2022年浙江省溫州市荊谷中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年浙江省溫州市荊谷中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)y＝的圖象可能是()圖2－4參考答案：B2.由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式確定的平面區(qū)域記為，在中隨機取一點，則該點恰好在內(nèi)的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的x值是(

)A．3 B．4 C．6 D．8參考答案：C【考點】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的s，k的值，當(dāng)s=103時，不滿足條件s＜100，退出循環(huán)，x=8，輸出x的值為8．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，可得k=1，s=1滿足條件s＜100，s=4，k=2；滿足條件s＜100，s=22，k=3；滿足條件s＜100，s=103，k=4；不滿足條件s＜100，退出循環(huán)，x=8，輸出x的值為8．故選：D．【點評】本題主要考查了程序框圖和算法，準確判斷退出循環(huán)時k的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4.已知是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(m為常數(shù)),則(1og35)A．4

B．-4

C．6

D．-6參考答案：B略5.將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，那么所得圖象的函數(shù)解析式為（）A．

B．C．

D．參考答案：C6.下列說法中正確的是（

）①“，都有”的否定是“，使”.②已知{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和，則，，也成等比數(shù)列.③“事件A與事件B對立”是“事件A與事件B互斥”的充分不必要條件.④已知變量x，y的回歸方程是，則變量x，y具有負線性相關(guān)關(guān)系.A．①④

B．②③

C．②④

D．③④參考答案：D①“，都有”的否定是“，使”，該說法錯誤；②當(dāng)數(shù)列的公比為-1時，可能是0，該說法錯誤.③對立一定互斥，互斥不一定對立，故“事件與事件對立”是“事件與事件互斥”的充分不必要條件，該說法正確.④則變量，具有負線性相關(guān)關(guān)系，該說法正確.綜合可得：正確的說法是③④.

7.已知函數(shù)f（x）=，若f[f（0）]=a2+4，則實數(shù)a=(

) A．0 B．2 C．﹣2 D．0或2參考答案：D考點：分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由分段函數(shù)的表達式，先求f（0），再求f[f（0）]，解關(guān)于a的方程即可．解答： 解：∵函數(shù)f（x）=，∴f（0）=20+1=2，∴f[f（0）]=f（2）=4+2a=a2+4，∴a=0或a=2．故選：D．點評：本題考查分段函數(shù)及應(yīng)用，考查分段函數(shù)值，應(yīng)注意各段的范圍，是一道基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)f（x）=log2x，x∈[1，8]，則不等式1≤f（x）≤2成立的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】CF：幾何概型．【分析】由題意，本題是幾何概型的考查，只要求出區(qū)間的長度，利用公式解答即可．【解答】解：區(qū)間[1，8]的長度為7，滿足不等式1≤f（x）≤2即不等式1≤log2x≤2，解答2≤x≤4，對應(yīng)區(qū)間[2，4]長度為2，由幾何概型公式可得使不等式1≤f（x）≤2成立的概率是，故選B．【點評】本題考查了幾何概型的概率求法，關(guān)鍵是明確結(jié)合測度，本題利用區(qū)間長度的比求幾何概型的概率．9.四面體中，與互相垂直,,且,則四面體的體積的最大值是

(

).A.4

B.2

C.5

D.參考答案：A略10.在邊長為2的等邊三角形ABC中，點D、E分別是邊AC、AB上的點，滿足且，將△ADE沿直線DE折到的位置.在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是（

）A.在邊上存在點F，使得在翻折過程中，滿足平面B.存在，使得在翻折過程中的某個位置，滿足平面平面BCDEC.若，當(dāng)二面角為直二面角時，D.在翻折過程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為參考答案：D【分析】利用反證法可證明A、B錯誤，當(dāng)且二面角為直二面角時，計算可得，從而C錯誤，利用體積的計算公式及放縮法可得，從而可求的最大值為，因此D正確.【詳解】對于A，假設(shè)存在，使得平面，如圖1所示，因為平面，平面平面，故，但在平面內(nèi)，是相交的，故假設(shè)錯誤，即不存在，使得平面，故A錯誤.對于B，如圖2，取的中點分別為，連接，因為為等邊三角形，故，因為，故所以均為等邊三角形，故，，因為，，，故共線，所以，因為，故平面，而平面，故平面平面，若某個位置，滿足平面平面，則在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影為，所以，此時，這與矛盾，故B錯誤.對于C，如圖3（仍取的中點分別為，連接）因為，所以為二面角的平面角，因二面角為直二面角，故，所以，而，故平面，因平面，故.因為，所以.在中，，在中，，故C錯.對于D，如圖4（仍取的中點分別為，連接），作在底面上的射影，則在上.因為，所以且，所以其.又，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故.故D正確.故選：D.

【點睛】本題考查平面圖形的折疊問題、折疊過程的線面、面面關(guān)系的判斷以及體積最值的計算，解題注意折疊前面變化的量與不變量的量，而線面、面面關(guān)系的判斷要依據(jù)性質(zhì)定理或判定定理，體積最值的計算首先要有目標函數(shù)，其次根據(jù)線段長度的大小關(guān)系放縮為一元函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最值，本題為難題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子構(gòu)成，其空間結(jié)構(gòu)為正四面體，碳原子位于該正四面體的中心，四個氫原子分別位于該正四面體的四個頂點上，若將碳原子和氫原子均視為一個點（體積忽略不計），設(shè)碳原子與每個氫原子的距離都是a，則該正四面體的體積為_________．參考答案：12.已知函數(shù)，若，且，則_________________參考答案：

13.過原點作曲線的切線，則此切線方程為

參考答案：【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程B12【答案解析】y=ex解析：解：y′=ex設(shè)切點的坐標為（x0，ex0），切線的斜率為k，則k=ex0，故切線方程為y﹣ex0=ex0（x﹣x0）又切線過原點，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．則切線方程為y=ex故答案為y=ex．【思路點撥】欲求切點的坐標，先設(shè)切點的坐標為（x0，ex0），再求出在點切點（x0，ex0）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=x0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用切線過原點即可解決問題14.在△ABC中，B（10，0），直線BC與圓Γ：x2+（y﹣5）2=25相切，切點為線段BC的中點．若△ABC的重心恰好為圓Γ的圓心，則點A的坐標為．參考答案：（0，15）或（﹣8，﹣1）考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：設(shè)BC的中點為D，設(shè)點A和C的坐標，根據(jù)圓心Γ（0，5）到直線AB的距離等于半徑5求出AB的斜率k的值．再由斜率公式以及ΓD⊥BC，求出C的坐標，再利用三角形的重心公式求得A的坐標．解答：解：設(shè)BC的中點為D，設(shè)點A（x1，y1）、C（x2，y2），則由題意可得ΓD⊥BC，且D（，）．故有圓心Γ（0，5）到直線AB的距離ΓD=r=5．設(shè)BC的方程為y﹣0=k（x﹣10），即kx﹣y﹣10k=0．則有=5，解得k=0或k=﹣．當(dāng)k=0時，有，當(dāng)k=﹣時，有．解得，或．再由三角形的重心公式可得，由此求得或，故點A的坐標為（0，15）或（﹣8，﹣1），故答案為（0，15）或（﹣8，﹣1）．點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式、斜率公式、三角形的重心公式，屬于中檔題．15.（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，則的值為．參考答案：【考點】：余弦定理．【專題】：解三角形．【分析】：利用余弦定理表示出cosA，將已知等式代入計算求出cosA的值，確定出A的度數(shù)，表示出B的度數(shù)，原式利用正弦定理化簡后，整理即可求出值．解：∵在△ABC中，b2+c2+bc﹣a2=0，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，即A=120°，利用正弦定理化簡得：=====．故答案為：【點評】：此題考查了余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．16.已知正三角形邊長為2，將它沿高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為

.參考答案：試題分析：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，而且，三棱柱中，底面邊長為，外接圓的半徑為；∴球的半徑為，四面體ABCD外接球表面積為：．考點：1.球內(nèi)接多面體；2.球的體積和表面積．【思路點睛】本題考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，三棱錐的三條側(cè)棱，底面是正三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可．17.閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果的值為

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量=（2cos2x，1），=（2cos（2x﹣），﹣1）．令f（x）=?．（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間．（2）若f（θ）=，且θ∈（，），求cosθ的值．（2）當(dāng)x∈[，]時，求f（x）的最小值以及取得最小值時x的值．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；平面向量數(shù)量積的運算；三角函數(shù)的最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用．【分析】（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結(jié)論．（2）由f（θ）=，求得sin（θ+）=，結(jié)合θ∈（，），求得cos（θ+）的值．再根據(jù)cosθ=cos[（θ+）﹣]計算求得結(jié)果．（3）由x∈[，]時，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）取得最小值以及此時x的值．【解答】（1）f（x）=?=2cos2x?2cos（2x﹣）﹣1=4cos2x（cos2xcos+sin2xsin）﹣1=2cos22x+2sin2xcos2x﹣1=cos4x+sin4x=2sin（4x+），故函數(shù)f（x）的周期為=．令2kπ﹣≤4x+≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，可得f（x）的增區(qū)間為[得﹣，+]，k∈Z．（2）若f（θ）=2sin（θ+）=，可得sin（θ+）=＜，結(jié)合θ∈（，），可得θ+∈（，π），故cos（θ+）=﹣=﹣．∴cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin（θ+）sin=﹣×+×=．（3）當(dāng)x∈[，]時，4x+∈[，]，﹣1≤sin（4x+）≤，故當(dāng)4x+=時，函數(shù)f（x）取得最小值為﹣2，此時，x=．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2）設(shè)△的內(nèi)角的對邊分別為且，，若，求的值。參考答案：20.已知向量，，函數(shù)，三個內(nèi)角的對邊分別為.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的面積．參考答案：（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）的面積.21.已知四棱錐P—ABCD及其三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點。（Ⅰ）求四棱錐P—ABCD的體積；（Ⅱ）不論點E在何位置，是否都有BDAE？試證明你的結(jié)論；(Ⅲ)若點E為PC的中點，求二面角D—AE—B的大小。

參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見解析(Ⅲ)120°解析：（Ⅰ）由三視圖知PC⊥面ABCD，ABCD為正方形，且PC=2，AB=BC=1，-----------------4分（Ⅱ）∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD∴PC⊥BD,而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，而AE?面ACE∴BD⊥AE-----------------7分(Ⅲ)法一：連接AC，交BD于O．由對稱性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，設(shè)θ為二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影為O∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°-------------12分法二：以C為坐標原點，CD所在直線為x軸建立空間直角坐標系則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），從而=（-1，0，1），=（0，1，0），（1，0，0），（0，-1，1）設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）則-x1+z1=0，y1=0,x2=0，-y2+z2=0令z1=1，z2=-1，則（（1，0，1），=（0，-1，-1）設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ，則|cosθ|=|二面角D-AE-B為鈍二面角．∴二面角D-AE-B是120°---------12分

略22.如圖所示，AB為圓O的直徑，CB，CD為圓O的切線，B，D為切點．（1）求證：AD∥OC；（2）若圓O的半徑為2，求AD?