南昌大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法期末考試試卷2011A卷答案

1、南昌大學(xué) 2011學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 試卷編號(hào)： 6031 (A)卷課程編號(hào)： H55020190 課程名稱： 數(shù)學(xué)物理方法 考試形式： 閉卷 適用班級(jí) 物理系07各專業(yè) 姓名： 學(xué)號(hào)： 班級(jí)： 學(xué)院： 專業(yè)： 考試日期： 題號(hào)一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分364024 100得分考生注意事項(xiàng)：1、本試卷共7頁(yè)，請(qǐng)查看試卷中是否有缺頁(yè)或破損。如有立即舉手報(bào)告以便更換。2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場(chǎng)。3、請(qǐng)仔細(xì)閱讀題前的說(shuō)明。一、填空題(每小題 3 分，共 36 分) 得分評(píng)閱人 1.復(fù)數(shù) 。2. -1/2 。3. 復(fù)數(shù)。4. 若解析函

2、數(shù)的虛部，則實(shí)部 。5. 在可展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)： 6. 函數(shù)在的奇點(diǎn)類型為 本性奇點(diǎn) ，其留數(shù)為 1/2 。7. 設(shè)為整數(shù),則 0 。8. 函數(shù) 的傅里葉變換為。9. 的拉普拉斯變換即。10. 數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的適定性是指_解的存在性，唯一性，穩(wěn)定性。11. 一根兩端(左端為坐標(biāo)原點(diǎn)而右端）固定的弦，用手在離弦左端長(zhǎng)為處把弦朝橫向撥開(kāi)距離，然后放手任其振動(dòng)。橫向位移的初始條件為。12. 判斷下面的說(shuō)法是否正確，正確的在題后的“（）”中打，錯(cuò)誤的打×。（1）若函數(shù)在點(diǎn)解析，則函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)。 （）（2）是二階線性齊次偏微分方程。 （×）（3）設(shè)為復(fù)數(shù)，則 （×）二、

3、求解題(每小題 10 分，共 40 分)得分評(píng)閱人 說(shuō)明：要求給出必要的文字說(shuō)明和演算過(guò)程。1. 用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分。解： 回路內(nèi)有兩個(gè)一階極點(diǎn) （2分）其留數(shù)為 （2分）。2. 用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分 。解： 設(shè)則 （2分） 于是， （2分）的零點(diǎn) 其中只有為單位圓內(nèi)一階極點(diǎn)（2分）， 其留數(shù)為 （2分） 由留數(shù)定理得 （2分）3. 解常微分方程初值問(wèn)題 (可使用拉普拉斯變換或其它任何方法)。解：對(duì)方程拉普拉斯變換得 （2分），于是 （2分）4. 試判斷偏微分方程類型并尋找自變量函數(shù)變換使方程能夠化為標(biāo)準(zhǔn)形（注意：不必寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形）。解：特征方程（2分），判別式故方程為雙曲型（2分）。特征方程

4、的解為 （和為任意常數(shù)）（4分）。所以，可化為標(biāo)準(zhǔn)形的自變量函數(shù)變換為 （2分）第 5 頁(yè) 共 5頁(yè)三、偏微分方程求解題 (共24 分)1. 求解波動(dòng)方程滿足初始條件 的定解問(wèn)題。 (本小題 10 分)解： 由達(dá)朗貝爾公式可得 2. (1) 已知矩形區(qū)域上的拉普拉斯方程試導(dǎo)出其一般解為 ，其中和是只與有關(guān)的系數(shù)。 (9分)(2) 利用(1)的結(jié)果求解泊松方程 提示：尋找泛定方程的一個(gè)特解使得經(jīng)變換后所得的泛定方程和第一組邊值都是齊次的。(5分)(1) 證明： 設(shè)有試探解，(1分) 代入泛定方程和齊次邊界條件 (1分)求解本征值問(wèn)題，得本征值本征函數(shù) (4分)再解的微分方程得 (2分)所以，一般解為 (1分) （2）解：特解 (1分) 變換使 (1分)由