2012年高考數(shù)學備考沖刺之易錯點點睛系列專題05概率與統(tǒng)計(理科)(教師版)

1、用心愛心專心 1 概率與統(tǒng)計 一、 高考預測 計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分是高中數(shù)學中使用課時最多的一個知識板塊， 高考對該部分的 考查分值也較多.從近幾年的情況看， 該部分考查的主要問題是排列組合應用問題， 二項式 定理及其簡單應用，隨機抽樣，樣本估計總體，線性回歸分析，獨立性檢驗，古典概型，幾 何概型，事件的獨立性，隨機變量的分布、期望和方差，正態(tài)分布的簡單應用，在試卷中一 般是 2 23 3 個選擇題、填空題，一個解答題，試題難度中等或者稍易預計 20122012 年該部分的 基本考查方向還是這樣，雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新，但考查的基本點不會發(fā)生大的變化. 計 數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分的復習要從整

2、體上， 從知識的相互關系上進行.概率試題的核心是概 率計算，其中事件之間的互斥、 對立和獨立性是概率計算的核心， 排列組合是進行概率計算 的工具，在復習概率時要抓住概率計算的核心和這個工具； 統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分 布，反映樣本數(shù)據(jù)的方法：樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、 莖葉圖，得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機抽樣，在復習統(tǒng)計部分時，要緊緊抓住這些圖表和方法， 把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問題就是有關的計算和對統(tǒng)計思想的理解， 如樣本均值和 方差的計算，用樣本估計總體等. 二、 知識導學 要點求等可能性事件，互斥事件和相互獨立事件的概率解此類題目常應用Ly下知識： 等

3、可能性事件(古典趣)的嗨 曲=翳書等可能率的計算趣計 算一?欠試驗的基本事件總數(shù)/ ；設所求事件扎并計算事件A包含的基本事件的個數(shù)側依公 式p(刈=巴求值，答，即給間題一個明確的答復. (2) 互斥事件有一個發(fā)生的概率 刊血;特例；對立事件的概率; 伯)相互獨立鑒件同時發(fā)生的概率：PlA 功=P3(功；特例；獨立重復試驗的概率* P.(1) = C-P)n-其中P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式(l-p)+p =展開 的第k+1項. (4)(4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結合” ：求概率的步驟是：第一步，確定事件性 匚等可能事件 質(zhì)互斥事件 即所給的問題歸結為四類事件中的某

4、一種 第二步，判斷事件的運 獨立事件 n 次獨立重復試驗 算 和事件 即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件 . .第三步，運用 積事件 等可能事件 ：P( A) - m 公式等冃事件 ： P(A)P(A)n 求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確 互斥事件： P( A B) =P( A) - P( B) 獨立事件： P( A B) P(A) P(B) n 次獨立重復試驗 ：Pn (k ) Cnk pk (1 -p )n丄 用心愛心專心 2 的答復 要點 2 2 離散型隨機變量的分布列 1.1. 隨機變量及相關概念隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機變量，

5、 常用希臘字母 ： 等表示. .隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變 量叫做離散型隨機變量隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機 變量 2.2. 離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設離散型隨機變 量可能取的值為X!, x2,Xi ,取每一個值Xi( i =1,2=1,2,)的概率PC二 X Xi) = =p，則稱下表 Xi X2 Xi P P P P 巳 P 為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列. .由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機變量的分 布列都具有下述兩個性質(zhì)：(1 1) R R 0 0 , i=1i=1, 2 2,；(

6、2 2) R+PR+P2 2+ +=1.=1. 常見的離散型隨機變量的分布列： (1) 二項分布 越次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的i轍歹是 i 隨機變量其所有可能的取值洵乩L m并且戸廣遼=町=亡：氏其中0左”盯1-尸，隨機變量的分布列如下： 0 1 - k *畳 n p U#嚴 CAP” 稱這樣隨機變壘歹服從二項分布，記作煩處 其中處p 淘細 并記; (2) 幾何分布 在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù) 是一個取值為正整數(shù)的離 散型隨機變量，“ F F： = =k k ”表示在第 k k 次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生. . 隨機變量的概率分布為： 1 1 2 2 3 3

7、k k P P p p qpqp 2 q p k丄 q p 用心愛心專心 3 要點J離散型J腿機坯的期望與方差 隨機變量的數(shù)學蝴望和方差 離敢型隨機變量冊數(shù)學期舉 童“煙+為耳+二期望反映隨機變量取值的平均水平. 離散型隨機殳重的方差；D3-礎州+也_矽 h +（斗-陰 +匸 方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，第中與離散的程度. （3）基車性質(zhì)T + d） = aE+b J + &） = a3 Df - 若磺B（m p）貝IJ酎*p ;吟二npq （這里q-p）； 如果隨機變量紗訛幾何分趾 世二總二期刃，則附=丄，Df =X其中卩1-P P P* 要點 4 4 抽樣方法與總體分布的估計

8、 抽樣方法 1. 簡單隨機抽樣：設 f 總體的個顫為皿如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每 諛抽取時各個個郎被抽到的概珮目寧就稱這樣冊抽樣為簡單隨機抽樣常用抽簽法和隨機數(shù)表 法. 2. 系統(tǒng)抽樣：當總郎中的個數(shù)鮫多時，可將總體分成均衝的幾個祁務 然后搜照預先定汪的規(guī) 貝山從每一分抽取1個嚇體，得到所需要的樣芯這種抽樣叫做系鈾樣（述稱為機刪拝） 3. 分層抽樣：當已抑總體由差異破品的幾部分組成時，常將總陣分咸幾部分，然后1瑕賂戡分 所占的比進行抽樣，這種抽樣DU做分層抽樣. 總體分布的估計由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布， 一般地，樣本容量越大，這種估計

9、就越精確總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體 分布. .當總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應的頻率表 示，幾何表示就是相應的條形圖當總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示 相應樣本的頻率分布總體密度曲線：當樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分 布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線 要點 5 5 正態(tài)分布與線性回歸 1.1. 正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì) 1 竿 （1 1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機變量 的概率密度函數(shù)為f（x） e 2 2- - , , x x R 其 J四 中廠為常數(shù)，并且匚0 0，則稱服從正態(tài)分

10、布，記為 N N （i,i,二2）. . （2 2） 期望EgEg二方差些=4 用心愛心專心 4 （3 3） 正態(tài)分布的質(zhì)正態(tài)握S具有下列性質(zhì)：鞍在衣軸上方，并且關于直線套=對稱. 曲竝在滬 A 時處于最高爲 由這一點向左右兩邊延伸時，曲麵漸降底曲娃擲琳軸檢置 由口確定曲線的形狀由 b 確定；bifc匕 曲線越用矮胖冬反之越“高瘦 J 標準正態(tài)分布 當0=10=1時歹服從標淮冊正態(tài)分布3記作比 1 1） （5）兩個重雯的公式 心）=1 =1 一於）,P（ab）=W-畑* 對（“9與敢0刀二者聯(lián)系若則尸亡上楓叩）； 若 $ NN（地口卄則 P（m y m = （i） - 口 a 2.2. 線性回

11、歸 簡單的說，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關系的一種數(shù)學方法 變量和變量之間的關系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關系和不確定的函數(shù)關系 不確 定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循回歸分析就是處理變量之間的相關關系的一種數(shù)量統(tǒng) 計方法. .它可以提供變量之間相關關系的經(jīng)驗公式具體說來，對 n n 個樣本數(shù)據(jù)（x,yx,y）， （血2 2）,，（XnXn,y,yn n），其回歸直線方程，或經(jīng)驗公式為： p=bx + a.其中 n 、Xiyi -nXy b二芋 y -b X,其中X,y分別為| Xi |、| yi |的平均數(shù). 7 X； -n（X）2 i 4 三、易錯點點睛 【易錯點展開式的

12、通項中，因注與b的顆序離倒而容易出話 / X M 1. | J7-訂 展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162,則x的一次項為 _. 【易錯點分析】本題中若寓與厶的順序顛倒，項隨之發(fā)生變化，導致出錯。 77 解析據(jù)題意有：C；，-（-（?； .2* 162”即2科-1） +缶=162二心丄 則為=C；（石廠（-石| = C； （-2） J盲哼由號:-芻=1,. r = 3 7； = （-1/ 23 Cx - -672x 【知識點歸類點撥】二項式 a b “與b a “的展開式相同，但通項公式不同，對應項也用心愛心專心 5 不相同，在遇到類似問題時，要注意區(qū)分 易錯點盯二ffiss開式中的項的

13、系數(shù)與nst系數(shù)的槪念拿握不港 容易混淆”導致岀 錯 f 9 X5 Is在x3+4 的展開式中，卡的系數(shù)為 _ ,二項式系數(shù)為 _ C 【易錯點分析】在通項公式石+l二 G 丫 ”丄中，G是二項式系數(shù)， 曠是項的系數(shù). 解析：令15-5r = 5,得r = 2,則項F的二項式系數(shù):為Cf = 10,項的系數(shù)為C22 = 40a 【知識點歸類點撥】在二項展開式中，利帰通項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典 型間題，苴通常做法就是確定通項公式中r的取值或取值范圍，須注意二項式系數(shù)與項的系 數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 1 =7=7 即（3x -嚴）7, ,根據(jù)二項式通項公式得 習x2 2 r 7 _r r

14、, 3、 r 7 _r r Tr 1 = C7(3x) (T) (x ) C7 3 (T) x T6 C7537（-1）63 =7 3 A =馬.故厶項系數(shù)為 21. . x x x x 【易錯點 3 3】二項式系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項是兩個不同的概念， 在求法上也有很大 的差別，在此往往因為概念不清導致出錯 1.已知聲-訂（處旳）的展開式刊 第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)之比為10： 1 求展開式中系數(shù)最大的項和二頊式系數(shù)最大項。 【易錯點分析】二項展開式的二項式系數(shù)可由其二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，即當H為偶數(shù)時, 中間的一項的二項式系數(shù)瑟當II為偶數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，同時取得最大

15、值，求系數(shù)的壷大值項的位貫不一定在中間，需要利用通項公式，根據(jù)系數(shù)值的噌減性具體 討論而定* 解析：由題意知，第五項系數(shù)為C： 4 -2 ）4，第三項的系數(shù)為C： （-2）2，則有 4 4 C2 2 25 5 ，- n =8=8 設展開式中的第 r r 項，第 r+1r+1 項，第 r+2r+2 項的系數(shù) 絕對值分別為 CT2） 1 C二 2r -1 C r 2r C8 1 2rJ,C8 -2r,C8 1 2r1，若第 r+1r+1 項的系數(shù)絕對值最大，則 ：r / 8r 解 C8 1 2r 1 乞 C8 2r2 2、如果3x n 的展開式中各項系數(shù)之和為 (A(A) 7 7 叮2 （B B）

16、- -7 7 (C(C) 2121 1 128128，則展開式中 冷 的系數(shù)是（ ） X (D) -21 r 7一5. 7-53,r : 3 r 亠7 _r 解析：當x =1時（3 1 - n =2n =128,. n 用心愛心專心 6 1 得：5 _r _6.系數(shù)最大值為 T7 =1792F由n = =8 8 知第五項的二項式系數(shù)最大，此時 x 1 T5 =1120飛. x 【知識點歸類點撥】在0+叭的展開式中,系數(shù)最大的項是中冋項，但當扣b的系數(shù)不 尙1時，最大系數(shù)值的位置不一定在中fffl,可通過解不等式組| 來確定之 2. _ 在二項式(孑-1廣的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為 _ -

17、(結果用數(shù)值 表示) 解析：展開式中第r+L項為(-1)要使項的系數(shù)最小，則工為奇數(shù)，且使為 最大，由此得r = 5,所以項的系數(shù)為=-462. 【易錯點 4 4】對于排列組合問題，不能分清是否與順序有關而導致方法出錯。 1.1. 有六本不同的書按下列方式分配 ，問共有多少種不同的分配方式？ (1)(1) 分成 1 1 本、2 2 本、3 3 本三組； (2)(2) 分給甲、乙、丙三人，其中 1 1 人 1 1 本，1 1 人兩本，1 1 人 3 3 本; (3)(3) 平均分成三組，每組 2 2 本； (4)(4) 分給甲、乙、丙三人，每人 2 2 本。 (5)(5) 在問題(3 3)的基礎

18、上，再分配即可，共有分配方式 【易錯點分析】分成三組是與順序無關是組合間題，分給三人與順序有關，是排列間題B 解析；分三歩；先選一本肓種選法，再從余下的5本中選兩本，肓種選法，最后 余下的三本全選有cf種選法，有分歩計數(shù)原理知，分配方式有：W 雋二 60 (2) 由于甲、乙、丙是不同的三個人，在(1)題的基礎上9 BE考慮再分酉Sf可題！分配方式 共有瑰席爲= 360種. (3) 先分三步，則應是離種方法，但在這里容易出現(xiàn)重復.不妨記六車書為 AtBfC,DtEfF若第一歩取了阻 第二歩取了 第三步取了 EF,記該種分法為(好 CD, EF：)則 借 U 中還育( (ABS EF, CD),

19、CCD, EF, AB) (CD，AB，EF), (EF* CD，AB)， (EF, AB, CD)共禹種情況，而且這些情況僅是AE, CD, EF順序不同，依次只能作為一種 【知識點歸類點撥】本題是有關分組與分配的問 題，是一類極易出錯的題型，對于此類問 題的關鍵是搞清楚是否與順序有關， 分清先選后排，分類還是分步完成等， 對于平均分組問 分法，故分配方式有 種 用心愛心專心 7 題更要注意順序，避免計算重復或遺漏。 2.2. 從 5 5 位男教師和 4 4 位女教師中選出 3 3 位教師，派到三個班擔任班主任 (每班一位班主任)， 要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（

20、 A 210 種 B B、420 420 種 C C、630 630 種 D D、840 840 種 解析：首先選擇 3 3 位教師的方案有：一男兩女；計C5 C： =30 ；兩男一女：計C； C4=40。 3 其次派出 3 3 位教師的方案是A3 =6=6。故不同的選派方案共有 A3 漢（c5 C2+C； C； ）=6 江（30+40 ）=420種。 【易錯點町不能正確分析幾種常見的排列問題，不能恰當09選擇丼列的方法導致出錯. L四個男同學和三個女同學站成一擁. （1） 三個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？ （2） 任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的掃E法？ （3） 其中甲、

21、乙兩同學之間必須怕有3人；有多少種不同的排法？ （4） 甲、乙兩人相鄰，但都與丙不相鄰，有多少種不同的排法？ （5） 女同學從左往右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（三個女生身高互不相等） 【易錯點分析】掃E列問題常見題型有相鄰問題及不相鄰問題，順序一定問題等，如果對題意 理解不夠充分，往往選擇錯誤的方法. 解析：（1 1）3 3 個女同學是特殊元素，我們先把她們排列好，共有 A3種排法；由于 3 3 個同學 必須排在一起，我們可視排好的女同學為一個整體， 在與男同學排隊，這時是五個元素的全 排列，應有 A種排法。由乘法原理，有 代二 T2種不同排法。 （2 2） 先將男生排好，共有 A4種

22、排法；再在這 4 4 個男生的中間及兩頭的 5 5 個空中插入 3 3 個 3 4 3 女生，有As種方案。故符合條件的排法共有 A A5 =1440種。 （3 3） 甲、乙 2 2 人先排好，共有 A種排法；再從余下的 5 5 人中選三人排在甲、乙 2 2 人中間， 有A種排法，這時把已排好的 5 5 人看作一個整體，與剩下的 2 2 人再排，又有 A種排法；這 4 2 3 樣，總共有 A A2 As - 720種不同的排法。 （4 4） 先排甲、乙、丙 3 3 人以外的其他四人，有 A4種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙 排好，有A；種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好

23、的 4 4 人的空當中， 2 4 2 2 有A5種排法；這樣，總共有 A4 A2 As =960種不同的排法。 （5 5） 從七個位置中選出 4 4 個位置把男生排好， 有A4種排法；然后再在余下得個空位置中排 女生，由于女生要按高矮排列。故僅有一種排法。這樣總共有 A；種不同的排法。 【知識點歸類攜撥】解決郁艮簾煤件的擁列問題方法是：直接法;間接法：目卩排除不符 合要求的情形一股先從恃殊元素和特殊位置入手. 2.2.有兩排座位，前排 1111 個座位，后排 1212 個座位，現(xiàn)安排 2 2 人就坐，規(guī)定前排中間三個座位 不能坐，并用心愛心專心 8 且這 2 2 人不左右相鄰，那么不同排法的種

24、數(shù)（ ） A 234 234 B B 、 346 346 C C 、 350 350 D D 、 363363 解析：把前后兩排連在一起，去掉前排中間 3 3 個座位，共有 A；9 ATAT 種，再加上 4 4 種不能算 相鄰的，共有A；。-心 A； 4 =346種。 【易錯點6】二項式展開式的通項公式為事件A發(fā)生上率= 此伙） = -町二項分布列的擬率公式； 必二憐 I 北二12?衛(wèi)且00）的概率。 解析；（1）占的可能取值為一300, 100, 100, 300. P（ = -300） = 0.23 = 0.00S, = -100） = 3x0.22 xO.S = 0.096 P（i =

25、100）= 3x 0.2x0. tf1 = 0384,（5 = 300）= 0,8? = 0.512 所以的概率分布為 匕 300300 100100 100100 300300 P P 0.0080.008 0.0960.096 0.3840.384 0.5120.512 根據(jù)的概率分布，可得 的期望 E = -300 0.008 -100 0.096 100 0.384 300 0.512 = 180 （2 2）這名同學總得分不為負分的概率為 P _0 =0.384 0.512 = 0.896。 【知識點歸類點撥】二項分布是一種常見的重要的離散型隨機變量分布列，其概率 P 二k k =0,

26、1,2,川 就是獨立重復實驗 n n 次其中發(fā)生 k k 次的概率C：Pk 1-P 。但在解決實際 問題時一定看清是否滿足二項分布。 N （重慶理連）設一汽車在前進逮中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈（允訐通 3 1 行）的概率為三，遇到紅燈（禁止通行）的概率為丄，假定汽車只在遇到紅燈或到達目的 4 4 地才停止前進，f表示停車時已經(jīng)通過的路口飆 求：C1）云的慨率分帝列及期望恩廠 停車時最多已通過3個路的概率. 用心愛心專心 9 解（1 1） 的所有可能值為 0 0, 1 1, 2 2，3 3, 4 4。用Ak表示“汽車通過第 k k 個路口時不?！眲t 3 1 P A k=1,2,3,

27、4 且AAAA獨立。故 P =0 二P A 4 4 p =1 二 p A 瓦 1 二食P =2 二 P A A A3 =（弓）2 -1 4 4 16 4 49 64 用心愛心專心 10 【易錯點 Q 正態(tài)總體川巴 L）的槪率密度豳為當 # = 時，/W=-f=e 2妙& 叫作標體”（0）0?密6 兩者在便用范圍上是不同的. 燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈泡的壽命為f （單位匕小時人已知矽），要應燈泡的平 均壽命為1000 的概率為99.7%，間燈泡的最低焦用壽命應控制在 _ 小時以上 解析：因為燈泡的使用壽命?7（10001303）!故占在（1000-3x30,1000+3x30）的概率 為99.

28、7%,目吟在（910,1090）內(nèi)取值朗概率為労一7烽 故燈泡的最低便用壽命應控制胖 910丿卜時以上. 【知識點歸類點撥】 在正態(tài)分布N,二2中，為總體的平均數(shù)，二為總體的標準差， 另外，正態(tài)分布N ：；：=；2在-；，一.，的概率為68.3 0，在:亠一3,.3 內(nèi)取值 的概率為99.7 。解題時，應當注意正態(tài)分布 N：i.L,；2在各個區(qū)間的取值概率 ，不可混 淆，否則，將出現(xiàn)計算失誤。 四、典型習題導練 1 1、一籠子中裝有 2 2 只白貓，3 3 只黑貓，籠門打開每次出來一只貓，每次每只貓都有可能出 來。（I）第三次出來的是只白貓的概率； （n）記白貓出來完時籠中所剩黑貓數(shù)為 ，試求

29、 的概率分布列及期望。 【解析】（I） c；UA _2 A3 _5 （n）設籠中所剩黑貓數(shù)為 ，則： =0,1,2,3=0,1,2,3，其概率分布列如下 一 (3 P( = 3 )= P(A A, A A ) =； 丿 3 1 X 4 27 256 P =4 = P A A A A 二 4 (3 81 f = - 4 256 匕 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 P P 1 3 9 27 81 4 16 64 256 256 從而的分布列為 E =o 1i互 4 竺 4 16 64 256 256 256 (2) =4 =1 256 175 256 用心愛心專心 11 0 0 1 1 2

30、 2 3 3 P P C2嵐2 C222LA3 3 C2UC；LA2 1 A 1 A =5 A 10 A3 飛 A2 =10 3 4 3 10 d E = + + = =1 10 10 10 10 2 2、深圳市某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有 6 6 個籃球，其中 3 3 個是新球（即沒有用 過的球），3 3 個是舊球（即至少用過一次的球）每次訓練，都從中任意取出 2 2 個球，用完 后放回.（I）設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為 ，求的分布列和數(shù)學期望；（n）求 第二次訓練時恰好取到一個新球的概率. 【解析】（I）亡的所有可能取值洵0, 1，2.1分設盒第一次訓纟刪取釦個新球（目卩嚴 為

31、事件召（26 1，2）.因為篥訓前共有6個籃球，其中3個是新琳卻個是舊琳 所以 嚴 1 3 尺竝）二珂二0）=#=二3分只咼）=尸代二1）=獰二二， 5分 ?x_ = _ = 10)= (1-)x + x(l- 15 15 15 P( = 12)=lxl+lxl X 0 4 10 12 20 P (X) 121 22 1 22 2 1 225 75 25 225 75 225 而 P( =10)二1 - 6 4 ER151 2 21 24 1 1 X + X 5 5 2 他= 2。）=存占，詢分布列為 期望耐2唏+ 4噲+10懐+】2烷+ 2。懐=等茅2右 用心愛心專心 14 1010 151

32、5 2020 2525 3030 用心愛心專心 15 P 1 5 3 7 1 24 24 8 24 . . 1 5 9 7 2 125 的數(shù)學期望為 E =10 15 20 25 30 。（ 1212 24 24 24 24 24 6 分） 6 6、某電視臺有 A A、B B 兩種智力闖關游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨 立進行游戲 A A,丙丁兩人各自獨立進行游戲 B.B.已知甲、乙兩人各自闖關成功的概率均為 ， 2 丙、丁兩人各自闖關成功的概率均為 . .（I ）求游戲 A A 被闖關成功的人數(shù)多于游戲 B B 被闖關 3 成功的人數(shù)的概率；（n） 記游戲 A BA B 被

33、闖關成功的總人數(shù)為 ，求 的分布列和期望. . 【解析】（I）設訂個人游戲 H 闖關成功辟為雷件乩L帖宀個人游恥聞關成功卵 為事件5 1* 2）,則 例曲褲扶感功的朋多于獗萬褊闖關的人數(shù)卅為處坤. /-冋聞貫+/）二卩（理總）廿（4貫）+卩 3 珂寸（4）卩仏）+（&列的 7 36 即游戲沖被闖關咸功的心多于游戲減闖關的人數(shù)的概率為缶怡 P（侶3）-Of （護嶺卜毋（$*卜尋氣 0 1 2 3 4 P 1 36 1 6 13 36 1 3 1 9 = 0 x + lxl+2xll+3xl + 4xl-2.遼分 7 7、盒內(nèi)有大小相同的 9 9 個球，其中 2 2 個紅色球，3 3 個白

34、色球，4 4 個黑色球. .規(guī)定取出 1 1 個紅 色球得 1 1 分，取出 1 1 個白色球得 0 0 分， 取出 1 1 個黑色球得1 1 分現(xiàn)從盒內(nèi)任取 3 3 個球（I） 求取出的 3 3 個球中至少有一個紅球的概率； （n）求取出的 3 3 個球得分之和恰為 1 1 分的概率; （川）設為取出的 3 3 個球中白色球的個數(shù)，求 的分布列和數(shù)學期望（U ） 由題設可知; 6 36 二f的分布列淘: 用心愛心專心 16 (II)18取出1個紅色球，2個白色球為事件B ,取出2個紅倍球，1個黒色球為事 (III) f可能的取值為04,S3 . ?分 =0)=li pg)=等嚼 (2 1 煦

35、訃|肓咗 f的分布列為: 0 1 2 3 P 5 21 45 84 3 14 1 84 紳數(shù)學期望込嗨小辭嗨+嗚二 &如圖 3 3, A,B兩點之間有6條網(wǎng)線連接，它們能通過的最大信息量分別為 1,1,2,2,3,4 . . 從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量 設這三條網(wǎng)線通過的最大信息量之和為 (I)當- - -6 6 時,則保證線路信息暢通,求線路信息暢通的概率； (n)求的分布列和數(shù)學期望. . ( (本小題主要考查古典概型、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望等知識 然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應用意識 ) ) 【解析】(I)從 6 6 條網(wǎng)線中隨機任

36、取三條網(wǎng)線共有 C6 = 20種情況1 1 分 1 +C1C1 1 .11 4=1 2 3=6, p =6；J C2C2 二1 2 分 C3 4 1 2 4 =2 2 3 =7, , P =7 二 C2C； 1 J 3 3 分 C6 4【解析】(I) p = l- =12 件C，則 = + = 2) = 4 3 14 ”6分 42 B 考查或然與必 用心愛心專心 17 “ C2 +1 3 1 3 4 =2 2 4 =8, , P =8 芻 . .4 4 分 * f C6 20 C1 i 2 3 4 =9, , P =9 3 3 . 5 5 分 丿 C3 io 113 13 P _6 =P =6

37、 P =7 P =8 P =9 . . 4 4 20 10 4 (11 ) : 的取值為 4,56,Z&9.T 分T + 1 + 2 = 4,二 = = $ 二丄8 C； 10 分 1 + C1 3 / 1 + 1 +3 = 1 + 2 + 2 = 5 ? i 5) . 9 分 * Cl 20 二舀的的分布列為： i 4 5 6 7 8 9 p 1 10 3 20 1 4 1 4 3 20 1 10 io 分 = 4X-1+5XA+6X 丄+* 丄+沁色+9x 丄 115= 65 10 20 4 4 20 10 9 9、乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用 7局4勝制（即先

38、勝4局者獲勝, 比賽結束），假設兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同 （I）求甲以4比1獲勝的概率； （n）求乙獲勝且比賽局數(shù)多于 5局的概率；（川）求比賽局數(shù)的分布列. . 1 【解析】（I）：由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都 是丄1 1 分 2 記“甲以4比1獲勝”為事件 A，則P（A） -C4（1）3（-1）41 .4 4 分 （n）:記“乙獲勝且比賽局數(shù)多于 5局”為事件B. .因為乙以4比2獲勝的概率為 1212分 P=c5（1）3（2）5冷 5 ic6（2）e）1 32 35 乙以4比3獲勝的概率為 32 5 所以P（滬廿廿16 用心愛心專心 18 （川）解：設比賽

39、的局數(shù)為 X，則X的可能取值為4,5,6,7 1 1 11 11 P(X =4) =2C：(3)4 ，9 9 分 P(X =5) =2C4(?)3(?)4 ,10 10 分用心愛心專心 19 P（X=6）=2C5（1）3G）2 卜 16，11 分 P（X=7）=2C6（1）3（1）61=16 1212 分 比賽局數(shù)的分布列為： X 4 5 6 7 1 1 5 5 P 8 4 16 16 1313 10.今年雷鐸日，某中學從高中三個年級選派4名敦師和20名學生去當雷鐸志愿者，學生 冊名額分配如下 高一年級 高二年級 咼二年級 丄0人 6人 4人 （I）若從20窖學生中融3人參加文明交通宣傳， 求

40、他們中恰好有1人是高一年級學生的 概（II）若將4名教師安排到三個年級（假設每名教師加入各年圾是等可能的，且各隹 教師的選擇是相互獨立時），記安掃E到高一年級的教師人顫為求隨機變壘乂的分布列 和數(shù)學期望. 【解析】（D設“他們中恰好有1人是高一年級學生”為事件4則尸二孕= % 3S 答:若從選派95學生中任選3人進行文明交通宣傳活動，他們中焙好有1人是高一年級學生 的概率為蘭.4分 38 （口）解法1；舀陸所有取值為0, 1, 2, 3, 4 由題意可知，母位鞭師選擇高一年級的概率 均為丄. 3 1 訂2 丫 -1-1 13丿i3丿 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 P =4 二 C：

41、81 . 1111 分 隨機變量-：的分布列為: 16 81 8 27 心】。 13八3丿 =1 二C： 32 81 P =2 AC： 24 81 P W4 8 81 用心愛心專心 20 P 16 32 8 8 1 81 81 27 81 81 1212 分 所以 E =0 1 2 24 3 4 - . 1313 分 81 81 81 81 81 3 解法去由題意可知，鬲位敦師選擇高一年級的慨率均洵匚 .5分 3 則隨機變量占服從參數(shù)為4,：的二項分布，即纟（4=）T分隨機變壘占的分布列 0 1 2 3 4 P 16 81 32 81 8 27 8 8? 1 五 np 4x= 所以 3 3 .

42、 辺分 1111、20122012 年 2 2 月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準利率 . .某 大型銀行在一個星期內(nèi)發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計如圖所示： 求在本周內(nèi)該銀行所借貸客戶的平均貸款年限 （取過剩近似整數(shù)值）；從本周內(nèi)該銀行所 借貸客戶中任意選取兩位，求他們貸款年限相同的概率； 假設該銀行此星期的貸款業(yè)績一共持續(xù) 1010 個星期不變，在這段時間 里，每星期都從借貸客戶中選出一 人，記表示其中貸款年限不超過 20 20 年得人數(shù)，求E（）. . 【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關知識，具體涉及到統(tǒng)計 圖的應用、二項分布以及數(shù)學期望的求法 【解析】平均年限n J

43、0 10 15 10 20 25 25 20 30 15:22（年） 80 v 9 # 9 45 由條件知 B（10,），所以E =10 . . （12 12 分） 16 16 8 1212、為增強市民節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者現(xiàn)從符合條件的 500500 名志愿者中隨機抽取 100100 名志愿者，他們的年齡情況如下表所示.（I）頻率分布表中的、 位置應填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖） ，再根據(jù)頻率分布直方圖 估計這 500500 名志愿者中年齡在30 30 , 3535）歲的人數(shù)；（H）在抽出的 100100 名志愿者中按年齡再 采用分層抽樣法抽取 20

44、20 人參加中心廣場的宣傳活動， 從這 2020 人中選取 2 2 名志愿者擔任主要 負責人，記這 2 2 名志愿者中“年齡低于 3030 歲”的人數(shù)為 X求X的分布列及數(shù)學期望. 分組（單位：歲） 頻數(shù) 頻率 所求概率 2 2 2 2 C10 C25 C20 C15 137 632 (8(8 用心愛心專心 21 【解析】（I I）處填 2020，處填 0.35 0.35 ;補全頻率分布直方圖如圖所示. 根據(jù)頻率分布直方圖估計這 500500 名志愿者中年齡在30 30 , 3535）的人數(shù)為 500X 0.35 500X 0.35 = 175 175 . （4 4 分） （ID用分層抽樣的方

45、法，從中選取20人，則其中“年齡低于30歲少的有5人，“年齡 不低于孔歲”的有15人.由題意知，X的可能取值為 E 1, 2,且P（X P（：FF（X X）=OX=OX+1X+1X+2X+2X . 分） 1313、某高校在 20122012 年的自主招生考試成績中隨機抽取 100100 名學生的筆試成績，按成績共分 五組，得到頻率分布表如下表所示。20, 25) 5 0.05 25* 30) 0,20 3D, 35) 35 35, 40) 30 0.30 40, 45 10 0.10 合計 100 1.00 用心愛心專心 22 (1(1)請求出位置相應的數(shù)字，填在答題卡相應位置上，并補全頻率分

46、布直方圖; (2(2)為了能選出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第 3 3、4 4、5 5 組中用分層抽樣的方 法抽取 1212 人進入第二輪面試，求第 3 3、4 4、5 5 組中每組各抽取多少人進入第二輪的面試；假 定考生“ XXXXXX筆試成績?yōu)?178178 分，但不幸沒入選這 100100 人中，那這樣的篩選方法對該生而 言公平嗎？為什么？ ( 3 3)在(2 2)的前提下，學校決定在 1212 人中隨機抽取 3 3 人接受“王 教授”的面試，設第 4 4 組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為 ，求的分布列和數(shù)學期 望. 【解析】(1 1)由題意知，5組頻率總和為1,故第3組頻率

47、為0.3，即處的數(shù)字為0.3 ；1 分 總的頻數(shù)為100,因此第4組的頻數(shù)為20 ,即處數(shù)字為202分頻率分布直方圖如下： n nc n n? n n A ns n CA n館 n n? n m 的8分(只寫“公平”二字， 不寫理由，不給分)第4組抽取的人數(shù)為： 20 12=4人，第5組抽取的人數(shù)為：10 12=2人. . 7分 60 60 (2)第34、5組共60名學生，現(xiàn)抽取 公平：因為從所有的參加自主考試的考生中隨機抽取 100人，每個人被抽到的概率是相同 組號組號 分組分組 頻數(shù)頻數(shù) 頻率頻率 第一組第一組 160,165) 5 0,05 第二組第二組 165J70) 35 0.35

48、j 第三組第三組 170J75) 30 二 第四組第四組 175,180) 0.2 第五組第五組 180,185) 10 0.1 12=6 人, 60 (3(3) 的可能取值為0、1、2、3. P P BP 14 55 C2C1 P( =1)=號 C12 28 55 0 0.06 0.04 I _ L 12人，因此第3組抽取的人數(shù)為: 用心愛心專心 23 14 , 28 12 1 .E =0 1 2 3 1 12 12 分 55 55 55 55 1如空氣質(zhì)壘指SfcPM2.5 （單位：迪曲、表示每立方米空氣中可物的含量這個值 越壽就代表空氣希染越嚴重： PM2 5日均 濃度 0D35 35D

49、75 750 115 115D150 1500 250 250 空氣質(zhì)量級 別 級 二級 四級 空氣質(zhì)童類 別 優(yōu) 良 輕度污梁 中度污染 重度污梁 嚴重污 染 某市対12年3月8 3-4月7日（30天）對空氣質(zhì)堇指PM2.5進行監(jiān)測，狡得數(shù)據(jù) 后得到如下條形圖：（I ）估計滾城市一個月內(nèi)空汽質(zhì)量糞別洵良的概率, （II）在上述勁個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個設X為空氣 質(zhì)壘類別為就的天數(shù)，求X的分布列. 【解析】（I）由條形統(tǒng)計圖可知，空氣質(zhì)量類別為良的天數(shù)為 16天, , 所以此次監(jiān)測結果中空氣質(zhì)量類別為良的概率為 P( =2)= clc； 12 Cl2 55 C3 1 P( =3) = c4 -

50、C12 55 的 分 布 列為: 匕 0 1 2 3 14 28 12 1 P 55 55 55 55 1111 分 用心愛心專心 24 （n）隨機變量 X的可能取值為0,1,2, ,則16 8 30 15 1 1 , ,P X =1 二 CC22 C30 176 435 P X C30 28 435 X 0 1 2 P 231 176 28 435 435 435 1212 分 所以X的分布列為 用心愛心專心 25 1515、戶外運動已經(jīng)成為一種時尚運動，某單位為了了解員工喜歡戶外運動是否與性別有關, 對本單位的 5050名員工進行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表： 數(shù)學期望下面的臨界值表僅供參

51、考: P(K _k) 0.150.15 0.100.10 0.050.05 0.0250.025 0.0100.010 0.0050.005 0.000.001 1 k 2.0722.072 2.7062.706 3.8413.841 5.0245.024 6.6356.635 7.8797.879 10.82810.828 （參考公式： K2= 2 n(ad -bc) ,其中n =a b c d ) (a b)(c d)(a c)(b d) 3 （I ） 在全部 5050 人中隨機抽取 1 1 人的概率是上，喜歡戶外活動的男女員工共 5 表補充如下 （H .8 333 7 879,.有$05

52、咯時囉認為茗戲戶外運動與性別 30 x20 x25x25 有關T分 _ 113 1 （m 所曲0丄2艮尸（二0） = _;幷芒二卩二二2）二上，F(xiàn)烤二3）二一円分 f的分布冊 f P 0 1 6 1 1 2 2 3 10 3 1 E占占 坨分坨分 1616、在某醫(yī)學實驗中，某實驗小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關系, 選取六只實驗動物進行血檢，得到如下資料： 喜歡戶外運動 不喜歡戶外運動 合計 男性 女性 1010 合計 5 5 5050 已知在這 5050 人中隨機抽取 1 1 人抽到喜歡戶外運動的員工的概率是 3 . .（I）請將上面的列聯(lián) 5 表補充完整；（n）是否有 9

53、9.5 99.5 %的把握認為喜歡戶外運動與性別有關？并說明你的理由; （川） 經(jīng)進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn), 在喜歡戶外運動的 1010 名女性員工中，有 4 4 人還喜歡瑜伽若從喜 歡戶外3 3 人，記表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù)，求 的分布列和 【解析】 3030, 中， 員 2020 列 喜歡戶外運動 不喜歡戶外運動 合計 男性 2020 5 5 2525 女性 1010 1515 2525 合計 3030 2020 5050 苴 丿、 男 工 人， 用心愛心專心 26 動物編號 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 用藥量x （單 位） 1 1 3 3 4 4 5 5 6 6 8 8 抗體指

54、標y （單位） 3.43.4 3.73.7 3.83.8 4.04.0 4.24.2 4.34.3 記S為抗體指標標準差，若抗體指標落在 （y-s,y s）內(nèi)則稱該動物為有效動物，否則稱為 無效動物研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只，用剩下的四只動物的數(shù)據(jù)求線性回歸方 程，再對被選取的兩只動物數(shù)據(jù)進行檢驗 （I） 設選取的兩只動物中有放動韌的只數(shù)為&求隨機變壘g的分布列與期望； （II） 若選取的是編號為1和6的兩只動韌， 且利用剩余四只動韌的數(shù)據(jù)求出7關于X的線性 回歸方程0 1仏+色試求出前值； （III） 若根據(jù)回歸方程估計出的L號和6號動物的抗體指標數(shù)據(jù)與檢驗結果誤差都不超過抗

55、體 扌旨標標準差則認汰得到的竝性回歸方程是可靠的，試判斷U）中所得線性回歸方程是否可 靠 【解析】（I ） y =3.9,S 0.31 . .故 1 1、6 6 號為無效動物，2 2、3 3、4 4、5 5 號為有效動物-2 2 分 所以隨機變量 的取值為 0 0,1 1,2 2 記從六只動物中選取兩只所有可能結果 11 2 共有 cl = 1515 種. . P（：=0） P（ =1）= C2 C4 8 p（ =2） = C4 - 15 15 15 15 15 5 5 分 分別列為 0 0 1 1 2 2 P 1 8 2 15 15 5 1 O 2 4 期望 E（）=0 1 2 -6 6 分

56、 15 15 5 3 （II） 對于 2、玉 4. 5 號動物.x = 4.5j=3J25 RA / = 0.17x + a = 3.16 .8 分 （III） 由y = 0,17j+3.16得見二3遼凡二4兒 i盼 誤差 = 0.07, = 0 22均比標誰差 小Oil小，故口）中回歸方程可靠.-12分 1717、一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為 R的函數(shù)：fx）二x , 2 3 用心愛心專心 27 f2（x）二 x, f3（x）二 x , f4（x）二sinx, f5（x）二 cosx , f-（x） = 2 . （1）現(xiàn)從盒子中 任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新

57、函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率； （2）現(xiàn)用心愛心專心 28 P( =2)二 C； 36 70 從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止 抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù) 的分布列和數(shù)學期望. 【解析】 天個函數(shù)中是奇函數(shù)的有齊（對二,（x）二_/+（對二別口兀, 由這2個奇函數(shù)中的任意兩個廖相加均可得一個新的奇函數(shù) . 2分 記雪件A為”任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”， C3 1 由題意知P二總 U . 4分 于命HX）專號尋導勺分 故占的分布列溝 13 3 17 7 “肇實，正名芡實，因肇慶所產(chǎn)之芡實顆粒大、藥力強，故名。 ”某科

58、研所為進一步改良肇 實，為此對肇實的兩個品種（分別稱為品種 A A 和品種 B B）進行試驗選取兩大片水塘，每大 片水塘分成n小片水塘，在總共 2 2n小片水塘中，隨機選 n小片水塘種植品種 A A,另外n小 片水塘種植品種 B. （1 1）假設n=4=4,在第一大片水塘中，種植品種 A A 的小片水塘的數(shù)目記為 ，求的分布列和 數(shù)學期望; （2 2）試驗時每大片水塘分成 8 8 小片，即n=8=8,試驗結束后得到品種 A A 和品種 B B 在每個小片 水塘上的每畝產(chǎn)量（單位： kg/kg/畝）如下表： 號碼 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 品種 A A 10

59、1101 9797 9292 103103 9191 100100 110110 106106 品種 B B 115115 107107 112112 108108 111111 120120 110110 113113 分別求品種 A A 和品種 B B 的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差； 根據(jù)試驗結果，你認為應該種 植哪一品種？ 【解析】（1 1） 可能的取值為 0 0,1,21,2,3,4. ,3,4. （1 1 分）P P（$ $：= =0 0） ,卩（匚=1）=洱二16 C C8 8 7070 C8 8 70 可取12缶4 臨=2)= 霍 Cl =3_ 珂雋 5 1 2 3 4 P 1 2 3 10 3 20 1 20 U）分 用心愛心專心 29 的數(shù)學期望為 E