數(shù)學(xué)分析九到十五章習(xí)題課ppt課件

1、一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、定積分的定義、定積分的定義的的取取法法均均無無關(guān)關(guān)。及及該該極極限限與與iT iiiiTbaxxfdxxf)()(lim )(10| 第九章第九章 定積分定積分 定積分是個(gè)數(shù)，與被積函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的定義無關(guān)；定積分是個(gè)數(shù)，與被積函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的定義無關(guān)；與積分變量記號(hào)的選擇無關(guān)。與積分變量記號(hào)的選擇無關(guān)。 badxxf)( badttf)( baduuf)(求出求出及特殊的點(diǎn)集及特殊的點(diǎn)集取特殊的分割取特殊的分割, )1(iT iiiTbaxfdxxf)(lim )(0| 殊殊點(diǎn)點(diǎn)。取取左左端端點(diǎn)點(diǎn)、右右端端點(diǎn)點(diǎn)或或特特等等分分，通通常常對對inba ,（2

2、） 利用牛頓利用牛頓-萊布尼茲公式。萊布尼茲公式。babaxFaFbFdxxf| )()()()(2 2、定積分的計(jì)算、定積分的計(jì)算在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方法求出其值：法求出其值：3 3、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義面積的代數(shù)和。面積的代數(shù)和。4 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)線性、線性、 關(guān)于積分區(qū)間的可加性、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、估值不等式、估值不等式、積分第一、第二中值定理。積分第一、第二中值定理。5 5、定積分與不定積分的聯(lián)系、定積分與不定積分的聯(lián)系（1 1變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；保號(hào)性、保號(hào)性、),()

3、(xfdttfdxdxa )()()()(xaxafxbxbf )()()(xbxadttfdxd（2 2牛牛- -萊公式。萊公式。（3 3可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函數(shù)可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。不一定可積。因?yàn)橐驗(yàn)椤昂械谝活愰g斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù)，含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù)，而而“含有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都可積。含有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都可積。所以可積函數(shù)不一定有原函數(shù)。 0 , 01 , 10 ,1sin)(22xxxxxxf且且 0 , 01 , 10 ,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且且無界，從而不可積，無界，從而不可

4、積，在在11)( xf),(11)(xfxf的原函數(shù)是的原函數(shù)是，在在但但 即說明有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。6 6、可積條件、可積條件必要條件必要條件 若函數(shù)若函數(shù)f在在a,b上可積，則上可積，則f在在a,b上必定有界。上必定有界。 充要條件充要條件1） 函數(shù)函數(shù)f在在a,b可積當(dāng)且僅當(dāng)：可積當(dāng)且僅當(dāng)： ，使，使分割分割T , 0 . Tiix, 0T分分割割、 使得屬于使得屬于T的所有小區(qū)間中，的所有小區(qū)間中， 充要條件充要條件2） 函數(shù)函數(shù)f在在a,b可積當(dāng)且僅當(dāng)：可積當(dāng)且僅當(dāng)： 對應(yīng)于振幅對應(yīng)于振幅 的那些小區(qū)間的那些小區(qū)間 的總長的總長. kkx kk 7 7、可積函數(shù)類、可積函數(shù)類1

5、、在、在a,b上連續(xù)的函數(shù)在上連續(xù)的函數(shù)在a,b可積?？煞e。2、在、在a,b上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在 a,b上可積。上可積。 3、在、在 a,b上單調(diào)的有界函數(shù)在上單調(diào)的有界函數(shù)在a,b上可積。上可積。 （允許有無限多個(gè)間斷點(diǎn)）（允許有無限多個(gè)間斷點(diǎn)） 但并非可積函數(shù)只有這但并非可積函數(shù)只有這3類。如：黎曼函數(shù)類。如：黎曼函數(shù)不屬于這不屬于這3類的任何一類，但它是可積的。類的任何一類，但它是可積的。 在a,b上函數(shù)的間斷點(diǎn)形成收斂的數(shù)列，則函數(shù)在a,b可積。8 8、利用不定積分計(jì)算定積分、利用不定積分計(jì)算定積分（1 1線性；線性；恒等變形；恒等變形； 換元；

6、換元； 分部積分；分部積分；一些特殊類型函數(shù)的積分。一些特殊類型函數(shù)的積分。（2 2與不定積分法的差別與不定積分法的差別 （3 3利用對稱性、周期性及幾何意義。利用對稱性、周期性及幾何意義。牛牛- -萊公式萊公式 積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)求出后不需回代。求出后不需回代。（4） 開偶次方時(shí)，要帶絕對值。開偶次方時(shí)，要帶絕對值。9 9、雜記、雜記（1定積分可用于計(jì)算某類特殊數(shù)列的極限。定積分可用于計(jì)算某類特殊數(shù)列的極限。（2） 對對D(x)和和R(x) 的可積問題多一些關(guān)注。的可積問題多一些關(guān)注。例例1 1解解.2sin120 dxx求求 2022c

7、ossin2cossin dxxxxx原原式式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 二、典型例題二、典型例題 20cossin dxxx例例2設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求求 10)2(dxxfx.解解 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 例例3 3.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函數(shù)是偶函數(shù),dxxx,1min2220 原原式式 2110

8、2122dxxdxx. 2ln232 例例4)1(21(lim32232232nnnnnnnn 求求解解)1)1()12()11(1lim22222 nnnnnn原原式式)1)(1lim21 ninnin.32)1(102 dxx 該極限可以看作函數(shù)該極限可以看作函數(shù)f(x)=x2-1在在0，1區(qū)間作區(qū)間作n等分且取右端點(diǎn)時(shí)的黎曼和的極限，等分且取右端點(diǎn)時(shí)的黎曼和的極限， 由于由于f(x)=x2-1在在0，1連續(xù)，從而可積，故上述連續(xù)，從而可積，故上述極限等于極限等于例例5證證01lim 10 dxxxnn證證明明連連續(xù)續(xù)，它它們們在在10,)(,11)(nxxgxxf 第第一一中中值值定定理

9、理，不不變變號(hào)號(hào)，由由推推廣廣的的積積分分，在在10)(xgdxxdxxxnn 1010n111I ,1111n , 10 ,110nIn . 0lim nnI故故證畢。證畢。證證, 1)(2)(0 dttfxxFx)(2)(xfxF 又又)(xF在在1 , 0上上單單調(diào)調(diào)增增加加，,)(1 ,0CxF 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF在在1 , 0上至少有一個(gè)解；上至少有一個(gè)解；令令,01)0( F且且, 0 所以所以0)( xF在在1 , 0上至多有一個(gè)解；上至多有一個(gè)解；所所以以0)( xF即即原原方方程程在在 1 , 0上上恰恰有有一一個(gè)個(gè)解解

10、.證證畢畢P229.4(9)P229.4(9).|ln| 1 eedxx求求解解 原原式式 eexdxxdx11lnln1 eeeedxxxxxdxxxxx11111|ln1|ln11.22e 1 1、微元法的理論依據(jù)、微元法的理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定定積積分分的的微微分分的的分分就就是是這這表表明明連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的定定積積于于是是即即的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是則則它它的的變變上上限限積積分分上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第第10章章是是非非常常困困難難的的。通通常常要要驗(yàn)驗(yàn)證證)()( xo

11、xxfU 一一般般來來說說不不是是唯唯一一的的。中中的的且且)()()( xfxoxxfU 也也不不是是唯唯一一的的。中中的的所所以以)( )( xfdxxfUba 5 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA| )(|xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab上曲線減下曲線對上曲線減下曲線對x積分。積分。yxOcdAx=f(y)（圖（圖5）x=g(y) dcdyygyfA)()(右曲線減左曲線對右曲線減左曲線對y積分。積分。一般解題步驟：一般解題步驟：（1畫草圖

12、，定結(jié)構(gòu)；畫草圖，定結(jié)構(gòu)；（2解必要的交點(diǎn)，定積分限；解必要的交點(diǎn)，定積分限；（3選擇適當(dāng)公式，求出面積定積分）。選擇適當(dāng)公式，求出面積定積分）。注意：答案永遠(yuǎn)為正。注意：答案永遠(yuǎn)為正。如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù) dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()

13、(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形(2) 體積體積xdxx xyodxxfVbax2)( dyyVdcy2)( xyo)(yx cddxxxfVbay)(2 dyyyVdcx)(2 xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA.sin)(320 ),(03 drVrr 所所成成立立體體的的體體積積為為：繞繞極極軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)由由)( rr ） ） (3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)

14、數(shù)弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為22dydxds C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長弧長 drrs )()(22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)ydsdS 2 二、典型例題二、典型例題例例1 1.3;2;1)cos1()sin(000及及表表面面積積旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積軸軸軸軸所所圍圍圖圖形形繞繞它它的的一一拱拱與與它它的的一一拱拱的的弧弧長長軸軸所所圍圍成成的的面面積積它它的的一一拱拱與與求求擺擺線線已已知知xxxtayttax a 2a )

15、(xy解解.10A設(shè)面積為設(shè)面積為 aydxA 20 20)cos1()cos1(dttata.32a .20L設(shè)設(shè)弧弧長長為為 2022)()(dtyxL.8a 2022sin)cos1(dttata.,30VS 體體積積為為設(shè)設(shè)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的表表面面積積為為 aydsS 202 2022sin)cos1()cos1(2dttatata.3642a dxyVax220 2022)sin()cos1(ttadta.532a 例例2所圍圖形的面積。所圍圖形的面積。求求0,22 yxyyx 3 , 03, 0022yxyxyyx解解.29)()2(302 dyyyyA例例 2 2 求求以以半半徑

16、徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓直直徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積. 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 例例 3 3 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長長. 證證設(shè)設(shè)正正弦弦線線的的弧弧長長為為1s dxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)設(shè)橢橢圓圓的的

17、周周長長為為2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對稱性知根據(jù)橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12第第11章章一、兩類反常積分的概念一、兩類反常積分的概念 adxxf)( uaudxxf)(lim badxxf)( buaudxxf)(lim badxxf )(lim0 dxxf)( adxxf)( adxxf)(當(dāng)當(dāng) adxxf)(和和 adxxf)(都都收收斂斂時(shí)時(shí)， a為任意常數(shù)為任意常數(shù),就就稱稱 dxxf)(收斂收斂； 如果如果a,b都是瑕點(diǎn)，則定義都

18、是瑕點(diǎn)，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(， c為為(a,b)內(nèi)任一實(shí)數(shù)。內(nèi)任一實(shí)數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，才稱左端瑕積分收斂。當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，才稱左端瑕積分收斂。二、計(jì)算方法二、計(jì)算方法求正常積分求正常積分+求極限；求極限；)0( axdxap 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，收收斂斂；當(dāng)當(dāng)11pp bapaxdx)( 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，收收斂斂；當(dāng)當(dāng)110pp三、兩類反常積分的判斂方法三、兩類反常積分的判斂方法1、Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 收收斂斂 )(adxxf有有, 021GuuaG .)(21 uudxxf有有),(, 0, 021 aauu

19、.)(21 uudxxf 是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)）收收斂斂（adxxfba )(2、比較法則、比較法則 baadxxfdxxf的的斂斂散散性性，和和用用于于判判別別| )(| )(|通常取通常取p-積分為比較對象，且常用極限形式。積分為比較對象，且常用極限形式。3、Dirichelet判別法和判別法和Abel判別法判別法 用于判別兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)的反常積分的斂散性。用于判別兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)的反常積分的斂散性。:)0(cos sin adxxxdxxxapap的斂散性的斂散性和和時(shí)，發(fā)散。時(shí)，發(fā)散。時(shí)，條件收斂；時(shí)，條件收斂；時(shí)，絕對收斂；時(shí)，絕對收斂；0101 ppp四、絕對收斂與條件收斂四、絕對收斂與條件

20、收斂定積分：定積分：可積，可積，在在可積可積在在,|,bafbaf無窮積分：無窮積分：. )( | )(|收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf瑕積分：瑕積分：. )( | )(|收收斂斂收收斂斂 babadxxfdxxf可可積積，在在可可積積在在,|,2bafbaf. )( | )(|2收斂收斂收斂收斂 aadxxfdxxf. | )(| )(2收斂收斂收斂收斂 babadxxfdxxf. )( )(2收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf例例1 證明：證明：a是瑕點(diǎn)時(shí)是瑕點(diǎn)時(shí). | )(| )(2收斂收斂收斂收斂 babadxxfdxxf證：證：, 01| )(|2)(1| )(|22 x

21、fxfxf)(121| )(| 2xfxf . | )(| )(2收斂收斂收斂收斂故：故： babadxxfdxxf反之不然。反之不然。發(fā)發(fā)散散。收收斂斂，但但dxxdxxdxx 10210101)1(|1|反例：反例：. )( )(2收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf舉例說明舉例說明解：解：收收斂斂，）（dxxx 1sin 1dxxxdxxx 1212sinsin ）（但但dxxx 122cos1發(fā)散！發(fā)散！收斂，收斂，）（dxx 121 2發(fā)發(fā)散散，但但dxx 11 例例2 判斷下列反常積分的斂散性，若收斂，判斷下列反常積分的斂散性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂。指出是絕對收斂還

22、是條件收斂。 0 1dxxex、收斂，且絕對收斂。收斂，且絕對收斂。 , 0lim2xxxex. 1于于若若按按定定義義，可可求求得得收收斂斂 102 2xxdx、收收斂斂，且且絕絕對對收收斂斂。 , 11lim20 xxxx 0)1(sin 3xxdxx、,1)1(1|)1(sin| 2/3xxxxxx 故絕對收斂。故絕對收斂。 2ln)1( 4xxdx、發(fā)散（按定義），發(fā)散（按定義），而而xxxxxxln1,ln1ln)1(12 故原積分發(fā)散。故原積分發(fā)散。 注意注意x=0不是瑕點(diǎn)。不是瑕點(diǎn)。 )0( sin 60 pdxxxp、解解 1 ,10 , 01p 1,coslim sinlim

23、100pppxxxxpxpx不不是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)，是是時(shí)時(shí)，故故當(dāng)當(dāng)010 xp是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)。是是時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)01 xp時(shí)時(shí)，）當(dāng)當(dāng)（101 p同同斂斂態(tài)態(tài)，與與dxxxdxxxpp 10sin sin從而條件收斂。從而條件收斂。僅為無窮積分，僅為無窮積分，時(shí)時(shí)，）當(dāng)當(dāng)（12 pdxxxdxxxdxxxppp 1100sin sin sin21II ,2I對對ppxxx1|sin| 絕對收斂；絕對收斂；故故2I,1I對對, 1sinlim10 ppxxxx發(fā)發(fā)散散；時(shí)時(shí)，即即故故當(dāng)當(dāng)12, 11Ipp 絕絕對對收收斂斂；時(shí)時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)121, 11Ipp 綜上，綜上，時(shí)時(shí)，條條件件收收斂斂；10 p

24、時(shí)，絕對收斂；時(shí)，絕對收斂；21 p時(shí)，發(fā)散。時(shí)，發(fā)散。2 pP276.5(4)dxxxxdxxxxdxxxxeeeeee lnsin)ln(lnlnsin)ln(lnlnsin)ln(ln0lnlnlnlim , 2|sin|洛洛必必達(dá)達(dá) xxxdxxuee, 0)(ln)lnln1(1)lnlnln(2eexxxxxx 當(dāng)當(dāng),lnlnlneexxx 單單調(diào)調(diào)遞遞減減，當(dāng)當(dāng)由由Dirichelet判別法，原積分收斂。判別法，原積分收斂。第第12章章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù) nnnuuuuu3211nns lim存在存在. . niinnuuuus

25、121收斂收斂 1nnu有有, 0, 0 pNmN .|21 pmmmuuu收收斂斂正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu有有界界。ns 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂于收斂于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),11,1 0qqaqaqnn 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,1 11ppnnp 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)條條件件收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)絕絕對對收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0,10,1 1)1(1pppnnpn 11cos , sinnpnpnnxnnx時(shí)，絕對收斂；時(shí)，絕對收斂；當(dāng)當(dāng)1 p,0時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散 p.,10條條件件收收斂斂時(shí)時(shí)，收收斂斂當(dāng)當(dāng) p相同。相同。斂散性與斂散性與dxnnxp 1sin收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：.

26、 0lim . 11 nnnnuu 收收斂斂.0lim 1發(fā)發(fā)散散 nnnnuu,)(, . 2 dcsdvcuvsunnnn 3. 級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)無關(guān)，但收斂的級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)無關(guān)，但收斂的和一般會(huì)有影響。和一般會(huì)有影響。4 . 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后仍收斂，且和不變即有結(jié)收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后仍收斂，且和不變即有結(jié)合律）；合律）；5. 絕對收斂級(jí)數(shù)的任意重排級(jí)數(shù)仍絕對收斂，且絕對收斂級(jí)數(shù)的任意重排級(jí)數(shù)仍絕對收斂，且和不變即有交換律）。和不變即有交換律）。6. 6. 收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的和必為發(fā)散級(jí)數(shù)。收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的和必為發(fā)散級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1、比較法、比較

27、法un為有理表達(dá)式時(shí)）；為有理表達(dá)式時(shí)）；2、比式法、比式法un含含n!時(shí)）；時(shí)）；3、根式法、根式法un含含n次方時(shí)）；次方時(shí)）；4、積分法（、積分法（ ）；）；斂散性易判別時(shí)斂散性易判別時(shí)當(dāng)當(dāng) adxxf)(5、拉貝法（、拉貝法（ ）；）；時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1lim1 nnnuu )1()1(111nnnnnnuu 或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余 項(xiàng)項(xiàng)nr的的絕絕對對值值1 nnur. .)0( nu其其中

28、中交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法這是這是Dirichelet判別法的特殊情形。判別法的特殊情形。一般項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法一般項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1、Abel判別法，判別法，2、Dirichelet判別法。判別法。斂。斂。則，再考慮是否條件收則，再考慮是否條件收收斂則為絕對收斂，否收斂則為絕對收斂，否斂），斂），的斂散性（正項(xiàng)級(jí)數(shù)判的斂散性（正項(xiàng)級(jí)數(shù)判一般先考慮一般先考慮 | nu 用比值或根值判別法判定的非絕對收用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級(jí)數(shù)一定發(fā)散。斂級(jí)數(shù)一定發(fā)散。, , . 2BvAunn絕絕對對收收斂斂于于絕絕對對收收斂斂于于若若 則它們的乘積按任意順序所得的級(jí)數(shù)也絕對則它們的乘積按任意順序所得的

29、級(jí)數(shù)也絕對收斂于收斂于AB. . 111svsunnnn也也絕絕對對收收斂斂于于，則則其其重重排排級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂于于設(shè)設(shè) 絕對收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)絕對收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 條件收斂的級(jí)數(shù)，可以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)條件收斂的級(jí)數(shù)，可以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)定的方式收斂或發(fā)散。定的方式收斂或發(fā)散。發(fā)發(fā)收收;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 e, 1lim1 nnn, 01lim nnu原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散;23cos)2(12 nnnn解解,2

30、23cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收斂收斂 nnn根據(jù)比較判別法，根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna , 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)收斂；,1110時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)發(fā)散；,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,)11()2ln(1 nnnn原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 1

31、2)1(4)4(nnn解解,252)1(4nnnnu 收斂。收斂。nnnuu1lim 或或nnnnn)1(422)1(4lim11 , 165 收斂。收斂。 1102)1(2)1( )2(nnnnn解解 |1nnuunnnn22)1(10110 10)1(21nn .21絕對收斂。絕對收斂。.2)!2(lim2nnn 求求例例2解解 22)!2( nn考察：考察： nnuu1222)!2(2)!22()1(nnnn 122)22)(12( nnn, 0收斂，收斂， 2)!2( 2nn. 02)!2(lim2 nnn從而從而第第13章章,| )()(|, 0 )1( xfxfIxNnNn都都有有

32、若若等價(jià)于下列等價(jià)于下列3條之一：條之一：. 0| )()(|suplim )3( xfxfnIxn好用！好用！.| )()(|, 0 )2( xfxfIxNnmNmn都都有有一致收斂。一致收斂。但在但在不一致收斂，不一致收斂，在在)1(, )1 , 1( aaaxn典型例題：典型例題：)( )(xfxfnI)( )(xfxfnI的常用判定法：的常用判定法：. 0| )()(|suplim )1( xfxfnIxn,| )()(|, 0 )2(000000 xfxfIxNnNn有有上上不不連連續(xù)續(xù)。在在上上連連續(xù)續(xù)，但但在在IxfIxfnn)()(, )3( ).()(1xsxukk一致收斂于

33、一致收斂于 ,),( )( )1(Dxx sxsn 有有, 0, 0 )2(DxpNmN .| )()()(|21 xuxuxupmmm. 0| )()(|suplim )3( xsxsnDxn等價(jià)于下列等價(jià)于下列3條之一：條之一：典型例題：典型例題：一致收斂。一致收斂。但在但在不一致收斂，不一致收斂，在在)1(, )1 , 1( aaaxn一一致致收收斂斂的的判判別別法法： 1)(kkxu（1優(yōu)級(jí)數(shù)判別法優(yōu)級(jí)數(shù)判別法（2Abel判別法判別法（3Dirichelet判別法判別法)()(1xsxukk不不一一致致收收斂斂于于 的常用判定法：的常用判定法：, 0 )( 1xun）（D, )( )(

34、 2xsxsn）（D上上不不連連續(xù)續(xù)。在在上上連連續(xù)續(xù)，但但在在IxsIxunn)( )(, )3( 一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 則則（1）上上也也連連續(xù)續(xù)，且且也也在在則則其其極極限限函函數(shù)數(shù)Ixf)( （2）連續(xù)，連續(xù)，在在且且Ixfnn)(, )( )(xfxfnI)( )(xfxfnI（3）.)(lim)(limdxxfdxxfnbannnba 收收斂斂，在在0)(xxfn連續(xù)，且連續(xù)，且在在Ixfnn)(, 上上一一致致收收斂斂，則則在在Ixfn)( ).(lim) )(lim( xfxfnnnn 一致收

35、斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)則則上上一一致致收收斂斂在在,)(1Dxunn (1)(2), 0 )(xunD,)(1一致收斂一致收斂在在baxunn 連續(xù)，連續(xù)，在在且且,)(,baxunn 且且連連續(xù)續(xù)在在則則,)()(1baxuxsnn .)()( babanndxxudxxu（3）收斂，收斂，在在0 )(xxun 連續(xù)，且連續(xù)，且在在 )(,Ixunn 上上一一致致收收斂斂，則則在在Ixun )(. )() )( xfxfnn例例1是是否否一一致致收收斂斂？，在在)1(,0 12 aaxnnnn解解nnannxnn22 | 收斂收斂而而 2nann)1lim(1 auunn

36、n由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，原級(jí)數(shù)一致收斂。由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，原級(jí)數(shù)一致收斂。例例2解解不不一一致致收收斂斂。在在發(fā)發(fā)散散，證證明明：左左連連續(xù)續(xù)，在在),()(, 0)()(,ccxucucxxunnnn 使使若若, 0 ,),()(一一致致收收斂斂在在ccxun 有有則則),(, 0, 0 ccxpNnN .| )()()(|21 xuxuxupnnn的極限，的極限，上式兩邊取上式兩邊取 cx的的左左連連續(xù)續(xù)性性，有有在在則則由由cxxun )(.| )()()(|21 cucucupnnn收收斂斂，故故 )(cun矛盾！矛盾！解解,)(nnxxs 且且得和函數(shù)：得和函數(shù)：因?yàn)樵摷?jí)數(shù)每一項(xiàng)都在因?yàn)樵摷?jí)

37、數(shù)每一項(xiàng)都在0,1是連續(xù)的，是連續(xù)的， . 1, 1, 10, 0)(lim)(xxxsxsnn.1)(處間斷處間斷在在和函數(shù)和函數(shù) xxs例例3 3 考察函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)考察函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx的一致收斂性的一致收斂性故不一致收斂。故不一致收斂。第第14章章一、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域一、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域形形如如nnnxxa)(00 的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xnnnxa 0定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 說明冪級(jí)數(shù)存在收斂半徑。說明冪級(jí)數(shù)存在收斂半徑。收斂半徑的求法：收斂半徑的求法：

38、（1根式法，根式法，（2比式法，比式法，定定理理 2 2 如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;這個(gè)方法不適合求缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂半徑。這個(gè)方法不適合求缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂半徑。 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂問題。項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂問題。二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，（2和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，（3在收斂區(qū)間可

39、以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，在收斂區(qū)間可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，且所得冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變。且所得冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變。三、冪級(jí)數(shù)的求和三、冪級(jí)數(shù)的求和通常采用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，并利用一些已知通常采用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，并利用一些已知級(jí)數(shù)的和函數(shù)。級(jí)數(shù)的和函數(shù)。. 1| ,11 0 xxxnn常常用用注意這個(gè)級(jí)數(shù)的各種變異。注意這個(gè)級(jí)數(shù)的各種變異。記住下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：;11)1(0 xxnn ;11)1()4(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;11)()2(0 xxnn . 1| x四、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)四、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo), ,

40、則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù). . 如果如果f(x) 能展成冪級(jí)數(shù)，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)是唯一的，能展成冪級(jí)數(shù)，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是就是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)。的泰勒級(jí)數(shù)。 0)(lim xRnn. . 如如果果)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處任任意意階階可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則 f( (x) )nnnxxnxf)(!)(000)( . . f( (x) )= =nnnxxnxf)(!)(000)( 1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:不不能能展展成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)；不不存存在在，說說明明，若若求求)()(!)(

41、)1(0)(0)(xfxfnxfaknn ).()(0)(limxfIxfxRn內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于區(qū)區(qū)間間的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂，則則若若 ,0)(lim(2)IxRnn的的范范圍圍考考察察 2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過變量代換通過變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方逐項(xiàng)積分等方法法,求展開式求展開式.記住幾個(gè)特殊函數(shù)的展開式：記住幾個(gè)特殊函數(shù)的展開式：),1ln( ,11 ,11 ,cos ,sin ,xxxxxex 注意收斂范圍。注意收斂范圍。歐拉公式：歐拉公式：,sincosxix

42、eix ,2cosititeet ,2sinieetitit 01 ie本章討論了下面三類問題：本章討論了下面三類問題：1、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。2、冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。、冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。3、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的條件及方法。、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的條件及方法。例例1 nxn)131211()1211111(lim1211111211limnnnnnnn , 1, 1 R從而從而 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散，時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)不不趨趨于于 01 x）。）。，收斂域?yàn)椋ㄊ諗坑驗(yàn)椋?1 解解,11121111 nnn,

43、 0121111lim nnn例例2. nnx222|lim|2|lim2nnnnnnxxA 級(jí)數(shù)收斂。級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)當(dāng), 10, 1| Ax, 121, 1|級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂當(dāng)當(dāng) Ax, 1|級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) Ax.11 ，收收斂斂域域?yàn)闉?解解處展開成泰勒級(jí)數(shù)處展開成泰勒級(jí)數(shù)在在將將11)( xxxf例例3解解.)1()1()1(1110 nnnxxxdxxxx 0sin例例4 02)!12()1(sinnnnnxxx),( ,)!12)(12()1(sin0120 xnnxdxxxnnnx解解 0)12()(nnxnxs設(shè)設(shè) 002nnnnxnx,22110 nnnnnxxnx,)(1

44、1 nnnxxA設(shè)設(shè)dxxndxxAnxnx 1010)( 1nnx,1xx 1| x xxxA1)(,)1(12x ,)1(2220 xxnxnn 1|,110 xxxnn 0)12()(nnxnxs 2)1(2xxx 111|.)1(12 xxx.1lnarctan)(2克勞林級(jí)數(shù)克勞林級(jí)數(shù)展開成麥展開成麥將將xxxxf 例例5 5解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1

45、(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(12)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x第十五章第十五章傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)：傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)：,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性（1它們的最小公共周期為它們的最小公共周期為,2 （2任何兩個(gè)不同的函數(shù)相乘在任何兩個(gè)不同的函數(shù)相乘在 上積上積分為分為0，, （3任何一個(gè)函數(shù)的平方在任何一個(gè)函數(shù)的平方在 上積分不上積分不為為0，, 本章重點(diǎn)研究函數(shù)展成三角級(jí)數(shù)的方法。本章重點(diǎn)研究函數(shù)展成三角級(jí)數(shù)的方

46、法。 如果如果f(x)能展成一致收斂的三角級(jí)數(shù)，則這個(gè)三角能展成一致收斂的三角級(jí)數(shù)，則這個(gè)三角級(jí)數(shù)必是級(jí)數(shù)必是f(x) 的傅里葉級(jí)數(shù)。的傅里葉級(jí)數(shù)。 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann f(x)的傅里葉系數(shù)的傅里葉系數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln)sincos(210lxnblxnaannn f(x)的傅里葉系數(shù)的傅里葉系數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理收斂定理設(shè)設(shè))(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù). .如如果果 f f( (x x) )在在, 按按段段光光滑滑, ,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，且且 2)0()0( xfxf= = 10)sincos(2 nnnnxbnxaa1、，且且則則它它的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂按按段段光光滑滑在在且且的的周周期期函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)周周期期為為,)(),(2llxfxfl ),sincos(22)0()0(10lxnblxnaax