信號與系統(tǒng)第二章1

1、1第二章第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析時域分析：對系統(tǒng)的分析與計算均以時間時域分析：對系統(tǒng)的分析與計算均以時間t t 為變量為變量優(yōu)點：直觀、物理概念清楚優(yōu)點：直觀、物理概念清楚缺點：對高階系統(tǒng)或復(fù)雜激勵計算復(fù)雜缺點：對高階系統(tǒng)或復(fù)雜激勵計算復(fù)雜第一節(jié)第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解一、微分方程（數(shù)學(xué)模型）的建立一、微分方程（數(shù)學(xué)模型）的建立 為建立線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，需找出描述其工為建立線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，需找出描述其工作特性的微分方程式。作特性的微分方程式。2圖所示電路寫出以圖所示電路寫出以u uL L為響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 tudtdCid

2、uLituRiiiiiLCtLLLRCRLs11u uC Ci ic cisu uLRCLi iL Lu uRi i R R tidtdtuLtudtdRtudtdCtudtdCtuRduLisLLLLLtLs1111223寫出圖所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型寫出圖所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 txtxtytetxtxtxtxtxtetx53232 ( )e t( )y t235( )x t( )xt( )x t( )xt4 對于任意一個單輸入對于任意一個單輸入單輸出的單輸出的LTILTI系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型的一般形式為模型的一般形式為( )y tLTI( )e t( )( )nna yt(1)1( )nn

3、ayt0( )a y t( )( )mmb et(1)1( )mmbet0( )b e t( )( )00 ( )( )nmijijija ytb et簡記為簡記為 tya1 teb 15用時域法求解連續(xù)系統(tǒng)的流程圖用時域法求解連續(xù)系統(tǒng)的流程圖( )( )( )hpy ty ty t( (含待定系數(shù)含待定系數(shù)) )系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)y y(t)(t)建立系統(tǒng)的微分方程建立系統(tǒng)的微分方程求特征根求特征根l li i , , 確定齊次解確定齊次解y yh h(t(t) )的形式的形式由由e e(t)(t)確定特解確定特解y yp p(t(t) )的的形式形式( (查表查表2 22)2)由初始條件確定

4、系數(shù)由初始條件確定系數(shù)二、微分方程的經(jīng)典解法二、微分方程的經(jīng)典解法6例例1 1 描述某描述某LTILTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為() 5 () 6 () e()y ty tytt求系統(tǒng)響應(yīng)求系統(tǒng)響應(yīng)2 560ll解： 特征方程 12 2 3ll特征根 ， 2312tthytc ec e齊次解 2-2 cossinpytPtQt查表，可設(shè)特解為pppppyyyyy 55cos55sin10cosPQtPQtt求、，將、代人原方程，整理后有 5510550PQPQ11PQ 00, 20,cos10yyttute已知 tuty7 cossin2 cos(t)4pyttt 2312 2 cos

5、4phtty tytytc ec et全解 12 02 cos24ycc代人初始條件 120232sin04ycc122 1cc tuteetytytyttph4cos22得解32823( )22 cos() t04tty teet齊次解齊次解特解特解自由響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 當(dāng)輸入信號是階躍函數(shù)或有始的周期當(dāng)輸入信號是階躍函數(shù)或有始的周期函數(shù)時，系統(tǒng)的全響應(yīng)也可分解為瞬態(tài)響函數(shù)時，系統(tǒng)的全響應(yīng)也可分解為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。9第二節(jié)第二節(jié) 關(guān)于系統(tǒng)在關(guān)于系統(tǒng)在t t0 0- -與與0 0+ +狀態(tài)的討論（難點）狀態(tài)的討論（難點）討論的前提討

6、論的前提( )()001) ( )( ) 0nmijijija ytb ett 2） t 0時時 e e(t)=0 3 3）求）求 t t 0 0時系統(tǒng)的響應(yīng)時系統(tǒng)的響應(yīng)y(y(t t) ) 一一. . 初始狀態(tài)與初始條件初始狀態(tài)與初始條件 初始狀態(tài)（第二類初始條件）初始狀態(tài)（第二類初始條件）0 0t te e (t t)加入加入0 0 0 0+ +e e (t t) 加入加入前瞬間前瞬間e(t t) 加入加入后瞬間后瞬間( )(0 )jy0,1,2,1jnL初始狀態(tài)反映歷史信息而與激勵無關(guān)初始狀態(tài)反映歷史信息而與激勵無關(guān) ( )(0 )jy初始條件（第一類初始條件）初始條件（第一類初始條件）

7、( )(0 )( )jye t由和共同決定( )( )00jyt:從可能發(fā)生跳變()()() (0 )jjjyyy+-令(0 )-(0 ) 跳 變 量V( )( )(0 )(0 )jjyy即10二二. . 初始條件初始條件( (即跳變量即跳變量) ) 的確定方法的確定方法 a. a. 對電路模型利用物理概念進行判斷對電路模型利用物理概念進行判斷t=0C1=1FuC1uC2C2=1/2F1212 (0 ) 1V (0 )0 (0 )(0 )(0 )uuuuu已知求( )( )( )0(0 )(0 )(0 )jjjyyy 求解微分方程時，一般限于范圍，應(yīng)當(dāng)利用作為初始條件，求齊次解的系數(shù)。因此，需

8、要從已知的初始狀態(tài)設(shè)法求得。 VuutudtdCticccc3200,2111b. b. d d匹配法（匹配法（ d d函數(shù)平衡法）函數(shù)平衡法）基本思路：基本思路：( )()00 ( )( ) 00nmijijija ytb ett（2 2）引入）引入d d(t)(t)后函數(shù)在跳變點的導(dǎo)數(shù)存在后函數(shù)在跳變點的導(dǎo)數(shù)存在 如果由于激勵信號的加入，在方程右端出現(xiàn)如果由于激勵信號的加入，在方程右端出現(xiàn)d d(t)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，則方程左端也相應(yīng)產(chǎn)生與之對應(yīng)的及其各階導(dǎo)數(shù)，則方程左端也相應(yīng)產(chǎn)生與之對應(yīng)的d d(t)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)項使之方程兩端平衡及其各階導(dǎo)數(shù)項使之方程兩端平衡 ，而左端沖激函數(shù)，

9、而左端沖激函數(shù)的產(chǎn)生意味著左端的產(chǎn)生意味著左端y y ( ( i i ) )(t)(t)中的某些項在中的某些項在t=0t=0處有跳變。處有跳變。對任意系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型普遍適用的方法對任意系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型普遍適用的方法 ttebtyamjjjniii010012 03020100331ytteytteytuteytetyty時時時求：例dd 0001yytute因此等式兩端無沖擊函數(shù)，時解 3009,3332ayybattautbutatautytbutatyttte有代入方程因此設(shè)：，方程右端含時ddddd13注意：匹配應(yīng)從微分方程的最高階項開始注意：匹配應(yīng)從微分方程的最高階項開始注意：注意：d

10、d匹配法不是求方程的解，匹配法不是求方程的解， 而僅僅求響應(yīng)而僅僅求響應(yīng)y y(t)及及其各階導(dǎo)數(shù)在其各階導(dǎo)數(shù)在t=0處的跳變量處的跳變量 ，在此在此u u(t)僅僅 用來表示在用來表示在t=0處有一個單位的跳變量。處有一個單位的跳變量。( )(0 )jfy發(fā)生跳變的條件：發(fā)生跳變的條件： 微分方程右端含微分方程右端含d d(t)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù) 900279,3333byycbattbutatcutbtatbutatytcutbtatyttte有代入方程因此設(shè)：，方程右端含時ddddddddd14 00:00102342yyyytttytyty求，已知：例dd 200,2005

11、,2,1034,24,1234 yayybycbaabcabatttautbutatcutbtatautytbutatytcutbtatydddddddd解：15 總結(jié)：用總結(jié)：用d d函數(shù)平衡法求響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)在激勵加人函數(shù)平衡法求響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)在激勵加人 時刻的跳變量時，應(yīng)注意以下幾點：時刻的跳變量時，應(yīng)注意以下幾點：（1 1）此方法只匹配）此方法只匹配d d(t)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，使方程兩邊及其各階導(dǎo)數(shù)，使方程兩邊d d(t)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)平衡。及其各階導(dǎo)數(shù)平衡。（2 2）此方法先使方程右邊）此方法先使方程右邊d d(t)(t)最高次導(dǎo)數(shù)項與方程最高次導(dǎo)數(shù)項與方程左邊左邊y (

12、 i )(t)的最高階次項得到平衡。的最高階次項得到平衡。 （3 3）當(dāng)平衡低階次）當(dāng)平衡低階次d d(t)(t)項時，若方程左邊同階次項時，若方程左邊同階次d d(t)(t)函函 數(shù)項的系數(shù)之和不能與右邊平衡時，則由方程左邊數(shù)項的系數(shù)之和不能與右邊平衡時，則由方程左邊y ( i )(t)的最高階次項來補償。的最高階次項來補償。 （4 4）平衡完成后，）平衡完成后， y ( i )(t)中所應(yīng)含有的中所應(yīng)含有的u(t)項的系數(shù)項的系數(shù)即為即為y ( i )(t)在激勵加人時刻的跳變量在激勵加人時刻的跳變量。16第三節(jié)第三節(jié) 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)一、一、 零輸入響應(yīng)零輸入

13、響應(yīng) y yzizi(t(t) )1( )intzixiiytc elll 均為單實根時均為單實根時( )( )( )(0 )(0 )(0 )jjjziziyyy即初始條件即初始條件=初始狀態(tài)，沒有跳變初始狀態(tài)，沒有跳變對應(yīng)齊次方程：對應(yīng)齊次方程：定義：沒有外加激勵信號的作用，僅由初始狀態(tài)所定義：沒有外加激勵信號的作用，僅由初始狀態(tài)所 引起的響應(yīng)。引起的響應(yīng)。由特征根決定：由特征根決定： 10niiziia yt17二、二、 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)對應(yīng)非齊次方程：對應(yīng)非齊次方程：( )( )( )zshpytytytll 均為單實根時均為單實根時( )( )( )( )( )(0 )0 (0 )

14、(0 ) (0 )(0 )jjjzszszsjjzszsyyyyyV1( )intsipic eytl跳變量跳變量定義：系統(tǒng)的初始狀態(tài)為定義：系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0 0，僅由輸入信號，僅由輸入信號e e( (t t) )所所 引起的響應(yīng)。引起的響應(yīng)。解由解由y yh h(t(t) )和和 y yp p(t(t) )組成：組成： 00nmijizsjija ytb et18三、三、 全響應(yīng)全響應(yīng) y y（t t）對應(yīng)非齊次方程對應(yīng)非齊次方程( )( )( )hpy tytyt( )ziy t1( )intipic eytl11( )iinnttxisipiic ec eytll( )zsyt( )(

15、 )( )(0 )(0 )(0 )jjjyyyV自由響應(yīng)強迫響應(yīng)解由解由y yh h( (t t) )和和 y yp p( (t t) )組成：組成：( )( )00 ( )( )nmijijija ytb et19 ( )( )( )zizsy tytyt(2)若 i ( )( )( ) 0,1,2,iizizsytytytin則，L t0 則 對 也成立 0000 00 iiizizsiiizizsyyyyyy有注意：注意：( )( )( )(0 )(00 )(jjjzizizityyyy(1)零輸入響應(yīng)( )( )( )( )( )(0 )0 (0 )(0 ) (0 )()( )0jjjjjzszszszzzsssyyyyyyt零狀態(tài)響應(yīng)V20例例3：某：某LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為在求在求y yzszs