靜電場與導(dǎo)體

1、第二章靜電場與導(dǎo)體教學(xué)目的要求：1、深入理解并掌握導(dǎo)體的靜電平衡 條件及靜電平衡時(shí)導(dǎo)體的基本性質(zhì)，加深對(duì)高斯定理和環(huán)路定理的理解，結(jié)合應(yīng)用電場線這一工具，會(huì)討論靜電平衡的若干現(xiàn)象，會(huì)結(jié)合靜電平衡條件去理解靜電感應(yīng)、靜電屏蔽等現(xiàn)象，并會(huì)利用前章的知識(shí)求解電場中有導(dǎo)體存在時(shí)的場強(qiáng)和電勢分布。2、確理解電容的概念，并能計(jì)算幾種特殊形式的電容器的電容值。3、進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)靜電能的概念、會(huì)計(jì)算一些特殊帶電導(dǎo)體的靜電能。4、深刻理解電場能量的概念，會(huì)計(jì)算電場能。教學(xué)重點(diǎn)：1、靜電場中的導(dǎo)體2、電容和電容器教學(xué)難點(diǎn)：1、靜電場的唯一定理§ 2.1 靜電場中的導(dǎo)體§ 2.2 電容和電容器

2、67; 2.3 靜電場的能量§2.1靜電場中的導(dǎo)體1、導(dǎo)體的特征功函數(shù)（ 1）金屬導(dǎo)體的特征金屬可以看作固定在晶格點(diǎn)陣上的正離子（實(shí)際上在作微小振動(dòng)）和不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的自由電子的集合。 大量自由電子的運(yùn)動(dòng)與理想氣體中分子的運(yùn)動(dòng)相同，服從經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 自由電子在電場作用下將作定向運(yùn)動(dòng)，從而形成金屬中的電流。 自由電子的平均速率遠(yuǎn)大與定向運(yùn)動(dòng)速率。（ 2）功函數(shù)金屬表面存在一種阻止自由電子從金屬逸出的作用，電子欲從金屬內(nèi)部逸出到外部，就要克服阻力作功。一個(gè)電子從金屬內(nèi)部跑到金屬外部必須作的最小功稱為逸出功，亦稱功函數(shù)。2、導(dǎo)體的靜電平衡條件（ 1）什么是靜電感應(yīng)？當(dāng)某種原因 （帶電或置于

3、電場中） 使導(dǎo)體內(nèi)部存在電場時(shí)， 自由電子受到電場力的作用而作定向運(yùn)動(dòng)，使導(dǎo)體一側(cè)因電子的聚集而出現(xiàn)負(fù)電荷布另一側(cè)因缺少電子而有正電荷分布，這就是靜電感應(yīng)，分布在導(dǎo)體上的電荷便是感應(yīng)電荷。（ 2）靜電平衡狀態(tài)當(dāng)感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的場與外場完全抵消時(shí)，電子的定向運(yùn)動(dòng)終止，導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)。（ 3）靜電平衡條件所有場源包括導(dǎo)體上的電荷共同產(chǎn)生的電場的合場強(qiáng)在導(dǎo)體內(nèi)部處處為零。靜電平衡時(shí)： 導(dǎo)體是等勢體。 導(dǎo)體外表面附近的電場強(qiáng)度與導(dǎo)體表面垂直。 導(dǎo)體表面是一個(gè)等勢面，且與導(dǎo)體內(nèi)部的電勢相等。3、導(dǎo)體上的電荷分布（ 1）導(dǎo)體內(nèi)部電荷密度處處為零，電荷只能分布在導(dǎo)體表面上。（ 2）空腔導(dǎo)體（內(nèi)無

4、電荷）內(nèi)表面上無電荷分布。電荷只能分布在外表面，且導(dǎo)體空腔內(nèi)部的場強(qiáng)也為零。（ 3）孤立帶電導(dǎo)體表面電荷面密度 與表面曲率有關(guān)。一般來說，曲率大的地方電荷面密度較大，曲率小的地方電荷面密度較小。、導(dǎo)體表面的場強(qiáng)當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體表面場強(qiáng)大小與導(dǎo)體表面處的面電荷密度成正比， 方向與導(dǎo)體表面垂直，即1Ee?n0e?n 為表面外法線單位矢。E 是由所有場源共同產(chǎn)生。E10的關(guān)系形式不受場源改變的影響。當(dāng)場源改變時(shí)，電場分布必要改變，導(dǎo)體表面上的面電荷分布將自1E行調(diào)整，直至達(dá)到新的靜電平衡，使0成立。5、靜電屏蔽空腔導(dǎo)體（不論接地與否）內(nèi)部電場不受外部電荷影響；接地空腔導(dǎo)體外部電場不受腔內(nèi)電

5、荷影響，這種現(xiàn)象叫做靜電屏蔽。 當(dāng)導(dǎo)體殼接地時(shí)，接地線的存在，只提供與地交換電荷的可能性，并不保證殼外壁的電荷密度在任何情況下都為零。 導(dǎo)體的靜電屏蔽作用是自然界存在兩類電荷與導(dǎo)體中存在大量自由電子的結(jié)果。 靜電屏蔽時(shí)，電場線不能穿透金屬導(dǎo)體。這里的電場線代表的是所有電荷共同產(chǎn)生的電場。6、導(dǎo)體上的電荷分布計(jì)算方法（ 1）根據(jù)題設(shè)條件分析判斷經(jīng)靜電感應(yīng)達(dá)到靜電平衡后導(dǎo)體上所帶電荷的性質(zhì)及其分布情況，設(shè)出各待求電量 Q 或電荷密度 。（ 2）根據(jù)導(dǎo)體的靜電平衡條件、高斯定理、環(huán)路定理和疊加原理，分別列出其場強(qiáng)及電勢的表達(dá)式。（ 3）由已知條件從方程組中解出各待求量。7、導(dǎo)體附近的場強(qiáng)和電勢計(jì)算方

6、法（ 1）確定導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)所帶的電量及電荷分布情況。（ 2）根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡條件及導(dǎo)體上電荷穩(wěn)定分布情況，分析判斷其電場分布情況，用高斯定理（或場強(qiáng)疊加原理）再求出場強(qiáng)分布。（ 3）用電勢定義式（或電勢疊加原理）求出電勢分布。8、例題例 2.1-1一面積為S 的很大金屬平板A ，帶有正電荷，電量為Q，A 1 和表面上的電荷單獨(dú)產(chǎn)生的場強(qiáng)和它們的合場強(qiáng)。解： 因?qū)w板的面積很大，厚度很小，可以認(rèn)為電荷Q 均勻分布在A 1 和A 2 是金屬板的兩個(gè)平面，計(jì)算兩 A 2 兩個(gè)表面上，電荷面密度為Q和分別代表 A 1 和 A 2 表面上的電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)，表每個(gè)面可看作無限大的帶電平面，

7、設(shè)示垂直金屬板向右的單2位S矢量，則E1E21i? （ A 1右側(cè)）2A10A2E112i?（ A左側(cè)）10而1i? （ A1 右側(cè)）0EE1 E20（A1、A2之間）1i?（ A 2左側(cè)）0例 2.1-2S 的不帶電的金屬平板 B 平行放在 A 板附近，求此時(shí)A 、B板每在例 1 中，若把另一面積亦為個(gè)表面上的面密度和空間各點(diǎn)的場強(qiáng)。12 、 3、 4解：當(dāng) B 板放在 A 板附近時(shí)， 由于靜電感應(yīng)， 電荷將重新分布， 最后達(dá)到靜電平衡。 用 1 、分別表示 A 和 B 兩板每個(gè)面上的電荷面密度，如圖所示。根據(jù)電荷守恒定律，不管板上的電荷怎樣重新分布，每一金屬板的總量保持不變，即1 23 4

8、QS0根據(jù)靜電平衡條件，每一金屬板內(nèi)的場強(qiáng)為零，若E1 、 E2 、 E3 和E4 分別是每一面上的電荷單獨(dú)產(chǎn)生的場強(qiáng)，則在金屬板內(nèi)任一處E1 E2E3E40取向右的方向?yàn)檎?，把每一個(gè)帶電面看作無限大帶電平面，在金屬板A 內(nèi)，有12340B在金屬板 B 內(nèi)，有A241312340解以上四個(gè)方程式，可得Q12EIEIIEIII2SQ341234x三個(gè)區(qū)域中的場強(qiáng)為2SEIEIIEIII1Q2 0S方向如圖所示。由此可見，B 板的引入并不改變A 板上電荷的分布，除B 板內(nèi)各處的場強(qiáng)為零外，空間其它地方的場強(qiáng)亦未變化。例 2.1-3在上題中，若將金屬板B 接地，求 A 、 B 兩板表面上的電荷密度。

9、解： B 板接地后， B 板和大地變成同一導(dǎo)體，B 板外側(cè)表面不帶電，即4 0根據(jù)電荷守恒定律Q12根據(jù)靜電平衡條件，SA 、 B 兩板內(nèi)部電場強(qiáng)度為零，故有123123解以上方程得10Q23S00即當(dāng) B 板接地后，原來分布在A 板兩個(gè)表面上的電荷全部集中到B 板的一個(gè)表面上，而在B 板的靠近板的那個(gè)表面上出現(xiàn)與A 板等量異號(hào)的感應(yīng)電荷，電場只分布在區(qū)域II 內(nèi)。例 2.1-4在 x<0 的半個(gè)空間內(nèi),充滿金屬，在x=a 處有一電量為q 的正點(diǎn)電荷 ,如圖 (a)所示，試計(jì)算導(dǎo)體表面的場強(qiáng)和導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷面密度。解：根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，空間任一點(diǎn)的場強(qiáng)由點(diǎn)電荷+q 單獨(dú)產(chǎn)生的電場和

10、金屬表面感應(yīng)電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電場疊加而成，如圖（2）。1）若 P1 是 x<0 空間內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（- ， y）， 0 ，點(diǎn)電荷q 在 P1 點(diǎn)的場強(qiáng)為A1q?q?qyjaiEq0 r2er40 (a22)3 2o4y圖（ a）xa設(shè)金屬表面的感應(yīng)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為E1 ，如圖（ b），則由場強(qiáng)疊加原理和靜電平衡條件有E1Eq0Eqy由此得p1(, y)1q?q?E1aiyj0r2 er40( a2y2)3 2E1q4圖（ b）2）若 P2是 x>0 空間內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ ，y）， 0 ，因 P和 P 無限接近，在這兩點(diǎn)，點(diǎn)電荷qo12的電場強(qiáng)度是相等的，但感應(yīng)電荷在ax

11、'E1'P1 處的場強(qiáng) E1 和 P2 處的場強(qiáng) E是不同的， 根據(jù)導(dǎo)體表面附近一點(diǎn)的場強(qiáng)垂直于導(dǎo)體表面知，Eq 和 E'大小相等，方向不同，如圖（c）。'q?aiyjE140 ( a2y 2 )3 2E1'?E Eqq0 (a22ai2)3 24yaq( i?)Eqy20 ( a2y2)3 2Ep2 (, y)1E'qE10圖（ c）oaxaq例 2.1-5R1，外半徑為 R2，求球殼的電電量為 q 的點(diǎn)電荷絕緣地放在導(dǎo)體球殼的中心，球殼的內(nèi)半徑為勢2(a2y2 )3 2-q，球殼外表面均勻帶有總電量q，電場的分解： 點(diǎn)電荷位于球殼的中心，球殼

12、內(nèi)表面將均勻帶有總電量布具有球?qū)ΨQ性，此時(shí)可用兩種方法求球殼的電勢。1）積分法q1qR2E drR2 40 r 2 dr40 R 2R12）疊加法qqqqqq4 0R140 R140 R240 R2Q 和 q，今用一細(xì)導(dǎo)線連接兩球，求達(dá)例 2.1-6兩導(dǎo)體球，半徑分別為R 和 r，相距甚遠(yuǎn)，分別帶有電量到靜電平衡時(shí)，兩導(dǎo)體球上的電荷面密度之比值。解： 當(dāng)導(dǎo)體球相距甚遠(yuǎn)時(shí)，每一導(dǎo)體球都可以看作為孤立導(dǎo)體處理。導(dǎo)體球的電勢分別為1Q1q40 R40rQ '和 q'當(dāng)用導(dǎo)線連結(jié)時(shí)，兩導(dǎo)體球上的電荷重新分布，電量變?yōu)榈珜?dǎo)線很細(xì)，分布在導(dǎo)線上的電荷忽略不計(jì)。這是兩導(dǎo)體球的電勢相等，即Q&

13、#39;q'而RrQ'q'Q q由此可求得Q'R(Qq)Rr面電荷密度q'r(Qq)RrQ1RQ'q4 R24 (R r ) Rrq'qQ1所以4r 24 ( Rr ) rRrrR,又重新使金例 2.1-7 一導(dǎo)體球通過與一帶電金屬板反復(fù)接觸而獲得電荷，每當(dāng)導(dǎo)體球與金屬板接觸并分后屬板帶有電量Q，若 q1 是導(dǎo)體球與金屬板第一次接觸后所帶的電量，求導(dǎo)體球可獲得的最大電量。解：導(dǎo)體球與金屬板接觸時(shí)，兩者達(dá)到電勢相等。設(shè)經(jīng)過第一次接觸，導(dǎo)體球的電量為q1 金屬板的電量為Q1，它們的比值為q1kQ1K 值不變。導(dǎo)體球和金屬板接觸達(dá)到靜電平衡時(shí)電

14、勢相等，根據(jù)電荷守恒定律q1Q1Q ，故有q1kq1kQq1Qk1Qq2 和 Q2， 則金屬板第二次被充電到后再與導(dǎo)體球接觸，設(shè)導(dǎo)體球和金屬板的電量分別為q2kQ2根據(jù)電荷守恒定律，q2Q2q1Q ，故有q2kQq1q2q2k(Q q1 ) q1 (1q1 )同理，經(jīng)過第k1Qn 次接觸，導(dǎo)體球的電量為qq2qn 1qnq1 (1111QQ2Qn 1 )當(dāng) n時(shí)qmaxq11=Qq1q1Qq11Q§2.2 電容和電容器1、孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體是指該導(dǎo)體的附近沒有其它導(dǎo)體和帶電體。對(duì)于孤立導(dǎo)體，電荷在導(dǎo)體表面的相對(duì)分布情況由導(dǎo)體的幾何形狀唯一確定，因而帶一定電量的導(dǎo)體外部空間的電場分

15、布以及導(dǎo)體的電勢亦完全確定。根據(jù)疊加原理，當(dāng)孤立導(dǎo)體的電量增加若干倍時(shí)，導(dǎo)體的電勢也將增加若干倍，即孤立導(dǎo)體的電勢與其電量成正比：qC比例系數(shù) C 稱為孤立導(dǎo)體的電容。電容只取決于孤立導(dǎo)體的幾何形狀，而與導(dǎo)體所帶電量及導(dǎo)體的電勢無關(guān)。孤立導(dǎo)體電容的大小反映了該導(dǎo)體在給定電勢的條件下儲(chǔ)存電量能力的大小。-6-12單位：法拉（F） ， 1 微法（ F） =10法（ F）， 1 皮法（ PF） =10法（ F）2、電容器及其電容（ 1）當(dāng)帶電導(dǎo)體周圍存在其它導(dǎo)體或其它帶電體時(shí)，該帶電導(dǎo)體的電勢不僅與自己所帶的電荷有關(guān)，且與周圍的導(dǎo)體以及帶電體都有關(guān)。因此，在一般情況下，非孤立導(dǎo)體的電荷與其電勢不成正

16、比。（ 2）兩個(gè)導(dǎo)體組成的導(dǎo)體組，當(dāng)周圍不存在其他導(dǎo)體或帶電體，且兩導(dǎo)體帶等量異號(hào)電荷時(shí)，導(dǎo)體所帶電量與導(dǎo)體間的電勢差的比值是一恒量。通常把這比值稱為這兩個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的導(dǎo)體組的電容。（ 3）由兩導(dǎo)體組成的封閉（屏蔽）系統(tǒng)稱為電容器，兩導(dǎo)體稱為電容器的兩個(gè)極板。封閉系統(tǒng)是指電場線從一導(dǎo)體出發(fā)，完全終止于另一導(dǎo)體。（ 4）若電容器的任一極板上的電量的絕對(duì)值為q，則 q 與兩極板間的電勢差的比值稱為電容器的電容12Cq1 2 電容器的電容完全由電容器的幾何結(jié)構(gòu)決定，與其帶電狀態(tài)無關(guān)，與周圍的帶電體無關(guān)。 電容器電容的大小反映了極板間存在一定電勢差時(shí)，極板上貯存電量的多少。 任意兩導(dǎo)體之間都有電容（部分

17、電容） ，但不能稱這兩個(gè)導(dǎo)體為電容器。3、幾種形狀的電容器的電容1）平行板電容器C0Sd2）球形電容器40 RARBCRBRA3）圓柱形電容器C20 LlnRBRA4、電容器的串聯(lián)與并聯(lián)（ 1）并聯(lián)若干電容器并聯(lián)后，電容器組的等值電容等于各電容器的電容之和。n（2）串聯(lián)CCi串聯(lián)電容器組的等i值1電容的倒數(shù)等于各電容器的電容的倒數(shù)之和。1n1Ci 1 Ci5、電容的計(jì)算方法（ 1）容的定義求電容 假定電容器兩極板分別帶等量異號(hào)的電荷±Q。 計(jì)算電容器兩極板間的電場分布，從而算出兩極板間的電勢差。 由電容的定義求出電容。（ 2）容的并、串聯(lián)關(guān)系求電容 據(jù)電容器組中各電容器的本身性質(zhì)寫出

18、各電容器電容的表達(dá)式。 據(jù)電容器組中各電容器間的連接關(guān)系，正確地畫出等效電路圖。 電容的并、串聯(lián)公式求出等效電容。6、例題例 2.2-1 一球形電容器內(nèi)外薄殼的半徑分別為 R1 和 R4，今在兩殼之間放一個(gè)內(nèi)外半徑分別為 R2 和 R3 的同心導(dǎo)體殼，求半徑為 R1 和 R4 兩球面間的電容。解： 因靜電感應(yīng)，各球面帶電情況如圖所示，導(dǎo)體內(nèi)部無電場。QQQR1R2QR3RR4QR4Q214E d r2 dr2 dr40 rR3 40 rR1Q111140R1R2R3R4CQ40 R1R2R3 R4R2R3R4R1 R3 R4R1 R2 R4R1 R2 R314=600v 試求各個(gè)電容器上的電勢

19、差？例 2.2-2在圖示的電路中C1=C3 =2 F， C2=C 4=C5=1 F，解： 此電容組合并非簡單的電容串、并聯(lián)，對(duì)閉合回路AC 1C2BA 、AC 4C5 BA 及 AC 1C3C4A 分別應(yīng)用環(huán)路定理E dl0 得C 1C 2U 1U 20U 4U 50U 1U3 U40ABC 3C 4C 5把高斯定理應(yīng)用于圖中電容器C1、 C2、C3 各一極板的閉合曲面（虛線）注意到各電容器原來未帶電，故由q得E ds011 ds12 ds103 ds000Q1 Q2Q3U 1C1U 2C2U 3C3同理Q5Q3Q4注意到 QUC，聯(lián)立以上五式得U 1240VU 2360V U 4 360VU

20、 3120VU 5240V§2.3 靜電場的能量1、帶電導(dǎo)體的靜電能（ 1）帶電導(dǎo)體系的靜電能W1i Q iW i2i在點(diǎn)電荷系的相互作用能（互能）1中，i 是除 qi 以外的點(diǎn)電荷在qiWqi 處所能產(chǎn)生的電勢；在帶電導(dǎo)體系的靜電能2qi i（自能 +互能）1中，iQii Qii 是電量為 Qi 的那個(gè)導(dǎo)體的電勢，其中包括自己產(chǎn)生的電勢。W2（ 2）電容器的靜電能i（儲(chǔ)能W1 QU1CU 21 Q 2222 C 靜電能的改變量當(dāng)電容器始終與電源聯(lián)接時(shí)，電容器上所加電壓不變，則用W 1CU 22計(jì)算較為方便；當(dāng)電容器充電后，不再與電源聯(lián)接時(shí)，電容器極板上所帶電量不變，則用W1 Q 2

21、計(jì)算較為方便。2 C 電場對(duì)電源作的功當(dāng)保持電壓一定時(shí)，電源對(duì)電場作的功為QU，而電場對(duì)電源作的功為AQU其中Q 為兩極板距離從d1 拉開到 d2 時(shí)極板上電荷的增量。 外力對(duì)極板作的功A 'd2Fdxd1其中 F 為極板所受之力，其值可由虛功原理求得1 Q 21CU2F2 d2 Cd 功能關(guān)系根據(jù)能量守恒定律，上述三量之間有關(guān)系式A'WA即外力對(duì)極板所作之功等于電場能量的增量和電場對(duì)電源所作的功。2、電場的能量電場能量密度即電場空間中單位體積內(nèi)的能量為E10 E22電場總能量為WEE dV10 E 2dVVV 2WE10 E2 dV W1dVWE10 E2dV 在靜電場范圍內(nèi)2 V與2 V是等價(jià)的。在2 V中， VW1dV2中， V 是電荷分布的空間體積。是電場分布的空間體積。在V 電場總能量（靜電能）恒正。3、靜電場對(duì)導(dǎo)體的作用力1212 ?fe?n202 0 EenE en導(dǎo)體表面單位面積所受的力在數(shù)值上與導(dǎo)體表面處電場的能量密度相等，力的方向與導(dǎo)體帶電的符號(hào)無關(guān)，總是在外法線方向，是一種張力。4、靜電場對(duì)導(dǎo)體的作用力的計(jì)算方法根據(jù)導(dǎo)體表面電荷的分布情況，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。在導(dǎo)體表面上，任取一面元dS ，計(jì)算電荷