分式方程的解法及應用提高導學案+習題含答案知識分享

1、分式方程的解法及應用(提高)【學習目標】1 .了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程.2 .會列出分式方程解簡單的應用問題.【要點梳理】要點一、分式方程的概念分母中含有未知數的方程叫分式方程.要點詮釋：(1)分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數.(2)分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(不是一般的字母系數).分母中含有未知數的方程是分式方程，分母中不含有未知數的方程是整式方程.(3)分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉化為整式方程要點二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉化為整式方程.轉化方法是方程兩邊都乘以最

2、簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產生增根，所以解分式方程時必須驗根解分式方程的一般步驟：(1)方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母)；(2)解這個整式方程，求出整式方程的解；(3)檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0,則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0,則這個解不是原分式方程白解，原分式方程無解要點三、解分式方程產生增根的原因方程變形時，可能產生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根產生增根的原因：去分母時，方程兩

3、邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根.要點詮釋：(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產生的.根據方程的同解原理，方程的兩邊都乘以(或除以)同一個不為0的數，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數是0,那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根(2)解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.要點四、分式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程

4、解應用題.列分式方程解應用題按下列步驟進行：(1)審題了解已知數與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數量關系；(2)設未知數；(3)找出能夠表示題中全部含義的相等關系，列出分式方程；(4)解這個分式方程；(5)驗根，檢驗是否是增根；(6)寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程【高清課堂分式方程的解法及應用例1】卜列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？為什么?(1)2x137995x7(2)3T2-(3)山42y2【答案與解析】(4)35x21解：(1)雖然方程里含有分母，但是分母里沒有未知數，所以不是分式方程;(2)具備分式方程的三個特征，是分式方程；(3) 3y4沒有等號，所以不

5、是方程，它是一個代數式;2y2(4)方程具備分式方程的三個特征，是分式方程.特別提醒：(3)題是一個代數式，不是方程，容易判斷錯誤；【總結升華】 整式方程與分式方程的區(qū)別在于分母里有沒有未知數,程， 沒有未知數的就是整式方程.類型二、解復雜分式方程的技巧02、解方程：旦衛(wèi)士x4x3x5x1【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分，/日3x13x1得,(x4)(x3)(x5)(x1)有未知數的就是分式方3x1(x4)(x3)3x1(x5)(x1)(3x1)1(x4)(x3)1(x5)(x1)3x10,或一(x4)(x3)1(x5)(x1)，人一1由3x10,解得x23(x4)(x3)(x5)(x

6、1)0,解得x7.x2代入由分式方程轉化得的整式方程求出m的值.(2)將分式方程轉化成整式方程后,經檢驗：x1r 一、x7是原方程的根3【總結升華】若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘(x4)(x3)(x5)(x1),去分母后的整式方程的解很難求出來.注意方程左右兩邊的分式的分子、分母,可以采用先把方程的左右兩邊分別通分的方法來解.舉一反三：1【變式】解方程x4【答案】11111.x7x5x611-5x4x5x6x7兩邊同時通分得(x5)(x4)(x7)(x6),(x4)(x5)(x6)(x7)(x4)(x5)(x6)(x7)因為兩個分式分子相同，分式值相等，則分式分母相等.所以(x4)(x5)(x6)

7、(x7),2一一2一_x9x20 x13x42,x29x20 x213x420,4x220,11x.211檢驗：當xa時，(x4八567).11、x一是原方程的根.【高清課堂分式方程的解法及應用例3】、一23、(1)若分式方程-x2k1(2)若分式方程與mxx241-2xx有增根，求m值；x2k5令有增根x1,求k的值.xx【思路點撥】(1)若分式方程產生增根，則(x2)(x2)0,即x2或x把x1代入解出k的值.【答案與解析】解：(1)方程兩邊同乘(x2)(x2),得2(x2)mx3(x2).(m1)x10.10 x1m由題意知增根為x2或x2,m4或m6.(2)方程兩邊同乘x(x1)(x1

8、),得(k1)x(x1)(k5)(x1).3xk4.k4x3增根為x1,k4d1.3k1.【總結升華】(1)在方程變形中，有時可能產生不適合原方程的根，這種根做作原方程的增根.在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；(2)這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值.舉一反三：【變式】已知關于x的方程2ax1無解，求a的值.x33x【答案】解：方程兩邊同乘(x3)約去分母，得(32x)(2ax)(x3),即(a1)x2.;x30,即x3時原方程無解，一一5(a1)32,a5.3當a10時，整式方程(a1)x2無解，當a1時，原方程無解.5綜上所述，當

9、a一或a1時，原方程無解.3類型四、分式方程的應用【高清課堂分式方程的解法及應用例3】C4、某市在道路改造過程中，需要鋪設一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個工程隊來完成這一工程.已知甲工程隊比乙工程隊每天能多鋪設20米，且甲工程隊鋪設350米所用的天數與乙工程隊鋪設250米所用的天數相同.101m2或工1m2.答：慢車、快車白速度分別為46km/h、69km/h.【鞏固練習】一.選擇題1.下列關于x的方程中，是分式方程的是（A.xnx（1）甲、乙工程隊每天各能鋪設多少米？（2）如果要求完成該項工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊分配工程量（以百米為單位）的方案有幾種？請你幫助設計出來

10、.【思路點撥】（1）題中的等量關系是甲工程隊鋪設350米所用的天數與乙工程隊鋪設250米所用的天數相同.（2）由工期不超過10天列出不等式組求出范圍.【答案與解析】解：（1）設甲工程隊每天能鋪設X米，則乙工程隊每天能鋪設x20米.一350250一根據題意，得3500-.解得x70.xx20經檢驗，x70是原分式方程的解且符合題意.故甲、乙兩工程隊每天分別能鋪設70米和50米.（2）設分配給甲工程隊y米，則分配給乙工程隊1000y米.10,由題意，得701000y50方案一：分配給甲工程隊方案二：分配給甲工程隊方案三：分配給甲工程隊所以分配方案有3種.解得500Wy0且mw3C.m6.解答題xm

11、13.已知關于x的方程2有一個正數解，求m的取值范圍.x3x314 .甲工人工作效率是乙工人工作效率的2倍，他們同時加工1500個零件，甲比乙提前18個小時完工，問他們每人每小時各加工多少個零件？15 .從甲地到乙地有兩條公路，一條是全長600千米的普通公路，另一條是全長480千米的高速公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度每小時快45千米，由高速公路從甲地到乙地所需時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半.求該客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度.【答案與解析】一.選擇題x2x3m,x6m,x0且x3,解得m6二.填空題17 .【答案】1;2211【斛析】將x1

12、代入一3,解得m-.mx28 .【答案】4;【解析】原式化簡得x2x4a,將x4代入，解得a4.9.【答案xa2b61.2.3.4.5.6.【答案】C;【解析】分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數【答案】B;【解析】原式化簡為10 x10a【答案】D;11【解析】c,b,1b1a【答案】B【解析】將x1代入m1x【答案】A；8ax8a,1八、一代人解得a55.0,解得m2.【解析】工工工 2,所以R上包R1RR2RR2R2R【解析】原方程化簡為512.【答案】三；11【解析】設這個分數為a,-,a2bb12b25分數是-.11三.解答題13 .【解析】解：方程兩邊同乘(x3)約去分母,得x2(x3)m.整理，得x6m.m0,6m0,x30,6m30.解得m6且m3,當m6且m3時，原方程有一個正數解.14 .【解析】解：設乙工人每小時加工x個零件，甲工人每小時加工5x個零件,2,口15001500“18_5一18-x,解得x50.25【解析】原方程化簡為a2b64x,所以xa2b610.【答案】2V1V2v1v2【解析】由題意上山和下山的平均速度為:2sssVl