平穩(wěn)性與功率譜密度

1、 第3章 平穩(wěn)性與功率譜密度有一類極為重要的隨機信號，它的主要（或全部）統(tǒng)計特性關(guān)于參量保持“穩(wěn)定不變”，這種隨機信號被稱為平穩(wěn)隨機信號。本章討論：1）嚴(yán)格與廣義平穩(wěn)性；循環(huán)平穩(wěn)性；2）平穩(wěn)信號相關(guān)函數(shù)的特性；有關(guān)物理意義；3）平穩(wěn)信號的功率譜密度與互功率譜密度；4）白噪聲及其實例熱噪聲=Ch.3 平穩(wěn)性與功率譜密度Ch.3 平穩(wěn)性與功率譜密度3.1 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性3.2 循環(huán)平穩(wěn)性3.3 平穩(wěn)信號的相關(guān)函數(shù)3.4 功率譜密度與互功率譜密度3.5 白噪聲與熱噪聲=平穩(wěn)性（Stationarity）:隨機信號的主要（或全部）統(tǒng)計特性對于參量保持不變的特性稱。包括嚴(yán)格平穩(wěn)性與廣義平穩(wěn)性。=定義

2、3.1 若的任意n維分布函數(shù)具有：任意，滿足的任意值，與，下式恒成立則稱是嚴(yán)格平穩(wěn)（SSS）信號（或強平穩(wěn)信號）。概率密度函數(shù)描述形式：=嚴(yán)格平穩(wěn)信號X(t)具有如下特性：1. 一階分布、密度函數(shù)與均值都與時間t無關(guān)；2. 二維分布與密度函數(shù)與兩個時刻的絕對位置無關(guān)，只與它們的相對差有關(guān)。=通常采用的等價形式，為相對差，是核心變量，稱為絕對位置。=定義3.2 若的均值與相關(guān)函數(shù)存在且：（1）均值為常數(shù)：（2）相關(guān)函數(shù)與兩時間參量中無關(guān)，即：則稱它是廣義平穩(wěn)（WSS）信號（或弱平穩(wěn)信號、或?qū)捚椒€(wěn)信號），簡稱平穩(wěn)信號。=一階密度函數(shù)平穩(wěn)性示例 相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)性示例=嚴(yán)格平穩(wěn)性與廣義平穩(wěn)性之間關(guān)系：如

3、果廣義平穩(wěn)信號是高斯信號，則廣義平穩(wěn)信號也是嚴(yán)格平穩(wěn)信號。關(guān)于離散隨機信號（或隨機序列）的平穩(wěn)性問題，只需要將連續(xù)時間變量t換為離散時間n。=£ 平穩(wěn)性是隨機信號的統(tǒng)計特性對參量（組）的移動不變性，即平穩(wěn)隨機信號的測試不受觀察時刻的影響；£ 應(yīng)用與研究最多的平穩(wěn)信號是廣義平穩(wěn)信號；£ 嚴(yán)格平穩(wěn)性因要求太“苛刻”，更多地用于理論研究中；£ 經(jīng)驗判據(jù)：如果產(chǎn)生與影響隨機信號的主要物理條件不隨時間而改變，那么通?？梢哉J(rèn)為此信號是平穩(wěn)的。£ 非平穩(wěn)信號：當(dāng)統(tǒng)計特性變化比較緩慢時，在一個較短的時段內(nèi)，非平穩(wěn)信號可近似為平穩(wěn)信號來處理。如語音信號：，人們普

4、遍實施1030ms的分幀，再采用平穩(wěn)信號的處理技術(shù)解決有關(guān)問題。=定理3.1 廣義平穩(wěn)高斯信號必定是嚴(yán)格平穩(wěn)信號。證明：因為：均值為常數(shù)，和對于任何，下式恒成立：因此，該信號是嚴(yán)格平穩(wěn)的。=例3.1 設(shè)獨立高斯信號U(t)的一維密度函數(shù)為其中與為常數(shù)。試分析其平穩(wěn)性。=解：依獨立性，有： 上式與各個參量本身無關(guān)，也與這組參量的平移無關(guān)。所以U(t)是嚴(yán)格平穩(wěn)信號。結(jié)論：同分布獨立信號必是嚴(yán)格平穩(wěn)信號。=例3.2 試說明2.2節(jié)各例的平穩(wěn)性。解：根據(jù)各個信號的均值、相關(guān)函數(shù)與概率特性,容易得出：（1） 伯努利信號是嚴(yán)格平穩(wěn)信號，也是廣義平穩(wěn)信號；（2） 隨機正弦信號（該例條件下）是廣義平穩(wěn)信號；

5、（3） 半隨機二進制傳輸信號與泊松信號是非平穩(wěn)的。=例3.3 討論乘法調(diào)制信號：，其中， X(t)是實廣義平穩(wěn)信號，是確定量，相位在-,+均勻分布，與X(t)統(tǒng)計獨立。試討論Y(t)的廣義平穩(wěn)性。=解：調(diào)制器輸出信號的均值為相關(guān)函數(shù)為Y(t)是廣義平穩(wěn)的。=定義3.3 聯(lián)合嚴(yán)格平穩(wěn)性定義為隨機信號X(t)與Y(t)的任意（n+m）階聯(lián)合分布函數(shù)滿足下面公式：其中，各個時間參量與狀態(tài)的取值（在相應(yīng)定義域中）是任意的。 上述定義可以改用X(t)與Y(t)的密度函數(shù)給出。=定義3.4 聯(lián)合廣義平穩(wěn)性定義為X(t)與Y(t)分別是廣義平穩(wěn)的，且滿足下面公式：=例3.4 討論例3.3中乘法調(diào)制器的輸入與

6、輸出信號的互相關(guān)函數(shù)與聯(lián)合平穩(wěn)性。解：由例3.3，互相關(guān)函數(shù)為因此，輸入與輸出信號是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的，并且正交。注意：如果振蕩不是隨機相位的，則輸出信號可能不是平穩(wěn)的，輸入與輸出信號不會正交，也不會聯(lián)合廣義平穩(wěn)。=定義3.5 嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)性（SSCS）：過程的任意n階概率分布函數(shù)具有下述的周期性，即，其中k為任意整數(shù)，T為正常數(shù)，稱為X(t)的循環(huán)周期。（注意：這里的T與我們常使用的參數(shù)集T是不同的含義。）=定理3.2 若X(t)是周期為T的嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過程，與X(t)獨立，在0,T)上均勻分布，則是嚴(yán)格平穩(wěn)的，且其任意n維分布為：=證明：因與X(t)獨立：=所以，如果我們令觀察時刻移動任意值，

7、 =關(guān)于各個參量是T的周期函數(shù)有，故，是嚴(yán)格平穩(wěn)信號。=定義3.6 廣義循環(huán)平穩(wěn)（WSCS）：過程的均值與相關(guān)函數(shù)具有下述的周期性，即，其中k為任意整數(shù)，T為正常數(shù)，稱為X(t)的循環(huán)周期。=定理3.3 若X(t)是周期為T的廣義循環(huán)平穩(wěn)過程，是0,T)上均勻分布的獨立隨機變量，則是廣義平穩(wěn)的，且=證明：首先利用條件均值、X(t)與統(tǒng)計獨立特性均值： 常數(shù)=相關(guān)函數(shù)：是廣義平穩(wěn)信號。=平穩(wěn)性與循環(huán)平穩(wěn)性之間的關(guān)系：1. 嚴(yán)格平穩(wěn)過程可以看作嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過程，而其循環(huán)周期可以是任意值。2. 嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過程通過在其循環(huán)周期內(nèi)均勻滑動后，變?yōu)閲?yán)格平穩(wěn)過程。=例3.5 半隨機二進制傳輸過程，如前面2

8、.2節(jié)所述。討論它的循環(huán)平穩(wěn)性。解：（1） X(t)是廣義循環(huán)平穩(wěn)過程，因為：X(t)的均值為常數(shù)。=（2）X(t)是嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過程由于不同時隙上的取值彼此統(tǒng)計獨立并具有相同的分布，該聯(lián)合事件的概率取決于觀察時刻之間的相對關(guān)系：任取觀察時刻組，和周期T，有：注意：樣本周期性與統(tǒng)計特性周期的區(qū)別=例3.6 繼續(xù)討論乘法調(diào)制信號：，X(t)是實平穩(wěn)過程，是確定量，D與X(t)統(tǒng)計獨立且在上均勻分布。（1）Y(t)的循環(huán)平穩(wěn)性。（2）Z(t)的平穩(wěn)性。=解：（1）均值與相關(guān)函數(shù)的周期是，的周期是Y（t）是循環(huán)平穩(wěn)信號，周期為。=（2）由定理可得是廣義平穩(wěn)過程，并且，=乘法調(diào)制器理想乘法調(diào)制器模型：

9、實際乘法調(diào)制器模型：D與X(t)統(tǒng)計獨立且在上均勻分布。=性質(zhì)1 實平穩(wěn)信號的相關(guān)函數(shù)滿足：（1） 實偶函數(shù)，即；證明： =（2） 原點處非負并達到最大，即，與；證明：利用，令，有 即，。=（3） 若，則是周期為的周期函數(shù)；這時稱為周期平穩(wěn)信號；證明：令， 得到， 有，即，以為周期。=（4） 若，且不公約，則為常數(shù)；證明： 既以為周期，又以為周期，而是不公約的，因此只能是常數(shù)。=（5） 若在原點處連續(xù)，則它處處連續(xù)；證明：令 有。于是，即處處連續(xù)。=下圖中，上排由左至右，各圖形分別違背了性質(zhì)的（3）、（4）與（1）項；下排左、右兩圖形分別違背了性質(zhì)的（2）與（5）項。=性質(zhì)2 若是平穩(wěn)信號，則

10、（1） ；（2）性質(zhì)3 若與聯(lián)合平穩(wěn)信號，則（1）（2）=1. 若信號含有平均分量（均值），則含有固定分量。式指明了這點；2. 若信號含有周期分量，則將含有同樣周期的周期分量。周期特性可如下說明：=等價于，“信號依均方意義（也依概率為1）呈現(xiàn)周期性”的充要條件是“是周期函數(shù)”，這種信號稱為周期平穩(wěn)信號。3. 若信號不含有任何周期分量，則隨機變量與的關(guān)聯(lián)程度會隨著間距的增大而逐漸減小，直至無關(guān)。=性質(zhì)4 實際應(yīng)用中的非周期平穩(wěn)信號，一般都滿足，與 等價于，與 其它主要參數(shù)： =4. 使用與表示關(guān)聯(lián)性，定義相關(guān)時間(correlation time)，使得以后，其中通常定為0.05。有時用矩形等效

11、形式來定義相關(guān)時間， 與一般不相等，它們都示出了相關(guān)性有無的大致分界處。=例3.7 工程應(yīng)用中平穩(wěn)信號的自相關(guān)函數(shù)為試估計其均值、均方值和方差。解：信號X(t)通常被視為兩個平穩(wěn)信號U(t)與V(t)的和，U(t)與V(t)的自相關(guān)函數(shù)分別為與。U(t)是X(t)的非周期分量，可得=V(t)是周期分量，可認(rèn)為此分量的均值。于是， 所以，的均值為10、均方值為300、方差為200。信號的能量與功率： 物理意義：電路中的電流或電壓信號，在單位（1歐姆）電阻上的消耗的能量或功率信號有兩種類型：1）能量型信號的有限，而為；2）功率型信號的有限，而為無窮。希望考察信號的能量或功率沿軸的密度狀況，即，考慮

12、給定頻率處，單位帶寬上所具有的能量或功率1）對能量型信號，能量譜密度為：物理意義：表示能量沿頻率軸的密度狀況，其總和是總能量。2）對于功率型信號，功率譜密度為：是截斷信號的傅里葉變換物理意義：表示功率沿頻率軸的密度狀況，其總和是總功率。對于隨機信號可先考慮某個樣本函數(shù)，再進行統(tǒng)計平均。因為幾乎總是功率型的，因此，只考慮功率與功率譜密度。如果細致的考慮樣本函數(shù)，可定義樣本功率與樣本功率譜， 它們都是隨機的。顯然，注意：時域與頻域都用了大寫，請由自變量來區(qū)分。如果是平穩(wěn)信號，那么并且，維納辛欽Wiener-Khintchine定理：定義3.7 平穩(wěn)信號的自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換， 為其功率譜密度，簡

13、稱功率譜。物理含義可以理解為：如果在某個處比較大，則信號中含有較多的頻率分量；如果在某個處，則信號中不含有該頻率分量。例3.8 已知隨機信號的功率譜為，求自相關(guān)函數(shù)與均方值。解：首先進行分解，均方值為。例3.9 正弦信號的功率譜。解：由相關(guān)函數(shù)為， 可見它是正的實偶函數(shù)，信號的功率全部集中在頻率處。與確定信號不同的是，隨機信號的頻域分析主要是考察它的功率譜，而非信號譜。考慮 相位的不確定性，使的傅里葉變換是隨機的， 易見，它的統(tǒng)計平均為零。而的功率譜為，雖然損失了相位特性，但有效地給出信號成份的分布。性質(zhì)1 功率譜總是正的實偶函數(shù)。利用該性質(zhì)，可以判別功率譜表達式的正確性。比如，可能為虛數(shù)；可

14、能為負，而且它也不是偶函數(shù)。因此，它們都不是正確的功率譜表達式。由于與都是實偶函數(shù)， 鑒于偶函數(shù)特點，應(yīng)用中經(jīng)常使用單邊功率譜： 1. 互功率譜密度定義3.8 聯(lián)合平穩(wěn)信號互功率譜密度為互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換， 物理意義：如果很大，表明相應(yīng)頻率分量關(guān)聯(lián)度很高；如果表明相應(yīng)頻率分量是正交的。性質(zhì)2 互功率譜具有對稱性：；而。1） 兩種互功率譜的實部相同，而虛部反號；2） 實信號的互相關(guān)函數(shù)為實函數(shù)，因此，互功率譜的實部都是偶函數(shù)，虛部都是奇函數(shù)。 例3.10 討論（加性）單頻干擾：受到加性的獨立正弦分量的干擾（是在上均勻分布）。解：首先，對于， 正交性使得交叉項為零。通過傅里葉變換可得，從的功率

15、譜中可以清楚地看到單頻干擾成份。定義3.9 若廣義平穩(wěn)信號，恒有： 或 則稱它是（平穩(wěn)）白噪聲信號（White noise signal），簡稱白噪聲或白信號。任意非白色噪聲為有色噪聲（Colored noise），簡稱色噪聲。通常總是零均值的，因此，。白噪聲有時也通俗地稱為“純隨機的”：1）無限帶寬的理想隨機信號，2）功率（即方差）為無窮大，3）而不同時刻上彼此不相關(guān)， 若白噪聲的每個隨機變量都服從高斯分布，則稱它為高斯白噪聲（WGN, White Gaussian noise）。它也是獨立信號，代表著信號“隨機性”的一種極限。如果序列，恒有，或 ，則稱它是白噪聲序列。高斯白噪聲序列是獨立序列，利用獨立性，很容易寫出它的任意階密度函數(shù)。例3.11 方差為的高斯白序列。試求：（1）相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)；（2）n維密度函數(shù)。解：首先，作為高斯白噪聲，也是同分布的獨立信號。于是，例3.12 討論隨機相位正弦信號的廣義平穩(wěn)條件。：變量A的均值為，方差為，的特征函數(shù)為，與X(t)統(tǒng)計獨立。解：計算均值與自相關(guān)函數(shù)。首先當(dāng)且僅當(dāng)時，（常數(shù)）。當(dāng)且僅當(dāng)時， 上式0， 隨機相位的正弦信號廣義平穩(wěn)的充要條件是：。 此時，1）；2）。比如當(dāng)時，。例3.13 討論乘法調(diào)制信號的功率譜。：，X(t)為實廣