第一部分 第一章 小專題 大智慧 階段質量檢測

1、(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分將答案填在題中的橫線上)1已知ABC中，a，b ，B60°，那么角A_.解析：由正弦定理得：，sinA，又a<b,A<B，A45°.答案：45°2在ABC中，已知(ac)(ac)b2bc，則A_.解析：a2c2b2bc，b2c2a2bc，cosA，A120°.答案：120°3(2011·上海高考)在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C.若CAB75°，CBA60°，則A，C兩點之間的距離是_千米解析：如圖所示，由CAB75

2、°，CBA60°，可得ACB180°75°60°45，則由正弦定理可得， 即得AC.答案：4在ABC中，A60°，b1，面積為，則_.解析：三角形ABC的面積為，即bcsinA.×1×c×sin60°，c4.a，.答案：5(2011·臨沂高二檢測)某人向正東方向走了x千米，他右轉150°，然后朝新方向走了3千米，結果他離出發(fā)點恰好千米，那么x的值是_千米解析：作出示意圖，如圖由題意得ABC30°，ABx千米，BC3千米，AC千米，由余弦定理得()2x2322

3、5;3×xcos30°，即x23x60.解得x2或x.答案：或26在ABC中，三邊長分別為a2，a，a2，最大角的正弦值為，則這個三角形的面積為_解析：三邊不等，最大角大于60°.設最大角為，故對的邊長為a2，sin，120°.由余弦定理得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a.解得a5.三邊長為3,5,7.S×3×5×sin120°.答案：7(2012·洛陽高二檢測)在ABC中，ba，B2A，則ABC為_三角形解析：由正弦定理知：sinBsinA，又B2A，sin2AsinA.2cosA

4、3;sinAsinA.cosA.A45°，B90°.故ABC為等腰直角三角形答案：等腰直角8在ABC中，已知b1，sinC，bcosCccosB2，則·_.解析：由余弦定理推論知cosC，cosB.bcosCccosB2，2，a2，即| |2.又b1，|1.sinC，0°<C<180°，cosC或cosC.·或·.答案：或9已知a，b，c為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m(，1)，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，則角B_.解析：mn，cosAsinA0，即tanA，A.又

5、acosBbcosAa·b·ccsinC，sinC1，C.B.答案：10(2011·北京高考)在ABC中，若b5，B，tanA2，則sinA_；a_.解析：因為在ABC中，tanA2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sinA，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案：211.如圖所示，在山底測得山頂仰角CAB45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1 000米至S點，又測得山頂仰角DSB75°，則山高BC為_米解析：由題可知，SAB45°30°15°，又SBD15°，ABS45

6、6;15°30°，AS1 000.由正弦定理可知，BS2 000sin15°，BDBS·sin75°2 000sin15°cos15°1 000sin30°500，且DC1 000sin30°500.BCDCDB1 000米答案：1 00012在ABC中，A60°，最大邊與最小邊是方程3x227x320的兩個實根，那么BC邊的長為_解析：由已知可設最大邊與最小邊分別為b，c ，則bc9，b·c.因為A60°，所以BC既不是最大邊也不是最小邊，所以BC2b2c22bccos60

7、°b2c2bc(bc)23bc813249，即BC7.答案：713(2012·江西師大附中月考)在ABC中，A60°，且角A的角平分線AD將BC分成兩段BD、DC，且BDDC21，若AD4，則C_.解析：因為AD是角A的角平分線，所以ACABCDDB12，設ACx，則AB2x.易知3SACDSABC，即3××4x×sin30°×2x2sin60°，解得x6，所以AB12.由余弦定理得BC6.又因為AC2BC2AB2，所以C.答案：14某人在C點測得塔AB在南偏西80°，仰角為45°，沿

8、南偏東40°方向前進10米到O，測得塔A仰角為30°，則塔高為_解析：畫出示意圖，如圖所示，CO10，OCD40°，BCD80°，ACB45°，AOB30°，AB平面BCO，令ABx，則BCx，BOx，在BCO中，由余弦定理得(x)2x21002x×10×cos(80°40°)，整理得x25x500，解得x10，x5(舍去)，所以塔高為10米答案：10米二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)在ABC中，a7，b8，cosC，求c及最

9、大角的余弦值解：由余弦定理得c2a2b22abcosC72822×7×8×9.c3.b>a>c，在ABC中，B最大cosB.16(本小題滿分14分)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，cosA，B60°，b.(1)求sinC的值；(2)求ABC的面積解：(1)角A，B，C為三角形內(nèi)角，且B60°，cosA.C120°A，sinA.sinCsin(120°A)cosAsinA.(2)由(1)知sinA，sinC.又B60°，b.由正弦定理，得aSABCabsinC××

10、15;.17(本小題滿分14分)(2011·遼寧高考)ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinBbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinBsinBcos2AsinA，即sinB(sin2Acos2A)sinA.故sinBsinA，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cosB.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cosB>0，故cosB，所以B45°.18(本小題滿分16分)某觀測站在城A南偏西20°方向的C處，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40&#

11、176;，在C處測得公路距C 31千米的B處有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到達D處，此時CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米可到達城A?解：如圖所示，設ACD，CDB.在CBD中，由余弦定理得cos，sin.而sinsin(60°)sincos60°sin60°cos··.在ACD中，AD15(千米)所以這人再走15千米就可到城A.19(本小題滿分16分)已知a、b、c分別是ABC中角A、B、C的對邊，且(sinBsinCsinA)(sinBsinCsinA)sinBsinC，邊b和c是關于x的方程x29x25cosA0的兩根(b>c)。(1)求角A的正弦值；(2)求邊a，b，c；(3)判斷ABC的形狀。解析：(1)由 (sinBsinCsinA)(sinBsinCsinA)sinBsinC得(bc)2a2bc，即b2c2a2bc.cosA，sinA.(2)b和c是方程x29x25cosA0的兩根，解之，得a2b2c22bccosA25162×20×9.a3.(3)由(2)易知b2a2c2ABC為直角三角形20(本小題滿分16分)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C所對的邊，且滿足2bcosA(ccosAacosC)(1)求角A的大小(2)若a2，c2，且b>c，求ABC