MATLAB改進歐拉法與四階龍格-庫塔求解一階常微分方程

1、姓名：樊元君 學號：2012200902 日期：2012.11.06 一、實驗目的 掌握MATLAB語言、C/C+語言編寫計算程序的方法、掌握改進歐拉法與四階龍格-庫塔求解一階常微分方程的初值問題。掌握使用MATLAB程序求解常微分方程問題的方法。二、實驗內(nèi)容1、分別寫出改進歐拉法與四階龍格-庫塔求解的算法，編寫程序上機調(diào)試出結(jié)果，要求所編程序適用于任何一階常微分方程的數(shù)值解問題，即能解決這一類問題，而不是某一個問題。 實驗中以下列數(shù)據(jù)驗證程序的正確性。 求，步長h=0.25。2、實驗注意事項的精確解為，通過調(diào)整步長，觀察結(jié)果的精度的變化三、程序流程圖： 改進歐拉格式流程圖： 四階龍格庫塔流程

2、圖：四、源程序： 改進后歐拉格式程序源代碼：function = GJOL(h,x0,y0,X,Y)format longh=input(h=);x0=input(x0=);y0=input(y0=);disp(輸入的范圍是：);X=input(X=);Y=input(Y=);n=round(Y-X)/h); i=1;x1=0;yp=0;yc=0;for i=1:1:n x1=x0+h;yp=y0+h*(-x0*(y0)2);%yp=y0+h*(y0-2*x0/y0);%yc=y0+h*(-x1*(yp)2);%yc=y0+h*(yp-2*x1/yp);%y1=(yp+yc)/2;x0=x1;

3、y0=y1;y=2/(1+x02);%y=sqrt(1+2*x0);%fprintf(結(jié)果=%.3f,%.8f,%.8fn,x1,y1,y);end end 四階龍格庫塔程序源代碼：function = LGKT(h,x0,y0,X,Y)format longh=input(h=);x0=input(x0=);y0=input(y0=);disp(輸入的范圍是：);X=input(X=);Y=input(Y=);n=round(Y-X)/h); i=1;x1=0;k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;for i=1:1:n x1=x0+h;k1=-x0*y02;%k1=y0-2*x0/y0;

4、%k2=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k1)2);%k2=(y0+h/2*k1)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k1);%k3=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k2)2);%k3=(y0+h/2*k2)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k2);%k4=(-(x1)*(y0+h*k3)2);%k4=(y0+h*k3)-2*(x1)/(y0+h*k3);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%x0=x1;y0=y1;y=2/(1+x02);%y=sqrt(1+2*x0);%fprintf(結(jié)果

5、=%.3f,%.7f,%.7fn,x1,y1,y);end end五、運行結(jié)果：改進歐拉格式結(jié)果：四階龍格庫塔結(jié)果：步長分別為：0.25和0.1時，不同結(jié)果顯示驗證了步長減少，對于精度的提高起到很大作用，有效數(shù)字位數(shù)明顯增加。六、實驗小結(jié)： 通過這次實驗學習，首先第一點對改進歐拉格式和四階龍格庫塔的原理推導有了深入的理解，改進歐拉格式采用（預報+校正）模式得到較精確的原函數(shù)數(shù)值解；而四階龍格庫塔則采用多預報幾個點的斜率值，采用加權(quán)平均作為平均斜率的近似值的思想達到更高精度的數(shù)值解，二階龍格庫塔的特例就是改進后的歐拉格式。七、思考題： 如何對四階龍格-庫塔法進行改進，以保證結(jié)果的精度。答：可以通過計算結(jié)果的精度處理步長來保證結(jié)果的精度。（1）步長折半。對于給定精