的終值。l解：解：0.0

10、515.127%ie 10101 (1.05127)7.869260.05a10107.86926()42.610.05Da10 0.0510()42.6170.25Dse現(xiàn)值：終值累積值）：20年金公式比較年金公式比較年金遞增年金遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值每年支付1次，每年遞增1次每年支付m次，每年遞增1次連續(xù)支付，每年遞增1次連續(xù)支付，連續(xù)遞增|()nnnanvIai-=& &()nnsnIsi()nnnanvIa()nnsnI s1()Iadi|()()|()nnmmnanvIai|()()|()nmmnsnIsi1()I ad()()1()mmIadi()nnnanv

11、I a()nnsnIs21()Ia21年金遞減年金現(xiàn)值 累積值每年支付1次，遞減1次連續(xù)支付，每年遞減1次連續(xù)支付，連續(xù)遞減()nnnaDai(1)()nnnnisDsi()nnnaDa(1)()nnnnisDs()nnnaDa(1)()nnnnisDs22年金等額年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值 累積值每年支付1次每年支付m次連續(xù)支付1nnvai()()|1nmmnvai|1nnva(1)1nnisi()()|(1)1nmmnisi|(1)1nnis1ai()()|1mmai|1a233.9、一般連續(xù)變額現(xiàn)金流、一般連續(xù)變額現(xiàn)金流 l一般連續(xù)變額現(xiàn)金流的現(xiàn)值：假設(shè)付款時間是從時刻一般連續(xù)變額現(xiàn)金流的現(xiàn)

12、值：假設(shè)付款時間是從時刻 a 到到時刻時刻 b，在時刻，在時刻 t 的付款比率為的付款比率為rt，利息力為，利息力為 dt。時刻。時刻 t支支付的付的1在時刻在時刻 a的現(xiàn)值為的現(xiàn)值為 l從時刻從時刻 a 到時刻到時刻 b 內(nèi)，所有付款在時刻內(nèi)，所有付款在時刻a的現(xiàn)值是將所有的現(xiàn)值是將所有付款的現(xiàn)值加總，在連續(xù)情況下就是對它們進行積分：付款的現(xiàn)值加總，在連續(xù)情況下就是對它們進行積分： expdtsasexpddbttsaast24例：一個連續(xù)支付的現(xiàn)金流例：一個連續(xù)支付的現(xiàn)金流支付期從時刻支付期從時刻0開始到時刻開始到時刻0.5結(jié)束結(jié)束在時刻在時刻 t 的支付率為的支付率為 利息力為利息力為

13、試計算此現(xiàn)金流在時刻零的現(xiàn)值。試計算此現(xiàn)金流在時刻零的現(xiàn)值。 解：解： 現(xiàn)值表達(dá)式為：現(xiàn)值表達(dá)式為： 103tt0.20.06tt0.500expd(103)exp(0.20.06)ddbtttsaas dttsst0.520(103)exp(0.10.06 ) dtttt25l令l則其現(xiàn)值為：20.10.06utt ( 0.20.06)ddutt 0.5200.520(103)exp(0.10.06 ) d50( 0.20.06)exp0.10.06dtttttttt 0.5050e duu 0.52050 exp0.10.06tt 2.68 26l非立即支付現(xiàn)金流的現(xiàn)值：一個現(xiàn)金流的起始時

14、刻為非立即支付現(xiàn)金流的現(xiàn)值：一個現(xiàn)金流的起始時刻為a 0，結(jié)束時刻為結(jié)束時刻為b，計算在，計算在0點的現(xiàn)值：點的現(xiàn)值：l方法一：計算此現(xiàn)金流在時刻方法一：計算此現(xiàn)金流在時刻 a 的現(xiàn)值，再將此現(xiàn)值從時的現(xiàn)值，再將此現(xiàn)值從時刻刻a貼現(xiàn)到時刻零。貼現(xiàn)到時刻零。l方法二：改變前式對利息力積分的下積分限來得到在時刻方法二：改變前式對利息力積分的下積分限來得到在時刻零的現(xiàn)值：零的現(xiàn)值： 0expddbttsast0expexpdddbttsaaassts27例：一個連續(xù)支付現(xiàn)金流的支付率為例：一個連續(xù)支付現(xiàn)金流的支付率為 rt = 3 元，支付期限從元，支付期限從時刻時刻2到時刻到時刻6，并且具有固定的

15、利息力，并且具有固定的利息力dt = 0.05，試計算，試計算此現(xiàn)金流在時刻零的現(xiàn)值。此現(xiàn)金流在時刻零的現(xiàn)值。解：解： 改變對利息力積分的積分限，有：改變對利息力積分的積分限，有：660.052023exp0.05dd3edttstt60.0523e0.05t9.84 28l 另一種方法：先計算現(xiàn)金流在時刻2的現(xiàn)值：l從時刻2到時刻零的貼現(xiàn)因子為：l l因此上述現(xiàn)金流在時刻零的現(xiàn)值為：l 440.2411 e1 e333310.880.05va220.10expdee0.90484ss10.88 0.904849.8429l一般連續(xù)變額現(xiàn)金流的終值：在時刻一般連續(xù)變額現(xiàn)金流的終值：在時刻t支付支付1元，將其累積元，將其累積到時刻到時刻b的終值為的終值為l為了計算從時刻為了計算從時刻a到時刻到時刻b內(nèi)所有付款的終