一高中數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、一 高中數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)），等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)：是等差數(shù)列（1）若，則（2）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為（4）若是等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為，則（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：當(dāng)，解不等式組可得達(dá)到最大值時(shí)的值. 當(dāng)，由可得達(dá)到最小值時(shí)的值. (6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有，.（7）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有， ，.2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)，），.等比中項(xiàng)：成等比數(shù)列，或.前項(xiàng)和：（要注意?。┬再|(zhì)：是等比數(shù)列（

2、1）若，則（2）仍為等比數(shù)列,公比為.注意：由求時(shí)應(yīng)注意什么？時(shí)，；時(shí)，.二 解題方法1 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法（1）求差（商）法如：數(shù)列，求解 時(shí)， 時(shí)， 得：，練習(xí)數(shù)列滿足，求注意到，代入得；又，是等比數(shù)列，時(shí)，（2）疊乘法 如：數(shù)列中，求解 ，又，.（3）等差型遞推公式由，求，用迭加法時(shí)，兩邊相加得練習(xí)數(shù)列中，求（）（4）等比型遞推公式（為常數(shù)，）可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)令，是首項(xiàng)為為公比的等比數(shù)列，（5）倒數(shù)法如：，求由已知得：，為等差數(shù)列，公差為，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比或、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法)2 求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法(1)

3、 裂項(xiàng)法把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng). 如：是公差為的等差數(shù)列，求解：由練習(xí)求和：（2）錯(cuò)位相減法若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前項(xiàng)和，可由，求，其中為的公比. 如： 時(shí)，時(shí)，（3）倒序相加法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加. 相加練習(xí)已知，則 由原式(附：a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和如果一個(gè)數(shù)列an，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列

4、前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。c.用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。d.用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列an·bn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n項(xiàng)和

5、。e.用迭加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an ，從而求出Sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂分組求和法就是對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。g.用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項(xiàng)的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。)三 方

6、法總結(jié)及題型大全方法技巧數(shù)列求和的常用方法一、直接（或轉(zhuǎn)化）由等差、等比數(shù)列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式： 4、例1（07高考山東文18）設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的等差數(shù)列（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由已知得解得設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數(shù)列的通項(xiàng)為（2）由于由（1）得， 又是等差數(shù)列故練習(xí)：設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當(dāng) ，即n8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列

7、是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯(cuò)位相減法。例2（07高考天津理21）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）解：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）解：設(shè)， 當(dāng)時(shí)，式減去式，得，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和例3（07高考全國文21）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，三、逆序相加法把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加（即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣）例4（07豫南五市二聯(lián)理22.）設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)P1(x1,

8、 y1)、P2(x2, y2)，若,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.（I）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值；（II）若（III）略（I）,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.P是的中點(diǎn)，且由（I）知，（1）+（2）得：四、裂項(xiàng)求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如： （1）（2）（3）等。例5 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè) （裂項(xiàng)） 則 （裂項(xiàng)求和） 例6（06高考湖北卷理17）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，是數(shù)列的

9、前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m；解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.評(píng)析：一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項(xiàng)求和

10、法。五、分組求和法所謂分組法求和就是：對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例7數(shù)列an的前n項(xiàng)和，數(shù)列bn滿 .（）證明數(shù)列an為等比數(shù)列；（）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn。解析：（）由，兩式相減得：，同定義知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列. （） 等式左、右兩邊分別相加得：= 例8求（）解： 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上所述，點(diǎn)評(píng)：分組求和即將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列,分別求和.六、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)

11、律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例9 求之和.解：由于 （找通項(xiàng)及特征） （分組求和）例10 已知數(shù)列an：的值.解： （找通項(xiàng)及特征） （設(shè)制分組） （裂項(xiàng)） （分組、裂項(xiàng)求和） 類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，例:已知， ，求。 。類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求

12、解。例:已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:遞推式：。解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列

13、的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：數(shù)列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即又，所以。類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與

14、消去 或與消去進(jìn)行求解。例：已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.【知識(shí)點(diǎn)】：1.等差數(shù)列前N項(xiàng)和公式S=(A1+An)N/2 即： (首項(xiàng)+末項(xiàng))*項(xiàng)數(shù) / 2等差數(shù)列公式求和公式

15、 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=na1+n(n-1)d/2 即： 項(xiàng)數(shù)*首項(xiàng)+項(xiàng)數(shù)*（項(xiàng)數(shù)-1）*公差/2 2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和設(shè) a1,a2,a3.an構(gòu)成等比數(shù)列 前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3.an Sn=a1+a1*q+a1*q2+.a1*q(n-2)+a1*q(n-1)(這個(gè)公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項(xiàng)和是很難用下面那個(gè)公式推導(dǎo)的,這時(shí)可能要直接從基本公式推導(dǎo)過去,所以希望這個(gè)公式也要理解) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); q:公比 【例】、已知數(shù)列滿足，則通項(xiàng)公式an=3(n-1)+a(n-1) ->an-a(n-1

16、)=3(n-1) 同樣a(n-1)-a(n-2)=3(n-2) a(n-2(-a(n-3)=3(n-3) a3-a2=32 a2-a1=31 以上的n個(gè)等式的兩邊相加得到 An-a1=3+32+3(n-1)=3(1-3n-1)/(1-3)=(3n-1)/21判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法：若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數(shù)列；若 ，則為等比數(shù)列。(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。2. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解： (1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最

17、大值.(2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。注意事項(xiàng)1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 或而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。3注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：= ， =4解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略【問題1】等差、等比數(shù)列的項(xiàng)

18、與和特征問題例1.數(shù)列的前項(xiàng)和記為（）求的通項(xiàng)公式；（）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。解：（）由可得，兩式相減得又 故是首項(xiàng)為，公比為得等比數(shù)列 （）設(shè)的公比為 由得，可得，可得故可設(shè) 又由題意可得 解得等差數(shù)列的各項(xiàng)為正， 例2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式？（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起？.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 當(dāng)n2時(shí), an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn<509,解得n>,而n是正整數(shù),于是,n46. 從第46項(xiàng)起Tn<509.【問題2】等差、等比數(shù)列的判定問題例3.已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)（整數(shù)2），首項(xiàng)2設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且2（1，2，21），其中常數(shù)1（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|4，求的值(1) 證明 當(dāng)n=1時(shí),a2=2a,則=a； 2n2k1時(shí), an+1=(a