第五講：二次函數系數(對稱軸公式)應用

1、關于二次函數系數不等式問題關于二次函數系數不等式問題1、二次函數、二次函數y=x x2 2+2x-3+2x-3與與 x 軸的交點坐標是軸的交點坐標是 。 2、二次函數、二次函數y=x x2 2 +x+1+x+1 與與 x 軸的交點坐標是軸的交點坐標是 。 3、二次函數、二次函數y=4x x2 2+4x+1+4x+1與與x軸的交點坐標是軸的交點坐標是 。 用公式法解方程：用公式法解方程：（1 1）x x2 2+2x-3=0+2x-3=0（2 2）x x2 2+x+1=0+x+1=0（3 3）4x4x2 2+4x+1=0+4x+1=024212162xx1=1，x2=3bb2 24ac=24ac=

2、22 2-4-41 1(-3)=16(-3)=160 0解：解：b b2 24ac=14ac=12 24 41 11 10 0原方程無解原方程無解解：解：解解: :bb2 24ac=44ac=42 24 44 41=01=021420421xx(1(1，0)0)，( (3 3，0)0)（ ，0）21無無4、二次函數、二次函數y=x x2 22x2x8 8 與與x 軸有軸有 個交點。個交點。 5、二次函數、二次函數y= x x2 2+ x + 1+ x + 1與與x 軸有軸有 個交點。個交點。 6、二次函數、二次函數y= 4x4x2 2+1+4x +1+4x 與與x 軸有軸有 個交點。個交點。

3、021拋物線拋物線與與x軸軸交點個數的判定：交點個數的判定：(1)b2-4ac0 2個交點；個交點；(2)b2-4ac=0 1個交點；個交點； (3)b2-4ac0 0個交點個交點拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與x x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標x x1 1、x x2 2是是一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根。的根。重要結論：重要結論：a 0， c 0。a 0， c 0。a 0， c 0。a 0， c 0。b 0，b 0，b 0，b 0，yxOyxOyxOyxO二次函數二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示的圖像如圖所示:a 看

4、開口方向；看開口方向； c 看拋物線與看拋物線與y軸交點位置；軸交點位置；b 看對稱軸：看對稱軸：對稱軸在對稱軸在y軸左側，軸左側，a、b同號；對稱軸在同號；對稱軸在y軸右側，軸右側，a、b異號。異號。（左同右異）（左同右異）02ab02ab02ab02ab若對稱軸若對稱軸y y軸，則軸，則二次函數二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的圖象中）的圖象中a a、b b、c c的符號的符號判別：判別： OyxxOyxOyyOxyo oxyxo oyxOyxOa 看開口方向；看開口方向； c 看拋物線與看拋物線與y軸交點位置；軸交點位置；b 看對稱軸：看對稱軸：對稱軸在對稱

5、軸在y軸左側，軸左側，a、b同號；對稱軸在同號；對稱軸在y軸右側，軸右側，a、b異號。異號。（左同右異）（左同右異）b=0b=0。，得由02aba 0， b 0， c 0 = =(2004年年綿陽綿陽)二次函數二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖，則的圖像如圖，則二次函數二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的圖象中）的圖象中a a、b b、c c的符號的符號判別：判別：a 看開口方向；看開口方向； c 看拋物線與看拋物線與y軸交點位置；軸交點位置；b 看對稱軸：看對稱軸：對稱軸在對稱軸在y軸左側，軸左側，a、b同號；對稱軸在同號；對稱軸在y軸右側，軸右側，a、b異號

6、。異號。yxOb2-4ac 0若對稱軸是若對稱軸是y y軸，軸，則則b=0b=0。（左同右異）（左同右異）a 0， b 0， c 0 二次函數二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖，則的圖像如圖，則二次函數二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的圖象中）的圖象中a a、b b、c c的符號的符號判別：判別：a 看開口方向；看開口方向； c 看拋物線與看拋物線與y軸交點位置；軸交點位置；b 看對稱軸：看對稱軸：對稱軸在對稱軸在y軸左側，軸左側，a、b同號；對稱軸在同號；對稱軸在y軸右側，軸右側，a、b異號。異號。yxOb2-4ac 0= =若對稱軸是若對稱軸是y y軸，軸

7、，則則b=0b=0。（左同右異）（左同右異）二次函數二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖，則的圖像如圖，則a 0， b 0， c 0-11yxOab+c 0ab+c 0abc 0二次函數二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的圖象中）的圖象中a a、b b、c c的符號的符號判別：判別：a 看開口方向；看開口方向； c 看拋物線與看拋物線與y軸交點位置；軸交點位置；b 看對稱軸：看對稱軸：對稱軸在對稱軸在y軸左側，軸左側，a、b同號；對稱軸在同號；對稱軸在y軸右側，軸右側，a、b異號。異號。當當x=1，y=a+b+c當當x=1，y=ab+c若對稱軸是若對稱軸是y y軸

8、，軸，則則b=0b=0。（左同右異）（左同右異）yx31Oyx3-1Oyx-3-1O1、如圖、如圖1：拋物線：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是的對稱軸是 。2、如圖、如圖2：拋物線：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是的對稱軸是 。3、如圖、如圖3：拋物線：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是的對稱軸是 。圖圖1圖圖2圖圖3直線直線x=2直線直線x=1直線直線x=2AAPBPBA P B設設A(x1，0），），B (x2，0）是拋物線與）是拋物線與x軸的兩個交點，則軸的兩個交點，則拋物線的對稱軸為直線拋物線的對稱軸為直線221xxx結論：結論：4 4、二次函數、二次函數y=axy=ax2

9、2+bx+c+bx+c的圖象上有兩點的圖象上有兩點A(1A(1，3)3)和和B(7B(7，3)3)，則，則此拋物線的對稱軸是此拋物線的對稱軸是 。直線直線x=4x=4設設A(x1，ya），），B (x2，yb）是拋物線上的兩點，且）是拋物線上的兩點，且ya=yb，則，則拋物線的對稱軸為直線拋物線的對稱軸為直線221xxx推廣：推廣：已知拋物線已知拋物線y yx x2 2+bx+c+bx+c的部分圖象如圖所示，的部分圖象如圖所示，若若y0，則，則x的的取值范圍是取值范圍是 ；若若y0，則，則x的取值范圍是的取值范圍是 。1 1-3-3-1-1y yx xO Ox x2 2=3=32112x令令x

10、1=1221xxx拋物線的對稱軸為直線拋物線的對稱軸為直線解：解：3 3函數值的正、負性函數值的正、負性-確定圖象與確定圖象與x軸的交點坐標軸的交點坐標1 1x x3 3x x-1-1或或x x3 3設拋物線與設拋物線與x軸另一交點的坐標為（軸另一交點的坐標為（x2，0）已知拋物線已知拋物線y yx x2 2+bx+c+bx+c的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，當函數值當函數值y隨隨x的增大的增大而減小時，而減小時，x x的取值范圍是的取值范圍是_。x=1x=1x x1 1函數的增減性函數的增減性-確定對稱軸。確定對稱軸。已知二次函數已知二次函數y=x2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關于的部分

11、圖象如圖所示，則關于x的的 一元二次方程一元二次方程x2+2x+m=0解為解為 。Oyx31x1=3，x2=1x x2 2= =1 1221xxx拋物線的對稱軸為直線拋物線的對稱軸為直線2312x令令x1=3，設拋物線與，設拋物線與x軸另一交點的坐標為（軸另一交點的坐標為（x2，0）解：解：（3 3）4x4x2 2+4x+1=0+4x+1=0拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與x x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標x x1 1、x x2 2是是一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根。的根。重要結論：重要結論：拋物線拋物線y=ax2+bx+c與與

12、x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標x1、x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。的根。拋物線與拋物線與x軸兩個交點間的距離公式推導：軸兩個交點間的距離公式推導：22121xxxxaacbxx4221即在在x 軸上截得的線段長度是軸上截得的線段長度是 二次函數二次函數y=x2+2x 3 與與x軸的交點坐標是軸的交點坐標是 。4-3yxO1x1x2acxxabxx2121，22244aacbacab212214 xxxxaacb42(1(1，0)0)，( (3 3，0)0)413142422aacb已知拋物線已知拋物線y yx x2 2+bx+c+bx+cA. A. 1 1x x4

13、B. 4 B. 1 1x x3 3 C. xC. x1 1或或x x4 D. x4 D. x1 1或或x x3 3的部分圖象如圖所示，若的部分圖象如圖所示，若y0，則，則x的的取值范圍是（取值范圍是（ ）1-3-1yxO3B201 b+c,-3=c解解: :將（將（1,01,0）和（）和（0,0,3 3）代入拋物線）代入拋物線y=xy=x2 2+bx+c+bx+c中，則中，則得得x x1 11 1，x x2 23 322cb解得：y=x22x3令令y=0，則，則x22x3=0二次函數二次函數y=ax2+bx+c的圖象上有兩點的圖象上有兩點A(1，3)和和B(7，3)，則此，則此 拋物線的對稱軸是拋物線的對稱軸是 。xy17設設A(x1，ya），），B (x2，yb）是拋物線上的兩點，且）是拋物線上的兩點，且ya=yb，則，則拋物線的對稱軸為直線拋物線的對稱軸為直線221xxx推廣：推廣：直