思法數學：初升高銜接講義-第8講---映射與函數的概念.

1、第 8 講映射與函數的概念一【學習目標】1. 了解映射的概念及表示方法；2. 理解函數的概念，了解簡單的分段函數及應用，明確函數的三種表示方法；3. 會求一些簡單函數的定義域和值域.二【知識梳理】1. 映射引入： 復習初中常見的對應關系（ 1）對于任何一個實數 a ，數軸上都有唯一的點 p 和它對應；（ 2）對于坐標平面內任何一個點A，都有唯一的有序實數對（ x, y ）和它對應；（ 3）對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應；（ 4）某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應；定義： 一般地，設A、B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f ，使對于集合 A 中的

2、任意一個元素 x ，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應，那么就稱對應 f ：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個映射記作“ f ： A B”.點撥 ：（ 1）這兩個集合有先后順序，A 到 B 的映射與B 到 A 的映射是截然不同的，其中 f 表示具體的對應法則，可以用多種形式表述（ 2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思（ 3）設 f ：A B為從集合 A 到集合 B 的一個映射，若 f ：a b，則 b 叫做 a 的象； a 叫做 b 的原象 .2. 函數（1）函數的概念：設 A、 B 是非空的數集，如果按照某個確定的對

3、應關系數 x，在集合 B 中都有唯一確定的數f(x) 和它對應，那么就稱的一個函數記作：y=f(x)，x Af ，使對于集合A 中的任意一個f ：A B 為從集合A 到集合B其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍A 叫做函數的定義域；與x 的值相對應的y 值叫做函數值，函數值的集合 f ( x)|x A 叫做函數的值域點撥 ：“ y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x) ”；函數符號“y=f(x)”中的 f ( x) 表示與 x 對應的函數值，是一個數，而不是f 乘 x函數是特殊的映射.（2）函數的三要素：定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所

4、以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等（或為同一函數）. 即：兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關.（3）函數的表示方法：解析法、列表法、圖象法三種.三【典例精析】例 1下列哪些對應是從集合A 到集合 B 的映射？（1）A= P | P 是數軸上的點 ，B=R，對應關系 f：數軸上的點與它所代表的實數對應；（ 2） A= P | P 是平面直角坐標系中的點 ， B( x, y) | x R, yR , 對應關系f ：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應； x | x是圓, 對應關系f ：每一個三角形都對應它的內切圓；（3）

5、A= 三角形 ， B=（4） A= x | x 是新華中學的班級 ， Bx | x是新華中學的學生, 對應關系f ：每一個班級都對應班里的學生思考：將（ 3）中的對應關系f 改為：每一個圓都對應它的內接三角形；（4）中的對應關系 f改為：每一個學生都對應他的班級，那么對應f：BA是從集合 B 到集合 A 的映射嗎？例 2 在下圖中，圖（1），（ 2），（ 3），（ 4）用箭頭所標明的 A 中元素與 B 中元素的對應法則，是不是映射？是不是函數關系？A開平方BA求正弦B3130029 324202 245160013（1） 12ABA（ 2）B求平方乘以 21112 113242 24395 3

6、（ 4）（ 3）例 3. 畫圖表示集合 A 到集合 B 的對應（集合 A， B 各取 4 個元素）已知：（ 1） A1,2,3,4, B2,4,6,8 ，對應法則是“乘以2”；（2） A= x | x 0 ， B=R，對應法則是“求算術平方根”；（3） Ax | x0 , BR，對應法則是“求倒數”；（4） A| 00900, B x | x1 , 對應法則是“求余弦”例 4 在下圖中的映射中，A 中元素 600 的象是什么？ B 中元素2 的原象是什么？2A求正弦B3001245026002900321點撥 ：判定是否是映射主要看兩條： 一條是 A 集合中的元素都要有象， 但 B 中元素未必

7、要有原象；二條是 A 中元素與 B 中元素只能出現“一對一”或“多對一”的對應形式例 5. 已知函數f(x)=x 31+x2（1）求函數的定義域；（2）求 f （ 3）， f(2 ) 的值；3（ 3）當 a 0 時，求 f （ a） ,f(a 1) 的值 .例 6. 設一個矩形周長為80，其中一邊長為x，求它的面積關于 x 的函數的解析式，并寫出定義域 .解： 由題意知，另一邊長為80 2x ，且邊長為正數，所以0x 40.所以 S=80 2x2（ x） x（ x）x4040=02點撥 ：（ 1）如果 f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R .（ 2）如果 f(x)是分式，那么函數的定義域

8、是使分母不等于零的實數的集合.（ 3）如果 f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合 .（ 4）如果 f(x) 是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合 . （即求各集合的交集）（ 5）滿足實際問題有意義 .例 7. 下列函數中哪個與函數y=x 相等？（ 1） y=(x ) 2 ;（ 2） y=( 3 x3 ) ;（ 3） y=x2 ;（ 4） y= x2x例 8某種筆記本的單價是5 元，買 x(x1,2,3,4,5 ) 個筆記本需要y 元，試用三種表示法表示函數 yf ( x) 點撥 ：函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以

9、是直線、折線、離散的點等等；解析法：必須注明函數的定義域；圖象法：是否連線；列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征例 9某市郊空調公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：（1）乘坐汽車 5 公里以內，票價 2 元；（2） 5 公里以上，每增加 5 公里，票價增加 1 元（不足 5 公里按 5 公里計算），已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為 1 公里，如果沿途（包括起點站和終點站）設 20 個汽車站，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象分析：本例是一個實際問題，有具體的實際意義，根據實際情況公共汽車到站才能停車，所以行車里程只能取整數值點撥 ：分段函數的解析式不能寫成

10、幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況四【過關精練】一、選擇題1. 已知集合 M1,2,3, m， N4,7, n4 , n23n ， m, nN*，映射 f : y3x 1是從M到 N 的一個函數，則 mn 的值為（）A 2B 3C4D 52. M x | 0x 2, N y | 0y 3 給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N 的函數關系的有（）A.0 個B.1個C.2個D.3個yyyy322221111O1 2xO1 2xO12 xO1 2x3. 設函數 f ( x)1x2，x 1，1的值為（）2則 fx，f (2)x

11、 2 x1A 15B27C 8D 18161694. 若函數 yf ( x) 的定義域是 0,2，則函數 g ( x)f (2 x) 的定義域是（）x 1A 0,1B 0,1)C 0,1)(1,4D (0,1)5 設函數 f(x)對任意 x、y 滿足 f(x y)=f(x) f(y)，且 f(2)=4 ，則 f(1) 的值為（）1A 2B C 1D 226 已知函數 f(x 1)=x1，則函數 f(x)的解析式為（）A f(x)=x2B f(x)=x2 1(x 1)C f(x)=x2 2x(x 1)D f(x)=x2 2x2(x1)7 下列各組中，函數f(x)和 g(x)的圖象相同的是（）A

12、f(x)=x， g(x)=(x )2B f(x)=1， g(x)=x0Cf(x)=|x|， g(x)=x2D f(x)=|x|，g(x)=x, x(0,)x, x(,0)二、填空題x 2bx c( x 0)8. 已知函數 f ( x)2( x且 f ( 4)f (0) ， f ( 2)2 則0)方程 f xx 解的個數為9. 設函數 f ( x)x24x6, x0f (1) 的解集是x6, x0則不等式 f ( x)10. 已知函數xfxg x, 其中 f (x) 是 x 的正比例函數 , g( x) 是 x 的反比例函數，且三、解答題1.16, 1 8 , 則 x311. （ 1）若函數 yf ( x) 的定義域為1 ,2 ，求 f ( x 1) 的定義域；2（ 2）若函數f ( x21)的定義域為 2,1) ，求函數f ( x) 的定義域 .12. 已知函數 f (x) x24ax 2a 6( xR) .（1）若函數 f ( x) 的值域為 0， + ) 時的a 的值；（2）若函數 f ( x) 的值均為非負值，求函數g(a) 2 a a 3 的值域 .第8講參考答案一. 選擇題1B; 2 C; 3 A; 4 B; 5 A; 6 D; 7 C.二. 填