-模n剩余類環(huán)

1、 2/8/2022 13:22 第四章第四章 環(huán)與域環(huán)與域 4 4 模模n n剩余類環(huán)剩余類環(huán) 2/8/2022 13:22定義定義1（同余）整數(shù)（同余）整數(shù)a關(guān)于模正整數(shù)關(guān)于模正整數(shù)m同余于同余于整數(shù)整數(shù)b，是指，是指 m ab, 并寫并寫ab (mod m). 整數(shù)模整數(shù)模m同余類共有同余類共有m個，他們分別為個，他們分別為mk+0, mk+1, mk+2,mk+(m-1); kz，每，每一個算一類，每一類都可以選一個代表元，一個算一類，每一類都可以選一個代表元，一般選這一類中的最小的非負整數(shù)。于是一般選這一類中的最小的非負整數(shù)。于是稱稱0,1,2,m-1為標(biāo)準(zhǔn)完全剩余系。為標(biāo)準(zhǔn)完全剩余系

2、。 2/8/2022 13:22定義定義2：模模 m 的剩余類環(huán)模的剩余類環(huán)模 m的剩余類，規(guī)定的剩余類，規(guī)定 R中的加法和乘法如下：中的加法和乘法如下： 如何證明如何證明 R 是一個環(huán)？：首先證明加法和乘法的定義是與是一個環(huán)？：首先證明加法和乘法的定義是與代表元的選擇無關(guān)。封閉性是顯然的。然后證明代表元的選擇無關(guān)。封閉性是顯然的。然后證明R關(guān)于加法關(guān)于加法是一個是一個Abel群，關(guān)于乘法是一個（含幺，可交換）半群。然群，關(guān)于乘法是一個（含幺，可交換）半群。然后證明分配律成立后證明分配律成立 aba ba bab 2/8/2022 13:22 , 0maZa amZ( ,)1a m 定理定理1

3、 1 設(shè)設(shè), ,則則為為的零因子的零因子(1)(1)(2)(2) amZ為為的可逆元的可逆元( ,)1a m amZ (0)mbZ 0a bab|m ab( ,)1a m |mb 0b ( ,)1a m 證：證：(1)(1)若若為為的零因子的零因子, ,則存在則存在, ,使得使得, ,故故. .若若, ,則則, ,所以所以, ,矛盾矛盾. .于是于是. . ( ,)1a md 11,aa d mm d 1111|m mam dam a 11 0mam a10m a反之反之, ,如果如果, , 設(shè)設(shè), ,則則, ,所以所以, ,但但, ,于是于是是零因子是零因子. . 2/8/2022 13:2

4、2 amZ(2)(2)若若為為的可逆元的可逆元,則則 ,mbZ 1.a bab |1m ab cZ , ,即即于是于是,1abcm ()1abc m , ,使得使得, ,也就是也就是( ,)1.a m ，所以，所以( ,)1a m ,x yZ 反之反之, , 如果如果, ,則則.1staxmy 1a xax , ,因此因此, , a, ,故故可逆可逆. .剩余類環(huán)中非零元不是可逆元就是零因子剩余類環(huán)中非零元不是可逆元就是零因子. 2/8/2022 13:2212Z2,3,4,6,8,9,101,5,7,11111111,55,77,1111解解 (1) (1) (2) (2) 直接計算可知直接

5、計算可知, ,相應(yīng)的逆元為相應(yīng)的逆元為全部零因子全部零因子:全部可逆元全部可逆元:(3) (3) 全部子環(huán)全部子環(huán):(0),(1),(2), (3),(4), (6)(4) (4) 各子環(huán)特征各子環(huán)特征:(0)1,char (1)12,char (2)6,char (3)4,char (4)3,char (6)2.char 2/8/2022 13:22mZm 0a bab|m ab|m a|m b 0, 0,ab或或者者,mab 為無零因子環(huán)為無零因子環(huán)為素數(shù)為素數(shù). .為素數(shù)，若為素數(shù)，若，則，則，或者或者，即，即若若不是素數(shù)，則不是素數(shù)，則證證：設(shè)：設(shè)mm| ,| ,m a m b 0,

6、0,ab即即 0,a bab 但但mZ為無零因子環(huán)為無零因子環(huán). .mZ為有零因子環(huán)為有零因子環(huán). . 2/8/2022 13:22mZm為域為域為素數(shù)為素數(shù).（有限無零因子環(huán)是除環(huán)）（有限無零因子環(huán)是除環(huán)） 2/8/2022 13:22例例2 Z5是域，是域，Z6不是域不是域.定理定理3 設(shè)設(shè)m,n是兩個正整數(shù)是兩個正整數(shù),則則ZmZn當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n m證：令證：令mnmxxxZmZnnm故特別有：有，從而對任意的整數(shù)即元，之下單位元的象是單位為其一同態(tài)滿射，則在且并設(shè).0m011ZZ, 1 , 0,1, 1 , 0nm1 2/8/2022 13:22定理定理4 除去零乘環(huán)外，在同構(gòu)意義下，循環(huán)環(huán)有且除去零乘環(huán)外，在同構(gòu)意義下，循環(huán)環(huán)有且只有整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán)只有整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán).注：整數(shù)環(huán)及其所有非零子環(huán)雖然作為加群他們彼注：整數(shù)環(huán)及其所有非零子環(huán)雖然作為加群他們彼此同構(gòu)，但是作為環(huán)來說，它們彼此并不同構(gòu)此同構(gòu)，但是作為環(huán)來說，它們彼此并