電磁場(chǎng)和電磁波課后習(xí)題集與答案五章習(xí)題集解答

1、 五章習(xí)題解答5.1 真空中直線長(zhǎng)電流的磁場(chǎng)中有一等邊三角形回路，如題5.1圖所示，求三角形回路內(nèi)的磁通。解 根據(jù)安培環(huán)路定理，得到長(zhǎng)直導(dǎo)線的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)題 5.1 圖穿過(guò)三角形回路面積的磁通為由題5.1圖可知，故得到5.2 通過(guò)電流密度為的均勻電流的長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體中有一平行的圓柱形空腔，如題5.2圖所示。計(jì)算各部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度，并證明腔內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的。解 將空腔中視為同時(shí)存在和的兩種電流密度，這樣可將原來(lái)的電流分布分解為兩個(gè)均勻的電流分布：一個(gè)電流密度為、均勻分布在半徑為的圓柱內(nèi)，另一個(gè)電流密度為、均勻分布在半徑為的圓柱內(nèi)。由安培環(huán)路定律，分別求出兩個(gè)均勻分布電流的磁場(chǎng)，然后進(jìn)行疊加即可得到

2、圓柱內(nèi)外的磁場(chǎng)。題5.2圖由安培環(huán)路定律，可得到電流密度為、均勻分布在半徑為的圓柱內(nèi)的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 電流密度為、均勻分布在半徑為的圓柱內(nèi)的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為這里和分別是點(diǎn)和到場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量。將和疊加，可得到空間各區(qū)域的磁場(chǎng)為 圓柱外： 圓柱內(nèi)的空腔外： 空腔內(nèi)： 式中是點(diǎn)和到點(diǎn)的位置矢量。由此可見(jiàn)，空腔內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的。5.3 下面的矢量函數(shù)中哪些可能是磁場(chǎng)？如果是，求其源變量。(1) （圓柱坐標(biāo)）(2) (3) (4) （球坐標(biāo)系）解 根據(jù)恒定磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，滿足的矢量函數(shù)才可能是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，否則，不是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量。若是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，則可由求出源分布。（1）在圓柱坐標(biāo)中 該矢量不是磁場(chǎng)的

3、場(chǎng)矢量。 （2） 該矢量是磁場(chǎng)的矢量，其源分布為 （3） 該矢量是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，其源分布為 （4） 在球坐標(biāo)系中 該矢量是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，其源分布為5.4 由矢量位的表示式證明磁感應(yīng)強(qiáng)度的積分公式并證明解: 5.5 有一電流分布，求矢量位和磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 由于電流只有分量，且僅為的函數(shù)，故也只有分量，且僅為的函數(shù)，即。在圓柱坐標(biāo)系中，由滿足的一維微分方程和邊界條件，即可求解出，然后由可求出。記和的矢量位分別為和。由于在時(shí)電流為零，所以 （） （）由此可解得和滿足的邊界條件為 時(shí)，為有限值 時(shí)，由條件、，有 ，由此可解得 ，故 （） （）式中常數(shù)由參考點(diǎn)確定，若令時(shí)，則有。題5.6圖 空間的磁感應(yīng)

4、強(qiáng)度為 （） （）5.6 如題5.6圖所示，邊長(zhǎng)分別為和、載有電流的小矩形回路。（1）求遠(yuǎn)處的任一點(diǎn)的矢量位，并證明它可以寫(xiě)成 。 其中；（2）由求磁感應(yīng)強(qiáng)度，并證明可以寫(xiě)成 式中場(chǎng)點(diǎn)對(duì)小電流回路所張的立體角。解 （1）電流回路的矢量位為 式中： 根據(jù)矢量積分公式，有 而 所以 對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)，所以，故（2）由于 故 又由于 故 5.7 半徑為磁介質(zhì)球，具有磁化強(qiáng)度為其中和為常數(shù)，求磁化電流和等效磁荷。 解 磁介質(zhì)球內(nèi)的磁化電流體密度為 等效磁荷體密度為 磁介質(zhì)球表面的磁化電流面密度為題5.8圖等效磁荷面密度為 5.8 如題5.8所示圖，無(wú)限長(zhǎng)直線電流垂直于磁導(dǎo)率分別為和的兩種磁介質(zhì)的分界面，試求

5、：（1）兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度和；（2）磁化電流分布。解 （1）由安培環(huán)路定理，可得 所以得到 （2）磁介質(zhì)在的磁化強(qiáng)度 題5.9圖則磁化電流體密度 在處，具有奇異性，所以在磁介質(zhì)中處存在磁化線電流。以軸為中心、為半徑作一個(gè)圓形回路，由安培環(huán)路定理，有 故得到 在磁介質(zhì)的表面上，磁化電流面密度為5.9 已知一個(gè)平面電流回路在真空中產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為，若此平面電流回路位于磁導(dǎo)率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界平面上，試求兩種磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度和。解 由于是平面電流回路，當(dāng)其位于兩種均勻磁介質(zhì)的分界平面上時(shí)，分界面上的磁場(chǎng)只有法向分量，根據(jù)邊界條件，有。在分界面兩側(cè)作一個(gè)小矩形回路，分別就真空和存在

6、介質(zhì)兩種不同情況，應(yīng)用安培環(huán)路定律即可導(dǎo)出、與的關(guān)系。在分界面兩側(cè)，作一個(gè)尺寸為的小矩形回路，如題5.9圖所示。根據(jù)安培環(huán)路定律，有 （1）因垂直于分界面，所以積分式中。這里為與小矩形回路交鏈的電流。對(duì)平面電流回路兩側(cè)為真空的情況，則有 （2）由于和是分界面上任意兩點(diǎn)，由式（1）和（2）可得到 即 于是得到 故有 5.10 證明：在不同介質(zhì)分界面上矢量位的切向分量是連續(xù)的。解 由得題5.10圖媒質(zhì)媒質(zhì) （1）在媒質(zhì)分界面上任取一點(diǎn)，圍繞點(diǎn)任作一個(gè)跨越分界面的狹小矩形回路，其長(zhǎng)為、寬為，如題5.10圖所示。將式（1）應(yīng)用于回路上，并令趨于零，得到由于為有限值，上式右端等于零，所以 由于矢量平行于

7、分界面，故有5.11 一根極細(xì)的圓鐵桿和一個(gè)很薄的圓鐵盤(pán)樣品放在磁場(chǎng)中，并使它們的軸與平行，（鐵的磁導(dǎo)率為）。求兩樣品內(nèi)的和；若已知、，求兩樣品內(nèi)的磁化強(qiáng)度。解 對(duì)于極細(xì)的圓鐵桿樣品，根據(jù)邊界條件，有對(duì)于很薄的圓鐵盤(pán)樣品，根據(jù)邊界條件，有512 如題5.12圖所示，一環(huán)形螺線管的平均半徑cm，其圓形截面的半徑cm，鉄芯的相對(duì)磁導(dǎo)率，環(huán)上繞匝線圈，通過(guò)電流。（1）計(jì)算螺旋管的電感；（2）在鉄芯上開(kāi)一個(gè)的空氣隙，再計(jì)算電感。（假設(shè)開(kāi)口后鉄芯的不變）（3）求空氣隙和鉄芯內(nèi)的磁場(chǎng)能量的比值。 題5.12圖解 （1）由于，可認(rèn)為圓形截面上的磁場(chǎng)是均勻的，且等于截面的中心處的磁場(chǎng)。由安培環(huán)路定律，可得螺旋

8、管內(nèi)的磁場(chǎng)為 與螺線管鉸鏈的磁鏈為 故螺線管的電感為（2）當(dāng)鐵芯上開(kāi)有小空氣隙時(shí)，由于可隙很小，可忽略邊緣效應(yīng)，則在空氣隙與鉄芯的分界面上，磁場(chǎng)只有法向分量。根據(jù)邊界條件，有，但空氣隙中的磁場(chǎng)強(qiáng)度與鐵芯中的磁場(chǎng)強(qiáng)度不同。根據(jù)安培環(huán)路定律，有又由于、及，于是可得 所以螺線管得磁鏈為 故螺線管得電感為 （3）空氣隙中的磁場(chǎng)能量為 鉄芯中的磁場(chǎng)能量為 故 5.13 證明：?jiǎn)卧丫€圈勵(lì)磁下磁路的自感量為，為磁路的磁阻，故激勵(lì)下，電感量為。磁路中單匝激勵(lì)下的磁場(chǎng)儲(chǔ)能，則激勵(lì)下的。解 在單匝線圈勵(lì)磁下，設(shè)線圈中的電流為，有。則在激勵(lì)下，磁路的磁通為 故電感量為 在單匝線圈勵(lì)磁下，。在激勵(lì)下，磁路的磁能為題5

9、.14圖5.14 如題5.14圖所示，兩個(gè)長(zhǎng)的矩形線圈，放置在同一平面上，長(zhǎng)度分別為和，寬度分別為和，兩線圈最近的邊相距為，兩線圈中分別載有電流和。設(shè)，且兩線圈都只有一匝，略去端部效應(yīng)。證明：兩線圈的互感是解 由于，因此可近似認(rèn)為線圈中的電流在線圈的回路中產(chǎn)生的磁場(chǎng)與兩根無(wú)限長(zhǎng)的平行直線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)相同。線圈中的電流在線圈的回路中產(chǎn)生的磁場(chǎng)為與線圈交鏈的磁通為故兩線圈間的互感為 5.15 長(zhǎng)直導(dǎo)線附近有一矩形回路，回路與導(dǎo)線不共面，如題5.15圖()所示。證明：直導(dǎo)線與矩形回路間的互感是題5.15圖()題5.15圖()解 設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為，則其產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 由題5.15圖()可知，與矩形回路交鏈的磁通為其中 故直導(dǎo)線與矩形回路間的互感為 題