附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì).

1、附錄 截面的幾何性質(zhì)I-1 選擇題1 在下列關(guān)于平面圖形的結(jié)論中，（D） 是錯(cuò)誤的。A.圖形的對(duì)稱軸必定通過(guò)形心。B.圖形兩個(gè)對(duì)稱軸的交點(diǎn)必為形心。C.圖形對(duì)對(duì)稱軸的靜矩為零。D.使靜矩為零的軸必為對(duì)稱軸。選項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原因A 錯(cuò) 圖形的對(duì)稱軸必定通過(guò)形心B 錯(cuò) 圖形兩個(gè)對(duì)稱軸的交點(diǎn)必為形心C 錯(cuò) 圖形對(duì)對(duì)稱軸的靜矩為零D 對(duì)2 在平面圖形的幾何性質(zhì)中，（D ） 的值可正，可負(fù)，也可為零。A.靜矩和慣性矩。B.極慣性矩和慣性矩。C.慣性矩和慣性積。D.靜矩和慣性積。選項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原因A 錯(cuò) 慣性矩恒為正B 錯(cuò) 慣性矩恒為正C 錯(cuò) 慣性矩恒為正D 對(duì)3 設(shè)矩形對(duì)其一對(duì)稱軸z 的慣性矩為 I, 則當(dāng)其高寬

2、比保持不變，而面積增加1倍時(shí)，該矩形對(duì)z 軸的慣性矩將變?yōu)椋˙）。A2IB.4IC.8ID.16I選 項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原 因A錯(cuò)計(jì)算錯(cuò)誤B對(duì)C錯(cuò)計(jì)算錯(cuò)誤D錯(cuò)計(jì)算錯(cuò)誤4 若截面圖形有對(duì)稱軸， 則該圖形對(duì)其對(duì)稱軸的說(shuō)法正確的是（ A）。A靜矩為零，慣性矩不為零B靜矩不為零，慣性矩為零。C靜矩和慣性矩均為零。D靜矩和慣性矩均不為零。選項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原因A 對(duì)B 錯(cuò) 靜矩為零，慣性矩不為零C 錯(cuò) 靜矩為零，慣性矩不為零D 錯(cuò) 靜矩為零，慣性矩不為零5 直徑為 D 的圓對(duì)其形心軸的慣性半徑i=（B）。（A）D/2（B）D/4（C）D/6（D）D/8選項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原因A 錯(cuò) 計(jì)算錯(cuò)誤B 對(duì)C 錯(cuò) 計(jì)算錯(cuò)誤D錯(cuò)計(jì)算錯(cuò)誤6 若

3、截面有一個(gè)對(duì)稱軸，則下列說(shuō)法中，（D）是錯(cuò)誤的。A截面對(duì)對(duì)稱軸的靜矩為零。B對(duì)稱軸兩側(cè)的兩部分截面，對(duì)對(duì)稱軸的慣性矩相等。C截面對(duì)包含對(duì)稱軸的正交坐標(biāo)系的慣性積一定為零。D截面對(duì)包含對(duì)稱軸的正交坐標(biāo)系的慣性積不一定為零（這要取決坐標(biāo)原點(diǎn)是否位于截面形心）。選項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原因A 錯(cuò) 由靜矩的定義可知B 錯(cuò) 由慣性矩的定義可知C 錯(cuò) 由慣性矩的定義可知D 對(duì)7 任意圖形，若對(duì)某一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這一對(duì)坐標(biāo)軸一定是該圖形的(B)。（ A）形心軸B）主慣性軸（ C）形心主慣性軸（D）對(duì)稱軸選 項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原 因任意圖形，若對(duì)某一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，A錯(cuò)則這一對(duì)坐標(biāo)軸一定是該圖形的主慣性軸B對(duì)

4、任意圖形，若對(duì)某一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，C 錯(cuò)則這一對(duì)坐標(biāo)軸一定是該圖形的主慣性軸D錯(cuò)任意圖形，若對(duì)某一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這一對(duì)坐標(biāo)軸一定是該圖形的主慣性軸8 在 yoz 正交坐標(biāo)系中，設(shè)圖形對(duì) y, z 軸的慣性矩分別為 Iy 和 I z ，則圖形對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩（B）。（ A） I p=0（B） Ip = Iy + I z（C）IPI y2I x2（D） I p2I y2I x2選 項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原 因A錯(cuò)由慣性矩和極慣性矩的定義可推導(dǎo)出B對(duì)C錯(cuò)由慣性矩和極慣性矩的定義可推導(dǎo)出D錯(cuò)由慣性矩和極慣性矩的定義可推導(dǎo)出9 靜矩的國(guó)際單位是（D）。（ A） m 4。（B） m 。（ C

5、） m2 。（D） m3選項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原因A 錯(cuò) 靜矩的國(guó)際單位是 m3B 錯(cuò) 靜矩的國(guó)際單位是 m3C 錯(cuò) 靜矩的國(guó)際單位是 m3D 對(duì)10 圖示矩形截面 b×h 對(duì) y 軸的慣性矩為（ B ）。題10圖A.bh3/12B.hb3/3C.bh3/3D.hb3/12選項(xiàng)對(duì)與錯(cuò)原因A 錯(cuò) 計(jì)算錯(cuò)誤B 對(duì)C 錯(cuò) 計(jì)算錯(cuò)誤D 錯(cuò) 計(jì)算錯(cuò)誤I-2 試求圖示兩平面圖形形心C 的位置。圖中尺寸單位為 mm。yy15010502001201050xx80(a)(b)題I-2圖【解】 (a) (1) 將 T 形分成上、下二個(gè)矩形S 、S ，形心為 C、C ；1212y15050C200C2S2x50(2

6、) 在圖示坐標(biāo)系中， y 軸是圖形對(duì)稱軸，則有： xC =0(3) 二個(gè)矩形的面積和形心；S1501507500 mm2yC1225 mmS25020010000 mm2yC 2100 mm(4) T 形的形心；xC 0yCSi yi7500 22510000100Si750010000153.6 mm(b) (1) 將 L 形分成左、右二個(gè)矩形 S1、S2，形心為 C1、C2；y10120S1C1CS2C210x80(3) 二個(gè)矩形的面積和形心；S1101201200 mm2xC1 5 mmyC 160 mmS27010700 mm2xC245 mmyC25 mm(4) L 形的形心；xCS

7、ixi12005 7004519.74 mmSi1200700yCSiyi120060700539.74 mmSi1200700I-3 試求圖示平面圖形形心位置。尺寸單位為mm。yy16040CxC60O20x2001003010030(b)題I-3圖【解】 (a) (1) 將圖形看成大圓S1 減去小圓 S2，形心為 C1 和 C2；y160S1C1C2S2xCO200100(2) 在圖示坐標(biāo)系中， x 軸是圖形對(duì)稱軸，則有： yC =0(3) 二個(gè)圖形的面積和形心；S1200240000 mm2xC 10S28026400 mm2xC2100 mm(4) 圖形的形心；xCSi xi64001

8、00Si4000019.05 mm6400yC0(b) (1) 將圖形看成大矩形S1 減去小矩形 S2，形心為 C1 和 C2；yS140S2C C160C220x3010030(2) 在圖示坐標(biāo)系中， y 軸是圖形對(duì)稱軸，則有： xC =0(3) 二個(gè)圖形的面積和形心；S116012019200 mm2yC160S2100606000 mm2yC 250 mm(4) 圖形的形心；xC0yCSi yi19200 60600050Si19200600064.55 mmI-4 試求圖示各截面的陰影線面積對(duì)x 軸的靜矩。題I-4圖【解】（a） SxA yc(4020)(20 10) 24000(mm

9、3 )（ b） SxAyc(2065)6542250(mm3 )2（ c） SxAyc(10020)(150 10) 280000(mm3 )（ d） SxAyc(10040)(15020) 520000(mm3 )I-5 試積分方法求圖示半圓形截面對(duì)x 軸的靜矩，并確定其形心的坐標(biāo)。題I-5圖【解】用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截出一微分面積如題I-4 圖所示。dA( xd)dx ；微分面積的縱坐標(biāo)： yx sin；微分面積對(duì) x 軸的靜矩為：dSxdAy( xd dx)yxddxx sinx 2 sindxd半圓對(duì) x 軸的靜矩為：R333Sx x 0R 0R2Rx2 dxsin dcos(co

10、scos0)00333因?yàn)?SxAyc ，所以 2R31R 2ycyc4R323I-6圖（ a）所示直徑為 d200mm的圓形截面，在其上、下對(duì)稱地切去兩個(gè)高為20mm的弓形，試用積分法求余下陰影部分對(duì)其對(duì)稱軸x 的慣性矩。（ a）(b)題I-6圖【解】圓的方程為：x2y 2r 2如圖（ b），作兩條平行 x 軸的、相距為 dy 線段，截圓構(gòu)成微分面積，微分面積為：dA2 r 2y 2 dy切去 2之后，剩下部分對(duì)x 軸的慣性矩為：r sin2 r 2y 2 dyI x2 yr sin2y (2y 2r 2 ) r 2y 2r 4arcsin y88rr sinr sinr 4(1)2sin

11、44r 4(4sin 4)8x12(10020) 21002x 236001x160(mm)tan100204603arctan 453.1300.927(rad )3I x1004(40.927sin 212.520 ) 3.963 10 7 (mm4 )8I-7 試求圖示正方形對(duì)其對(duì)角線的慣性矩。題I-7圖【解】正方形四條邊的直線方程如圖所示（設(shè)水平坐標(biāo)軸為z ，豎坐標(biāo)軸為 y ）。0z222aI zy 2dAdzay2 dyaz2 dy2202 dz2yaz2z2A2aa220z2 a2 dy2 az 2 a2 dy2 2dz2 y2 dz02 ya0022 30z22z2y3aay 3

12、a202 dz202 dz2a0202 a) 3 d( z2 a)2 a2 a)3 d ( z2 a) 2 ( z02 ( z32a222202 a24222( za)2(za)422343420a22a 4a 4=16163a 412故正方形對(duì)其的對(duì)角線的慣性矩為：Ia4z。12I-8 試分別求圖示環(huán)形和箱形截面對(duì)其對(duì)稱軸x 的慣性矩。題I-8圖【解】 (a) I x1D4(12 )13.14 1754 1 (150)4 21177368(mm4 )164164175(b) I x150210390150390449999(mm4 )1212I-9 試求圖示三角形截面對(duì)通過(guò)頂點(diǎn)A 并平行于底

13、邊 BC 的 x 軸的慣性矩。題I-9圖【解】已知三角形截面對(duì)以BC 邊為軸的慣性矩是 bh3，利用平行軸定理，可求得截面對(duì)形心軸 x12的慣性矩0I x0( 1 bh)( h ) 2bh32312所以I x0bh3bh3bh3121836再次應(yīng)用平行軸定理，得I x I x012h2bh38bh3bh 3( bh)()3636423I-10 圖示由兩個(gè) 20a 號(hào)槽鋼組成的組合截面， 若欲使截面對(duì)兩對(duì)稱軸的慣性矩 I x 和 I y 相等，則兩槽鋼的間距 a 應(yīng)為多少？題 I-10 圖【解】 20a 號(hào)槽鋼截面對(duì)其自身的形心軸x0、y0 的慣性矩是Ix0=1.78 ×107mm4，Iy0=1.28 ×106mm4；橫截面積為 A0=2883mm2；槽鋼背到其形心軸 y0 的距離是 x0 20.1m