不可壓縮理想流體無旋運(yùn)動(dòng)

1、Chapter 7 理想不可壓縮流體無旋運(yùn)動(dòng)§引言一、不可壓縮理想流體無旋運(yùn)動(dòng)模型1）理想：粘性力慣性力的區(qū)域例如繞流問題中邊界層以外區(qū)域的流動(dòng)。不脫體繞流流動(dòng)在研究壓力場和速度場時(shí)可不計(jì)邊界層，近似看成理想流體繞流物體流動(dòng)。2）不可壓縮：液體，通常情況下。 氣體，低速繞流運(yùn)動(dòng)（流速聲速），例如飛機(jī)速度<100m/s時(shí)。 3）無旋運(yùn)動(dòng)：在以上近似下，有勢體力場中流體渦旋運(yùn)動(dòng)性質(zhì)具有保持性，即初始無旋則永遠(yuǎn)無旋。在流體從靜止開始的運(yùn)動(dòng)中（如浸沒在靜止流體中的小球膨脹引起的運(yùn)動(dòng)）和無窮遠(yuǎn)均勻來流繞流物體的運(yùn)動(dòng)等，流動(dòng)均無旋。此模型是對(duì)一類廣泛存在的流動(dòng)問題的理想近似。二、基本方程組

2、一般情況下要求解非線性方程組?；蜿P(guān)于速度場的求解已求解滿足一定邊界條件的Laplace方程問題。是否線性問題取決于邊界條件。在線性邊界條件下此模型已將原本非線性的求速度場的問題化為線性問題。并且由于是線性的，故滿足迭加原理，可由基本解迭加求得。例如若和均為無窮遠(yuǎn)均勻來流繞流某一固壁邊界C的流動(dòng)，即 ， 則均勻來流繞流該固壁邊界的流動(dòng)其速度勢為。反之，流動(dòng)可分解為和流動(dòng)的合成。§2速度勢函數(shù)和無旋運(yùn)動(dòng)的一般特性一、速度勢無旋運(yùn)動(dòng)可設(shè)，。速度勢的單值和多值問題單連通區(qū)域單值；復(fù)連通區(qū)域多值，相差的整數(shù)倍，其中是內(nèi)邊界上的速度環(huán)量。不可壓縮無旋流動(dòng)速度勢滿足：，因而是調(diào)和函數(shù)，具備調(diào)和函數(shù)

3、的一般性質(zhì)，包括： 在D無極值，在D無最大值，在D不能達(dá)到最小值； 動(dòng)能表達(dá)式單連通區(qū)域：雙連通區(qū)域： 由可得出以下結(jié)論*單連通區(qū)域若邊界上有則流體靜止，流體內(nèi)處處有； *單連通區(qū)域若邊界上有則流體靜止，流體內(nèi)處處有； *單連通區(qū)域若部分邊界上有，其余邊界上有，則流體靜止，全流場有。 開爾文最小能量原理：在單連通區(qū)域內(nèi)的不可壓縮流動(dòng)，如果給定邊界上流體的法向速度，則在所有可能的運(yùn)動(dòng)形式中，將以無旋流動(dòng)的總動(dòng)能為最小。i.e.有旋運(yùn)動(dòng)總動(dòng)能大于無旋運(yùn)動(dòng)總動(dòng)能。附Laplace方程解的唯一性 關(guān)于 Laplace方程的解，其一般形式，存在性和唯一性在數(shù)學(xué)上有一整套的理論，在以下條件下，該方程有唯一

4、解：單連通區(qū)域給定邊界上或，或給定部分邊界上的和其余邊界上的。證明：設(shè)同一邊界條件下有兩個(gè)解和，則滿足 由調(diào)和函數(shù)性質(zhì)知，即與僅相差一個(gè)常數(shù)，二者代表相同的流動(dòng)。有界雙連通區(qū)域：單連通域條件+給定內(nèi)邊界速度環(huán)量（或給定分隔面上的流量）例如兩柱殼間區(qū)域內(nèi)的旋轉(zhuǎn)流動(dòng)。無界雙連通區(qū)域：例如物體外流動(dòng)、點(diǎn)源的場等。設(shè)無窮遠(yuǎn)為的大球面，可將直接推廣過來。三、本章內(nèi)容：討論兩類不可壓縮理想流體的無旋流動(dòng)。§6、理想不可壓縮流體平面定常無旋流動(dòng)一、平面運(yùn)動(dòng)模型流動(dòng)參數(shù)沿三維空間的某一方向（取為軸）不變，并且速度矢量落在與該方向垂直的平面內(nèi)：。最簡單的模型：均勻來流繞流無限長柱體?？山瓶闯善矫媪鲃?dòng)

5、的實(shí)例：河水繞流橋墩，空氣繞流煙囪，機(jī)翼繞流等。在這些流動(dòng)中，物體的某一方向的尺度>>其它兩方向的尺度（細(xì)長物體），且物體垂直于該方向的截面大小、形狀變化很小，故被繞流的物體可近似看成是均勻截面的細(xì)長柱體。均勻截面的細(xì)長柱體的橫向繞流流動(dòng)，除柱體兩端外，在柱體周圍的大部分區(qū)域有 任一垂直于的平面上的流動(dòng)可表征除兩端以外的區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)。此模型使問題進(jìn)一步簡化，更易于求解，研究平面運(yùn)動(dòng)還具有重要的理論意義，通過它的研究可以對(duì)流動(dòng)的性質(zhì)有更多的了解，并積累處理問題的方法，所有這些都是處理復(fù)雜流動(dòng)問題所必需的。二、不可壓縮平面流動(dòng)的流函數(shù)1.不可壓縮流體平面流動(dòng)的Lagrange流函數(shù)，設(shè)

6、流動(dòng)在平面內(nèi)： 證明：若則可以表示為某一函數(shù)的全微分，設(shè)此函數(shù)為，則 于是有。若存在函數(shù)，速度分量可以表示為，則代入即可證明。函數(shù)被稱為流函數(shù)，此積分因是全微分的積分而與路徑無關(guān)，只取決于、點(diǎn)的位置，若取為參考點(diǎn)可設(shè)。流函數(shù)的物理意義：二維流動(dòng)流體體積通量的意義：通過平面上與連線的流體體積通量通過曲線沿平移單位距離時(shí)掃過的曲面上的流體體積通量。對(duì)不可壓縮流體，在無源或匯的區(qū)域此通量與連線形狀無關(guān)，只取決于與兩點(diǎn)的位置。設(shè)通量向右為正，代表線元向右的法向，通過的向右的流體體積通量I=通過沿兩坐標(biāo)軸的投影線元上的向右的流體體積通量II+III，即?？梢娛桥c兩點(diǎn)間任意連線上的“向右的”流體體積通量。

7、注： 證明：若沿某曲線，在該曲線上取線元，上有，即，即，可見該曲線是流線。若某曲線是流線，在該曲線上取線元，則有，于是該線元上流函數(shù)的增量，可見沿該曲線。畫圖從的物理意義上分析亦可證明上述定理（此時(shí)可表述為沿流線的曲線上的流體體積通量=0）。由還可知與流線處處正交。二維不可壓縮無旋流動(dòng)，即是調(diào)和函數(shù)。任意線元處的法向速度與的關(guān)系：，向右為正。極坐標(biāo)下有 ， 若取為流線法向線元，方向如圖，則，或。 矢量關(guān)系式：沿流線且垂直于等速度勢線，故流線與等速度勢線正交。例題：均勻流動(dòng)的流函數(shù)和勢函數(shù)，取原點(diǎn)為參考點(diǎn)，設(shè)。設(shè)有一均勻流動(dòng)沿方向，此流動(dòng)流函數(shù)另有一均勻流動(dòng)沿方向，此流動(dòng)流函數(shù)若空間均勻流動(dòng)，則

8、此流動(dòng)流函數(shù)（迭加原理，設(shè)此時(shí)無邊界）定義在單連通區(qū)域上的平面無旋不可壓縮流動(dòng)，是單值函數(shù)（可含一任意常數(shù)）；定義在復(fù)連通區(qū)域上的平面無旋不可壓縮流動(dòng)，可能是多值函數(shù)，其中為內(nèi)邊界上的流體體積通量。§7 復(fù)位勢及復(fù)速度一、預(yù)備知識(shí)復(fù)變函數(shù)的一些概念1、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù) ，是實(shí)函數(shù)，若函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可微則在內(nèi)解析。在內(nèi)解析的充要條件：和滿足柯西黎曼條件：，且和在內(nèi)連續(xù)可微。由柯西黎曼條件知解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為調(diào)和函數(shù)：。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、奇點(diǎn)，留數(shù)，留數(shù)定理內(nèi)不解析的點(diǎn)叫奇點(diǎn)，若在某個(gè)奇點(diǎn)的有限小鄰域內(nèi)（不包括該奇點(diǎn)）解析則該奇點(diǎn)是孤立奇點(diǎn)，例如：的點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)是復(fù)函數(shù)的孤立奇

9、點(diǎn)，代表圓周：，設(shè)足夠小，只包圍一個(gè)奇點(diǎn)。稱積分的值為函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，記為。與無關(guān)。函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)=在鄰域內(nèi)羅朗展開式中負(fù)一次冪的系數(shù)， 。留數(shù)計(jì)算法則：是的一階奇點(diǎn)則是的階奇點(diǎn)則留數(shù)定理：如果在閉曲線的內(nèi)部內(nèi)除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析（并且在上除外連續(xù)），那么 證明(定性)：柯西積分公式 在內(nèi)解析，上連續(xù)，則沿區(qū)域的邊界有 積分 為以為心任意半徑的圓周，則 時(shí) 時(shí) 在孤立奇點(diǎn)附近展開成羅朗級(jí)數(shù)， ，閉合曲線包圍孤立奇點(diǎn)。二、復(fù)勢和復(fù)速度在除孤立奇點(diǎn)（點(diǎn)渦，點(diǎn)源，點(diǎn)匯）以外的不可壓縮平面無旋運(yùn)動(dòng)流場中，函數(shù)和滿足柯西黎曼條件，并滿足連續(xù)可微條件，故二者可構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)，被稱為復(fù)

10、勢。重要關(guān)系式：1）復(fù)速度，引入復(fù)速度。因?yàn)?，所以共軛?fù)速度。2）。和分別代表閉曲線上的速度環(huán)量和流體體積通量。§8 定常理想不可壓縮平面無旋流動(dòng)問題的數(shù)學(xué)提法引入復(fù)勢后，可以利用復(fù)變函數(shù)這一有力的數(shù)學(xué)工具解決這一類流動(dòng)問題。以繞流流動(dòng)為例，設(shè)固體靜止，固壁邊界c，固壁外無界空間，求解速度場的問題轉(zhuǎn)化為：說明：1）復(fù)勢與平面無旋運(yùn)動(dòng)一一對(duì)應(yīng)（可含有一個(gè)任意常數(shù)，在復(fù)連通區(qū)域?yàn)槎嘀岛瘮?shù)），任一給定的解析函數(shù)都代表了一個(gè)不可壓縮平面無旋流動(dòng)，而該解析函數(shù)是否與某一特定流動(dòng)對(duì)應(yīng)則取決于它是否滿足該流動(dòng)的特定邊界條件。因而通過求求解流動(dòng)就是尋找滿足一定邊界條件的。滿足一定邊界條件的和具有唯一

11、性具有唯一性。2）復(fù)勢滿足迭加原理（須受邊界條件限制）：解析函數(shù)之和仍為解析函數(shù)，即復(fù)勢迭加所得到的復(fù)勢仍對(duì)應(yīng)一個(gè)平面無旋運(yùn)動(dòng)。布置Groupwork復(fù)習(xí)，三、基本流動(dòng)的復(fù)勢（反問題：簡單復(fù)勢對(duì)應(yīng)的流動(dòng)）1、線性函數(shù) ，為復(fù)常數(shù) ，說明該復(fù)勢對(duì)應(yīng)均勻直線流動(dòng)。故均勻流動(dòng)：或，其中和分別代表速度大小和方向。2、對(duì)數(shù)函數(shù)，為實(shí)數(shù)，是奇點(diǎn)將代入得，于是可知，可見流線是發(fā)自原點(diǎn)（奇點(diǎn)）的輻射線。則為點(diǎn)源激發(fā)的流動(dòng)，則為點(diǎn)匯激發(fā)的流動(dòng)。，閉合曲線代表包圍原點(diǎn)的圓周。故強(qiáng)度為的點(diǎn)源（匯）的流場：。3、對(duì)數(shù)函數(shù)，為實(shí)數(shù)，為奇點(diǎn)。，于是知，可見流線為同心圓周。，該速度代表一個(gè)軸對(duì)稱圓周運(yùn)動(dòng)，繞行方向取決于的正

12、負(fù)。上式也說明在處有點(diǎn)渦存在（軸為渦絲，強(qiáng)度為），也就是說該復(fù)勢對(duì)應(yīng)直線渦絲誘導(dǎo)的流動(dòng)或點(diǎn)渦誘導(dǎo)的平面流動(dòng)。故點(diǎn)渦的場復(fù)勢為。4、冪函數(shù) 為實(shí)數(shù)且（不代表有實(shí)際意義的流動(dòng)） ，； ，；零流線：對(duì)應(yīng)和（一般有，為整數(shù)）。若此二流線處是固壁邊界，則表示繞此角形固壁邊界的“繞角流動(dòng)”。設(shè)，處 ， 處 ，則流線圖如右側(cè)各圖所示。特例：代表凹角內(nèi)流動(dòng)。時(shí)，處，角點(diǎn)為駐點(diǎn)。特別當(dāng)，代表駐點(diǎn)附近的流動(dòng)或繞直角形邊界的流動(dòng)。，流線是一族雙曲線。代表均勻流動(dòng)表示繞平板前緣的流動(dòng)代表繞凸角的流動(dòng)。由表達(dá)式知此時(shí)有當(dāng)，這在實(shí)際不可能。實(shí)際上，由于粘性的存在，在凸角附近總發(fā)生流動(dòng)分離。O5、反比例函數(shù)，為常數(shù)。偶極子

13、：無限靠近的一對(duì)等強(qiáng)度點(diǎn)源和點(diǎn)匯。說明：（1）兩個(gè)解析函數(shù)的和仍為解析函數(shù)。在除去兩個(gè)孤立奇點(diǎn)以外的無界二維空間內(nèi)是解析函數(shù)，因而對(duì)應(yīng)該空間內(nèi)的某個(gè)不可壓縮平面無旋流動(dòng)；（2）滿足流動(dòng)的邊界條件：無窮遠(yuǎn)靜止；（3）兩奇點(diǎn)分別為強(qiáng)度為的點(diǎn)源和點(diǎn)匯。化簡：（上下同時(shí)對(duì)求導(dǎo)） （設(shè)偶極子強(qiáng)度） 可見反比例函數(shù)表示偶極子的場。流線圖：設(shè)，則流線方程為，即 ，可見流線族為與軸相切圓心在軸上的圓族。遠(yuǎn)場：。點(diǎn)源的場，相比之下偶極子場隨增加衰減更快。四、圓柱的繞流簡單流動(dòng)復(fù)勢迭加給出較復(fù)雜的流動(dòng)的復(fù)勢1、無環(huán)量的圓柱繞流（均勻來流繞流靜止圓柱）以流函數(shù)描述的控制方程組：。以復(fù)勢描述：討論均勻流動(dòng)與偶極子流動(dòng)

14、的迭加。均勻來流沿軸，速度，偶極子逆軸置于原點(diǎn)。 設(shè)。流線。零流線和如圖所示。若取則此可表示繞流靜止的圓柱體的流場，。當(dāng)時(shí) ie 無窮遠(yuǎn)處是均勻流動(dòng)，速度為（滿足無窮遠(yuǎn)邊界條件）。參閱北大書p43上的定性分析。 分析：1）速度在柱面上的分布： ，可見，柱面上速率按正弦分布。2）柱面上壓力分布Bernoulli eq.（略體力）：，由此得柱面上有。駐點(diǎn)處的動(dòng)壓=，因而常用表示的特征值。引入無量綱的壓力系數(shù)反映壓力的相對(duì)分布：。I 此處，上、下和前、后對(duì)稱分布，因而柱體不受阻力和升力。壓力分布圖說明：真實(shí)流動(dòng)，脫體現(xiàn)象、實(shí)驗(yàn)曲線，阻力。觀看圖片注：分支流線柱體在靜止流體中勻速移動(dòng)引起流體運(yùn)動(dòng)，流動(dòng)

15、復(fù)勢。（思考：由速度在不同參照系中的換算復(fù)勢在不同參照系中的換算：柱體參照系下的復(fù)勢+牽連速度對(duì)應(yīng)的均勻流動(dòng)的復(fù)勢=靜系（靜止流體）下的流動(dòng)復(fù)勢）2、有環(huán)量的圓柱繞流實(shí)驗(yàn)：北大p49圖7.1.11。圓柱體立于小車上，圓柱體可繞其軸線作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。此裝置置于風(fēng)洞中，當(dāng)柱體不轉(zhuǎn)，風(fēng)以吹來，此時(shí)柱和小車系統(tǒng)靜止不動(dòng)。當(dāng)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)再吹風(fēng)時(shí)，小車開始移動(dòng)沿或逆向，取決于轉(zhuǎn)動(dòng)方向。解釋：若不考慮粘性，流場同1，系統(tǒng)不可能運(yùn)動(dòng)，因而必須考慮粘性，粘性的存在使界面附近的氣體隨柱轉(zhuǎn)動(dòng)（）。粘性引起的氣體的圓形流線運(yùn)動(dòng)等價(jià)于點(diǎn)渦誘導(dǎo)的理想流體無旋流動(dòng)的流場，如同球面上均勻分布的電荷在球外激發(fā)的靜電場等價(jià)于所有電荷集中

16、于球心時(shí)球外空間的電場）。此時(shí)內(nèi)邊界上存在速度環(huán)量，設(shè)為。這是有環(huán)量的圓柱繞流問題。我們期待繞旋轉(zhuǎn)圓柱的流動(dòng)能產(chǎn)生使圓柱發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)的升力。復(fù)勢：繞流靜止圓柱的復(fù)勢（滿足無窮遠(yuǎn)邊界條件和物面為流線的邊界條件）+點(diǎn)渦的復(fù)勢（滿足無窮遠(yuǎn)邊界條件、物面為流線條件以及界面上速度環(huán)量=的條件） （柱體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)負(fù)的環(huán)量）分析：1、駐點(diǎn)： 即： 兩駐點(diǎn)一個(gè)在圓內(nèi)，一個(gè)在圓外，對(duì)應(yīng)流動(dòng)狀況如圖1所示，流場中只有一個(gè)駐點(diǎn)。在所形成的回線內(nèi)部，流體繞圓柱環(huán)流，總是不進(jìn)入主流。，：流動(dòng)狀況如圖2.，：兩駐點(diǎn)位置如圖3，流動(dòng)狀況如圖3?？梢?，一定時(shí)，隨減小流線的變化情況。2、升力定性分析，在柱體上方，環(huán)流引起的

17、速度與來流速度方向基本一致，故速度增大，而在下方正相反，ie環(huán)流導(dǎo)致速度分布不對(duì)稱（相對(duì)軸），從而破壞了壓力的對(duì)稱分布，于是產(chǎn)生了沿軸方向的升力。若反向則升力方向也變?yōu)槟孑S方向。定量計(jì)算升力：在單位長柱面上積分給出單位長柱體受力。Bernoulli eq.：，其中代表柱面上流體復(fù)速度，。 ， 。關(guān)于軸對(duì)稱故；。矢量關(guān)系：。注：仍與事實(shí)不符，實(shí)際流體粘性導(dǎo)致阻力存在。Magnus效應(yīng)：旋轉(zhuǎn)物體如乒乓球、排球等受升力，無粘性理論可解釋這一效應(yīng)。例一：點(diǎn)源和點(diǎn)渦迭置于平面上一點(diǎn)（水泵內(nèi)的流動(dòng)），求流動(dòng)復(fù)勢，流函數(shù)，速度。 ， ，六、平面運(yùn)動(dòng)中的像方法在由奇點(diǎn)（點(diǎn)源或點(diǎn)渦）產(chǎn)生的流動(dòng)中，加入固壁邊界條

18、件（物體），邊界就會(huì)對(duì)流動(dòng)產(chǎn)生干擾，改變流動(dòng)狀況。如右圖，在點(diǎn)源的場中放入平板，對(duì)于平板或圓這類簡單的邊界，我們有如下的方法求復(fù)勢，而于復(fù)雜的邊界，可先用保角變換的方法將其變成簡單邊界，然后再使用鏡象法。定義幾種不同形式的共軛運(yùn)算： e.g. ，奇點(diǎn)是。 e.g. ，奇點(diǎn)為。注意：和的奇點(diǎn)都是奇點(diǎn)的共軛，此結(jié)論普適。 普通的復(fù)共軛 。1、平面邊界的鏡像法e.g.：點(diǎn)渦和平板邊界，點(diǎn)渦（）位于右半平面（），求右半平面內(nèi)的流場。分析：假如在左半平面對(duì)稱地放置一個(gè)點(diǎn)渦，這樣一對(duì)渦產(chǎn)生的流動(dòng)既滿足了平板處的邊界條件，又未改變右半平面內(nèi)的奇點(diǎn)。點(diǎn)渦場：。點(diǎn)渦及其像的流場迭加即右半平面內(nèi)的流動(dòng)：。一般地有

19、如下定理：如果所有的奇點(diǎn)都位于右半平面內(nèi)，無固壁邊界時(shí)其復(fù)勢為，當(dāng)以作為固壁邊界后，在區(qū)域內(nèi)復(fù)勢為證明：在邊界上，故=實(shí)函數(shù)，即。的奇點(diǎn)在右半平面，的奇點(diǎn)在左半平面，故右半平面的奇點(diǎn)與的相同。綜合以上，定理得證。設(shè)奇點(diǎn)都在上半平面，以實(shí)軸為固壁邊界，則。（分別以點(diǎn)源和點(diǎn)渦為例說明）證明：此時(shí)邊界上故 故邊界上實(shí)函數(shù)，即。的奇點(diǎn)在上半平面，的奇點(diǎn)在下半平面。故上半平面的奇點(diǎn)與的相同，綜合以上，定理得證。像點(diǎn)與原奇點(diǎn)位置關(guān)于邊界對(duì)稱，強(qiáng)度共軛（源強(qiáng)度不變，渦強(qiáng)度反號(hào)）例：求偶極子相對(duì)某一直線壁的像。單個(gè)偶極子的流場上半平面流場2、Milne一Thomson圓定理圓柱邊界的像。內(nèi)容：如果為沒有任何固

20、體邊界并且在圓內(nèi)無任何奇點(diǎn)的平面流動(dòng)的復(fù)勢，在流場中引入圓（柱）邊界后，圓柱外的流動(dòng)復(fù)勢將為 ， 實(shí)例：無環(huán)量圓柱繞流 ，均勻來流關(guān)于圓邊界的像為位于圓心的偶極子證明：柱面上（圓邊界上），故仍有實(shí)函數(shù)，。 若為奇點(diǎn)則為奇點(diǎn)ie 為奇點(diǎn)。的鏡像點(diǎn)為 故奇點(diǎn)均在圓內(nèi)。為所求流動(dòng)復(fù)勢。Eg4：圓柱外的源的流場： 像在點(diǎn)，像在原點(diǎn)。Eg5：圓柱外的渦的場。 一一反佇點(diǎn)處的反向渦 一一原點(diǎn)處的同向渦 七、保角變換及其應(yīng)用1、保角變換及保角變換方法求復(fù)勢的基本思想：將平面固壁邊界或多角形區(qū)域研究外的流動(dòng)變換成圓邊界或平板邊界問題， 解析變換的性質(zhì)（單值函數(shù)）平面處某線元，對(duì)應(yīng)平面處線元，線元放大率：，其值

21、逐點(diǎn)而異，線元方向變化：，其值與線元的取向無關(guān)，即處沿不同方向的線元（例如和）變換到平面時(shí)轉(zhuǎn)過相同的角度變換是保角的（除點(diǎn)外）。例，角形區(qū)域如右圖的變換：，處變換不保角，直線變換到平面仍是直線。直線1：，變換到平面轉(zhuǎn)過角度；直線2：，變換到平面轉(zhuǎn)過角度；奇點(diǎn)變換到平面成為奇點(diǎn)。 直線：，成為與軸夾角為的直線。說明：(i) 若是解析函數(shù)，解析保證解析，反之亦然。(ii)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處復(fù)勢相等，即相等，線段與對(duì)應(yīng)，上上(iii)奇點(diǎn)的變換：(iv)平面的無窮遠(yuǎn)均勻來流，變換后的共軛復(fù)速度 , 2、保角變換應(yīng)用之一茹柯夫斯基變換 () ，為實(shí)常數(shù)。 例 平板繞流(i) 平面上的圓，即平面：（實(shí)數(shù)），對(duì)應(yīng)平面上的直線段，長；(ii) 平面平板（長），攻角為的均勻來流（）繞流該平板，設(shè)繞流平板速度環(huán)量（即繞平面內(nèi)對(duì)應(yīng)圓周環(huán)量）。平面均勻來流變換到平面對(duì)應(yīng)的無窮遠(yuǎn)邊界條件為：可見對(duì)應(yīng)平面來流攻角不變，速率減小一半。 （iii）庫塔條件 ，當(dāng)時(shí)即A點(diǎn)處。要使A點(diǎn)處速度有限必有（僅當(dāng)時(shí)無環(huán)量）是繞流時(shí)由于粘性而導(dǎo)致的流動(dòng)分離引起的環(huán)量，對(duì)于確定的來流及板長，值是唯一的。注意平板后緣是駐點(diǎn)。§3、定常二維繞流問題中物體所受的力問題的提出：小鳥扇動(dòng)翅膀（eg蜂鳥吸花