二面角的平面角的四種求解策略

1、大小。注：o點(diǎn)在一個(gè)半平面上，用三垂線定理法。面角的平面角的四種基本求法及訓(xùn)練(1) 定義法一一在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角注：0點(diǎn)在棱上，用定義法。(2) 垂線法(三垂線定理法)一一利用三垂線定理作出平面角，通過解直角三角形求角的(3) 垂面法一一通過做二面角的棱的垂面，兩條交線所成的角即為平面角注：點(diǎn)0在二面角內(nèi)，用垂面法。圖5S，則二面A(4) 射影面積法一一若多邊形的面積是 S,它在一個(gè)平面上的射影圖形面積是 角二的大小為COS “ S - S例1如圖，四面體ABCD中，0是BD的中點(diǎn)，求二面角A-BC-D的余弦值.(三垂線定理

2、法)例3如圖在三棱錐S-ABC中，S從底面ABC, AB丄BC, DE垂直平分 SQ且分別交 AC、SC于 D E,又 SA例2 在60二面角Mk a N內(nèi)有一點(diǎn)P, P到平面M平面N的距離分別為1和2，求點(diǎn)P到直線a的距離。（垂面法）=AB BS =BC, 求以BD為棱，BDE與 BDC為面的二面角的度數(shù)。（定義法）CD例4如圖 ABC與 BCD所在平面垂直，且 AB =BC =BD,Z ABC =Z DBC =120，求二面角 A-BD-C的余弦值。（補(bǔ)棱法和射影面積法）例5.在四棱錐 P-ABCD中，ABCD為正方形，P從平面ABCD PA= AB= a，求平面 PBA與平面 PDC所成

3、二面角的大小。（補(bǔ)棱法和射影面積法）練習(xí)題1如圖，二面角a -l- B的大小是60 ,線段AB? a . B l , AB與I所成的角為30 .則 AB與平面B所成的角的正弦值是2.山坡與水平面成30角，坡面上有一條與坡角水平線成30角的直線小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了 100米，則此人行走的路程為 3 在一個(gè)二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離等于到另一個(gè)面的距離的2倍，則二面角的度數(shù)為 _4.在600的二面角的棱上有兩點(diǎn) A B, AC BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，已知:AB=6, AC=3 BD=4,貝U CD=。5若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離

4、分別為a和 2a，到棱的距離為 2a,則此二面角的度數(shù)6. 60的二面角-丨- 1內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到面的距離為2,點(diǎn)P到面1的距離為11,則點(diǎn)P到棱丨的距離為_D兀小兀7. 二面角-I -的面內(nèi)有一條直線 AB ,它與丨的夾角為一，與平面：的夾角為一，則二面角46：-I -的大小8. 在300的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，若它到另一個(gè)面的距離是10,則它到棱的距離是（）A 5 B 20 C9.在直二面角a -l- B中，Rt ABC在平面a內(nèi)，斜邊BC在棱I上，若AB與面B所成的角為600,則AC與平面B所成的角為() A 30B 45C 60D 12010.如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA丄

5、平面 ABC, PA=3,PB=PC=BC=6，求二面角 P-BC-A 的正弦值111. 如圖，平面ABCD丄平面ABEF, ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 AF=- AD=a, G是EF的中2點(diǎn)，(1)求證：AG丄平面BGC;( 2)求二面角B-AC-G的正弦值.12. 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，PA丄底面ABCD, M為PD的中點(diǎn)，PA=AB.(I )求直線BC與平面ACM所成角的正弦值；(II)求平面PAB與平面ACM所成銳二面角的余弦值.13. 女口圖，在四面體 ABCD中，AB丄平面 ACD, BC=BD=5, AC=4,CD=4、2 .(I )求該四

6、面體的體積；(n )求二面角A-BC-D大小的正弦值.作二面角的平面角的四種基本方法(1) 定義法 在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是面角的平面角。注：o點(diǎn)在棱上，用定義法。(2) 垂線法(三垂線定理法)一一利用三垂線定理作出平面角，通過解直角三角形求角的大小。注：o點(diǎn)在一個(gè)半平面上，用三垂線定理法。圖5S，則二面角-的大小為C(3) 垂面法一一通過做二面角的棱的垂面，兩條交線所成的角即為平面角。 注：點(diǎn)0在二面角內(nèi)，用垂面法。(4) 射影面積法若多邊形的面積是S,它在一個(gè)平面上的射影圖形面積是COS于S十S例1如圖PCL平面 ABC AB= BC=CA=

7、 PC,求二面角 B PA C的平面角的正切值。(三垂線定理法)解 / PC丄平面ABC 平面PACL平面ABC交線為 AC作BD丄AC于 D點(diǎn)，據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，BD丄平面PAG作DEI PA于E,連BE據(jù)三垂線定理，則 BE丄PA從而/ BED是二面角B PA C的平面角。設(shè)PC= a,依題意知三角形 ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形， D是AC的中點(diǎn)，且BD = / PG= CA=a,/ PCA=90 , / PAC= 45中.ED = AD* sn45 =- = a,在 Rt DEA-BD 23則在RtZXBED 中.tg/EED = = - = 76ED v2故二面角B-PA-C的平面角

8、的止切值為伍例2 在60二面角M a N內(nèi)有一點(diǎn)P , P到平面M平面N的距離分別為1和2,求點(diǎn)P到直線a的距離。（圖1 126）（垂面法）D 1-126分析 設(shè)PA PB分別為點(diǎn)P到平面M N的距離，過PA PB作平面a ,分別交 M N于AQBQ.PA1M a c M = PA1 a,同理，有 PB丄a, / PA n PB=P, a 丄面 PAQB于 Q又 AQ、BQ 平面 PAQB： AQ丄 a , BQL a. / AQB是二面角 M a N 的平面角。/ AQB=60 連PQ貝U PQ是P到a的距離，在平面圖形 PAQB中，有 / PAQ=Z PBQ=90 P、A、Q B四點(diǎn)共圓，

9、且 PQ是四邊形PAQB的外接圓的直徑 2尺在厶PAB中，t PA=1 , PB=2 /AB anZBPA = 2R = PQBPA= 180 -60 =120 ,由余弦定理得 AB= 1+ 4-2 X 1 X2cos120 = 7 由正弦定理： .E,例3如圖在三棱錐 S-ABC中，SA丄底面 ABC AB丄BC, DE垂直平分 SC 且分別交 AC、SC于D、又SA =AB, BS =BC, 求以BD為棱，BDE與 BDC為面的二面角的度數(shù)。 （定義法） 解： BS =BC，又DE垂直平分 SC BE丄SC, SC丄面BDE BD 丄 SC,又 SA丄面 ABC SA 丄 BD, BD丄面

10、 SAC BD丄DE且BD丄DC （定義法）則/ EDC就是所要求的平面角設(shè) SA =AB =a ，貝U BC =SB =2 a 且 AC =、. 3易證 SA3A DEC / CDE =Z SAC =60求二面角A-BD-C的余弦解：過A作AE丄CB的延長(zhǎng)線于 E, 連結(jié)DE,/面ABCL面BCD AE 丄面 BCD E點(diǎn)即為點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影 EBD ABD在面BCD內(nèi)的射影設(shè) AB =a貝U AE =DE =ABsin60 a AD = cos ABD =-4 sinS .ABD2.15.15 =又 BES.BDE 2a2COSTS.BDES ABD考慮到我們求的是二面角A-BD-E

11、 ,而二面角A-BD-C與A-BD-C互補(bǔ)二面角 A-BD-C的余弦值為。5例5.在四棱錐P-ABCD中, ABCD為正方形,成二面角的大小。AD _ PA【法一】（面積法）如圖 AD AB =PAD AB = AAD _ PBA于 APA丄平面 ABCD PA= AB= a，求平面同時(shí)，BC丄平面BPA于 B，故 PBA PCD在平面PBA上的射影，設(shè)平面 PBA與平面PDC所成二面角大小為 B ,則 cos 0 =“ 2 一 0 =45 SPCD2【法二】（補(bǔ)形化為定義法）如圖，將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體 ABCD-PQMN則PQL PA PD,于是/ APD是兩面所成二面角的平面角

12、。 在Rt PAD中, PA=AD則/ APD=45。 即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為 45Bl練習(xí)題1 .如圖，二面角a -l- B的大小是60 ，線段AB? aB l , AB與I所成的角為30 .則B例 4 如圖 ABC與 BCD所在平面垂直，且 AB =BC =BD,Z ABC =Z DBC =120 , 值。（補(bǔ)棱法和射影面積法）AB與平面B所成的角的正弦值是.32. 山坡與水平面成30角，坡面上有一條與坡角水平線成30角的直線小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了 100米，則此人行走的路程為400 米3. 在一個(gè)二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離等于到另一個(gè)面的

13、距離的2倍，則二面角的度數(shù)為 _4. 在600的二面角的棱上有兩點(diǎn)A B，AC BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，已知:AB=6, AC=3 BD=4,貝U CD 。 7cm5若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離分別為a和，到棱的距離為 2a,則此二面角的度數(shù)是。700 或 1656. 60：的二面角： -丨- 1內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到面的距離為2,點(diǎn)P到面1的距離為11,則點(diǎn)P到棱I 的距離為7. 二面角 二-I -2的面內(nèi)有一條直線-1-7的大小AB ,它與I的夾角為一，與平面4-的夾角為.，則二面角610,則它到棱的距離是（B ）A 5 B 20 C10.2 D 口29在直二

14、面角 a -I- B中，Rt ABC在平面 a內(nèi)，斜邊與平面B所成的角為（A ） A 300 B 45BC在棱I上，若AB與面B所成的角為600，則ACC 60D 12010.如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA丄平面 ABC,弦值逅3PA=3, PB=PC=BC=6，求 二面角 P-BC-A 的正8. 在300的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，若它到另一個(gè)面的距離是111. 如圖，平面ABCD丄平面ABEF, ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 AF=- AD=a, G是EF的中2點(diǎn)，（1）求證：AG丄平面BGC; （ 2）求二面角B-AC-G的正弦值.(1 )證明：/ G 是矩形 ABEF 的邊 EF 的中點(diǎn) / AG=BG=2、, 2 / AG+BGAB2 / AG 丄 BG又平面 ABCD丄平面 ABEF,平面 ABCDQ平面 ABEF=AB,且BC丄AB BC丄平面 ABEF,又/ AG?平面 ABEF,/ BC丄 AG： BCA BG=B. AG丄平面 BGC; sin / GHM”3k 2a GH=、3(2)解：作GM丄AB于M,貝U M為AB中點(diǎn)，M為G的射影，作GH丄AC于H,連接MH，則所求 角/ GHM / GM=a, M