高等數(shù)學(xué)(難)

1、高等數(shù)學(xué) ( 難)高等數(shù)學(xué) I一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）( 本大題有 4 小題,每小題4分, 共 16分)1. 當(dāng) xx0 時(shí)，x , x都是無(wú)窮小，則當(dāng) xx0 時(shí)（）不一定是無(wú)窮小 .xx2(A)(B)2x2 x(x)(C)ln 1( x)(x)(D)( x)1sin xxalim2.極限 xa sin a的值是（）.（A） 1（B） e（ C） ecot a（ D） etan af ( x)sin xe2ax1x0x3.ax0 在 x0 處連續(xù)，則 a=（）.（A） 1（B） 0（C） e（D）1設(shè) f (x) 在點(diǎn) xlim f (ah

2、)f ( a2h)）.4.a處可導(dǎo)，那么 h0h（A ） 3 f (a)（B） 2 f (a)f (a)1f (a)(C)（D） 3二、填空題（本大題有4 小題，每小題 4 分，共 16 分）lim ln( xa)ln a( a 0).5.極限 x0x的值是6.由 ex yy ln xcos2x確定函數(shù)y( x)，則 導(dǎo)函數(shù)y.7.直線 l 過(guò)點(diǎn) M (1,2,3) 且與兩平面 x2yz0,2 x 3y5z6 都平行，則直線 l 的方程為.8.求函數(shù) y2xln( 4 x) 2的單調(diào)遞增區(qū)間為.三、解答題（ 本大題有 4 小題，每小題 8 分，共 32 分）1lim (1x)xe9.計(jì)算極限

3、x0x.vv|26vvvv10. 已知： | a |3 ， | b， ab30 ，求 | ab | 。xF (x)( x t ) f (t )dtx a,b11. 設(shè) f (x) 在 a，b上連續(xù)，且a，試求出 F ( x) 。x cos x dx.12. 求sin 3 x四、解答題（本大題有4 小題，每小題8 分，共 32 分）2dx13.求2 x x 213.y2x1 x2的極值與拐點(diǎn) .14.求函數(shù)求由曲線 yx3x 215.4 與 y 3x所圍成的平面圖形的面積 .16.設(shè)拋物線 y4 x 2上有兩點(diǎn) A(1,3) ， B(3,5) . 在弧 AB 上，求一點(diǎn)P(x, y) 使三角形

4、ABP 的面積最大 .六、證明題（本大題4 分）17.設(shè) x0 ，試證 e2 x (1x)1x .高等數(shù)學(xué) I 解答一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）( 本大題有 4 小題,每小題 4 分,共 16分)18.當(dāng) xx0 時(shí)，x ,x都是無(wú)窮小，則當(dāng) xx0 時(shí)（D）不一定是無(wú)窮小 .(A)xx(B)2 x2x2 (x)(C)ln 1( x)(x)(D)( x)1sin xx alim19.極限 xa sin a的值是（ C） .（A） 1（B） e（ C） ecot a（ D） etan asin xe2ax10f ( x)xx20.ax0 在 x 0

5、 處連續(xù)，則 a=（D）.（A） 1（B） 0（C） e（D）1設(shè) f ( x) 在點(diǎn) xlim f (ah)f (a2h)A） .21.a 處可導(dǎo)，那么 h 0h（A ） 3 f (a)（B） 2 f (a)(C)f(a)1 f(a)（D） 3二、填空題（本大題有 4 小題，每小題 4 分，共 16 分）ln( xa)ln a( a0)1limxa .22. 極限 x0的值是23.由ex yy ln xcos 2x 確 定 函 數(shù)y( x)，則導(dǎo)函數(shù)y2sin 2xyyexyxe xyx.ln x24.直線 l 過(guò)點(diǎn) M (1,2,3) 且與兩平面 x2y z0,2 x3y5z6 都平行，則

6、直x 1y2z3線 l 的方程為111.25. 求函數(shù) y2xln( 4 x) 2的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ，0）和（1，+ ） .三、解答題（ 本大題有 4 小題，每小題 8 分，共 32 分）1lim(1x)xex.26. 計(jì)算極限 x 0(11e1 ln(1 x)1ln(1 x)xelimx) xelimex1elimx2解： x 0xx 0xx 02vv|26vvvv27. 已知： | a | 3 ，| b， ab30 ，求 | ab | 。cosa b5,sin1cos212解 ：a b1313，a b72xF (x)( xt ) f (t )dt xa,b28. 設(shè) f (x) 在 a，

7、b上連續(xù)，且a，試求出 F ( x) 。xx解：F (x)xf (t )dttf (t )dtaaxxF (x)f (t) dtxf ( x)xf ( x)f (t )dtaaF ( x)f ( x)x cos x dx.29. 求sin 3 x解：x cos3x dx1xd sin 2 xsinx21x sin 2 x1sin 2 xdx1x sin 2 x1cot xC2222四、解答題（ 本大題有 4 小題，每小題8 分，共 32 分）2dx2x x 2130. 求3.令1tx1原式23211(12 )dt11ttt 23dt322arcsin t1121 t2262 x31. 求函數(shù)

8、y 1 x2 的極值與拐點(diǎn) .解：函數(shù)的定義域（，+ ）y2(1x)(1x)y4x(3 x 2 )(1x 2 ) 2(1x 2 ) 3令 y0 得 x 1 = 1, x 2 = -1y (1) 0x1 = 1 是極大值點(diǎn)， y ( 1)0 x 2= -1是極小值點(diǎn)極大值 y(1)1，極小值 y(1)1令 y0 得 x 3 = 0, x 4 =3 ,x 5 = -3x(-,-3 )(-3 ,0)(0,3 )( 3,+)y+故拐點(diǎn)（ -3 ，-3），（0，0）（ 3 ，322 ）求由曲線 yx33x x 232.4 與 y所圍成的平面圖形的面積 .解 : x33xx 2 ,x 312x4 x20,

9、4x(x 6)( x2)0,x16,x20,x3 2.S0x 33x x2)dx2(3x x2x 3)dx6(404( x43 x2x36( 3 x2x3x4) 0)0216232316452 147 13333.設(shè)拋物線 y4x2上有兩點(diǎn) A(1,3) ， B(3,5) ，在弧 A B 上，求一點(diǎn)P(x, y) 使 ABP 的面積最大 .解：連線方程：y2x1 0AB45AB點(diǎn) 到AB的距離 2xy1x 22x3(1x3)P55的面積ABPS(x)1 4 5x 22x 32( x 22 x 3)25S (x)4x 4 當(dāng) x 1S ( x) 0S (x)40當(dāng)時(shí)取得極大值也是最大值x 1 S( x)此時(shí) y3所求點(diǎn)為 (1， 3)另解：由于ABC的底一定故只要高最大而過(guò)C點(diǎn)的拋物線AB,的切線與 AB平行時(shí) , 高可達(dá)到最大值, 問(wèn)題轉(zhuǎn)為求 C( x0 ， 4 x02 ), 使 f ( x0 )2 x05 3312,解得 x0 1,所求 C點(diǎn)為 (1,3)六、證明題（ 本大題 4 分）34.設(shè) x 0 ，試證 e2 x (1 x) 1x .證明：設(shè) f ( x)e2 x (1x)(1 x), x 0f( x)e2x (1 2x) 1， f(