平拋運動的推論應用及拓展

1、平拋運動的推論、應用及拓展 在高中物理教材中，對于平拋運動問題的處理一般是利用運動的合成和分解的方法，但有一些問題按此法處理顯得繁瑣復雜，若用平拋運動的推論來分析，則顯得簡單明了，拓展推論可以快速解決一系列運動問題。 推論1：任意時刻的兩個分運動的速度與合運動的速度構成一個矢量直角三角形。 例1. 從空中同一點沿水平方向同時拋出兩個小球，它們的初速度大小分別為和，初速度方向相反，求經過多長時間兩小球速度之間的夾角為？ 解析：設兩小球拋出后經過時間t它們速度之間的夾角為，與豎直方向的夾角分別為和，對兩小球分別構建速度矢量直角三角形如圖1所示，依圖可得 又 由式得： 拓展：運用速度矢量直角三角形求

2、最值。 例2. 如圖2所示，河水流速，一只小機動船在靜水中運動的速度，現(xiàn)在它從A點開始渡河，要使渡河位移最短，船頭應指向何處行駛？ 解析：由于，機動船頭無論朝什么方向船都不可能垂直河岸過河，那么機動船頭朝向何方，船渡河位移才能最小呢？如圖2所示，船航行由船隨水的直線運動和船在靜水中的直線運動組成，故船的航速、水流速度和船在靜水中的速度構成一個矢量三角形。顯然當船的實際速度方向與以的末端為圓心、以大小為半徑的圓相切時，此時角最大，位移最短。故有： 所以船頭與河岸夾角為時渡河位移最小。 例3. 在足夠大的真空中，存在水平向右的勻強電場，若用絕緣細線將質量為m的帶電小球懸掛在電場中，靜止時細線與豎直

3、方向夾角。現(xiàn)將該小球從電場中的某點豎直向上拋出，拋出時的初速度大小為，如圖3所示。求小球在電場內運動過程中的最小速度為多少？ 解析：小球的運動由小球在初速度方向上做勻速直線運動和在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動組成，依題設情景分析可知，小球的速度是先減小后增大，其速度矢量三角形如圖4所示，其中，由圖可知，當小球的速度方向垂直加速度方向時小球速度最小。故有。 推論2：任意一段時間內兩個分運動的位移與合運動的位移構成一個矢量直角三角形。 例4. 如圖5所示，小球a、b分別以大小相等、方向相反的初速度從三角形斜面的頂點同時水平拋出，已知兩斜面的傾角分別為和，求小球a、b落到斜面上所用的時間

4、之比？（設三角形斜面足夠長） 解析：依推論作出此時的位移矢量直角三角形如圖6所示。 對有： 對有： 對兩式得： 由結果可知：時間之比與初速度的大小無關，只與斜面的傾角有關。 例5. 宇航員站在一星球表面上的某高度處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L，若拋出時初速度增大到兩倍，則拋出點與落地點之間距離為，已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G，求該星球的質量M。 解析：設第一次拋出小球，小球的水平位移為x，豎直位移為h，如圖7所示，構建位移矢量直角三角形有： 若拋出時初速度增大到2倍，重新構建位移矢量直角三角形如圖8有

5、： 由式解得 令星球上重力加速度為，由平拋運動的規(guī)律得 由萬有引力定律與牛頓第二定律得 由式得。 拓展：運用位移矢量三角形判斷向各個方向拋出物的位置。 例6. 如圖9所示，由樓上某點以同樣大小的速度向各個方向把若干個小球同時拋出，若不計空氣阻力，試分析在運動的任何時刻，在空中運動的所有小球都位于一個球面上。 解析：所有在空中的小球的運動都是由小球在初速度方向上做勻速直線運動和豎直方向上做自由落體運動組成，依題意對從不同方向拋出的小球構建位移矢量三角形，如圖10所示。所以經t秒后，各球由于自由落體都將下落，但同時又在各自的方向上運動了，即它們各自實際位置在同一球面上，如圖10所示，球心O位置在拋

6、出點A下面處，球的半徑。 推論3：從拋出點開始，任意時刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的兩倍。 平拋運動經過一段時間，其速度方向和位移方向是不相同的，如圖11所示，由推論1、推論2可得。所以。 例7. 如圖12所示，從傾角為的足夠長斜面上的A點，先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為，球落到斜面上瞬時速度方向與斜面夾角為，第二次初速度為，球落到斜面上瞬時速度方向與斜面夾角為，不計空氣阻力，若，則_（填空“”、“”或“”）。 解析：依題意據推論3有： 由式得： 故： 由此題結論可得：類似例7情形，落到斜面的瞬時速度的偏向角與初速度大小無關。 例8. 如圖13所示，在傾角為的斜面上A點，以初速度水平拋出一小球，小球落到斜面上的B點，不計空氣阻力，求小球落到B點的速度為多大？ 解析：設小球落到B點瞬時速度的偏向角為，由推論3可知，故： ，據推論1可得：， 所以。 拓展：由推論3可以得到以下結論：從拋出點開始，任意時刻速度的反向延長線與對應時刻的水平位移的交點為此水平位移的中點。 例9. 如圖14所示為一物體做平拋運動的圖像，此曲線上任一點P（x，y）的速度方向的反向延長線交于x軸上的A點，則A點的橫坐標為（ ） A.