形形色色的曲線頁

1、形形色色的曲線目錄1.用折紙法畫拋物線 22.用折紙法畫橢圓 23.百發(fā)百中 34.雙曲線為攝影師幫忙45.杰尼西亞的耳朵 56.用三角板畫拋物線 67.用三角板畫橢圓 68.垂足曲線和反垂足曲線 79.擺線 910.擺線滑梯 911.最速降線 1012.滾珠蕩秋千 1113.利用擺線板畫擺線 1214.擺線時鐘 1215.短幅擺線和長幅擺線 1416.直線運動和旋轉運動的合成 1417.卡丹的轉盤問題 1518.內擺線 1519.曲線之星 1620.外擺線 1721.曲線之心 1822.利用三角板畫心臟線 1823.帕斯卡的蝸牛 1924.利用三角板畫蝸線 2025.蝸線是外擺線 2126.

2、變幅外擺線 2127.變幅內擺線 2828.套藤圈 361.用折紙法畫拋物線拋物線是與一個定點F及一條定直線a的距離相等的點的軌跡，F叫做這條拋物線的焦點，a叫做它的準線拋物線用圓規(guī)和直尺是作不出來的，可是用一張矩形的紙卻可以“折出”一段拋物線. 有一張矩形紙片，設它的一條邊為準線a，在紙片內部居中的地方取一個點F作為焦點，用筆在F的位置上做好記號，然后把紙片折一次，使得a邊正好通過F, 然后抹平紙片，得到一條折痕l(為了看得清楚，不妨用筆把直線l描出來)繼續(xù)這樣折下去，得到若干條折痕，你會發(fā)現這些折痕“圍出”一條拋物線的輪廓只要畫一條與這些折痕都相切的光滑曲線，就能得到所要畫的拋物線了. 這

3、種方法很有趣, 每條折痕都是這條拋物線的一條切線若干條折痕包圍住同一條拋物線，就把這條拋物線的輪廓清楚地顯示出來了.2.用折紙法畫橢圓橢圓是到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡，這兩個定點叫做橢圓的焦點，橢圓能不能用折紙法作出呢? 也能具體作法如下. 先用圓規(guī)在紙上畫一個圓，再沿圓剪下一張圓紙片來設圓心是O，在圓內任取一點F(不能取O)，用筆在F的位置做上記號把圓紙片翻起一角，使圓周正好通過F, 然后抹平紙片，得到一條折痕l(為了看得清楚，用筆把l描出來)這樣繼續(xù)折下去，就得到若干條折痕，你會發(fā)現，這些折痕圍出一個橢圓的輪廓畫一條與這些折痕都相切的光滑曲線，就得到所要畫的橢圓了, 而且F和O

4、就是橢圓的焦點.3.百發(fā)百中用硬紙做一個橢圓形的盒子，并且在橢圓形盒底的一個焦點上放一粒鈕扣，作為子彈，在另一個焦點處豎立一個鋼筆套，作為靶子，你不需要瞄準，把鈕扣子彈沿著盒底面內的任何方向彈射出去，經過盒壁反射后，都一定命中靶子，真是不折不扣的百發(fā)百中呢!這個游戲的原理，在物理方面是利用了反射定律，在數學方面是利用了橢圓的切線和法線的性質，反射定律告訴我們，當一束光線被平面鏡反射時，反射光線與鏡面法線的夾角(反射角)，總是等于入射光線與法線的夾角(入射角)，當反射鏡的表面形狀是曲面時，可以把一小塊曲面近似地當成一小塊平面，因而“反射角等于入射角”這一定律仍然適用現在我們的盒底是橢圓形的，而橢

5、圓的法線有一個特殊的性質：若P是橢圓上的任意點，F1和F2是兩個焦點，則法線PN平分因此，如果有一束光線沿F2P方向射到橢圓上，經反射后一定沿PF1方向射出. 因為P是橢圓上的任意點，所以從一個焦點F2沿任何方向射出的光線， 經過橢圓反射后都通過另一個焦點F1，把射出光線換成射出鈕扣，經過橢圓盒壁反射后，那當然總是會擊中放在另一個焦點F2處的鋼筆套!4.雙曲線為攝影師幫忙雙曲線是到兩個定點的距離之差等于定長的點的軌跡，這兩個定點叫做雙曲線的焦點. 把雙曲線繞著兩個焦點的連線在空間旋轉一周，所得到的曲面叫做旋轉雙葉雙曲面有一種燈具的反射鏡的表面就是做成這種曲面的形狀這種鏡面有一個特點，把光源放在

6、一個焦點上，那么它所發(fā)出的光線經過鏡面反射以后，好像都是從另一個焦點發(fā)出來似的 這樣做出的燈具有什么好處呢? 原來在室內拍照片時，由于自然光線不足，常常需要借助閃光燈或其它照明燈具為了把被攝對象照得更亮，攝影師總想把燈盡可能放近些但自然光線接近于平行光線，因而均勻柔和; 而燈光則是中心放射式的，燈放得越近，光線的放射性效應越明顯為了既獲得足夠的亮度，又使光線盡可能地均勻柔和，專門為攝影師設計的照明燈，就往往利用雙曲線的光學性質，把反光鏡的表面做成旋轉雙葉雙曲面的形狀，并讓燈絲恰好位于焦點處5.杰尼西亞的耳朵據傳說，在意大利西西里島上有一個山洞，很久以前，敘拉古的暴君杰尼西亞把他的一些囚犯關在這

7、個山洞里囚犯們多次密謀逃跑，但是每次的計劃都會被杰尼西亞發(fā)現. 起初，囚犯們懷疑自己的同伴中有內奸他們彼此指責，互相猜疑，但始終沒有發(fā)現任何一個囚犯告密后來, 漸漸覺察到, 囚禁他們的山洞形狀古怪，洞壁把囚犯們的話都反射到獄卒的耳朵里去了囚犯們詛咒這個山洞是“杰尼西亞的耳朵”從上圖可看出, 山洞的剖面近似于橢圓，犯人聚居的地方恰好在一個焦點附近獄卒在另一個焦點偷聽，無論囚犯們怎樣壓低嗓門，他們的聲音照樣會被獄卒聽得清清楚楚!這個傳說表明，橢圓形的反射面不但能使從一個焦點發(fā)出的光線在另一個焦點會聚，而且能使從一個焦點發(fā)出的聲音在另一個焦點會聚. 人們曾經發(fā)現一個古希臘音樂廳的墻壁正是橢圓形的，樂

8、池位于一個焦點附近，在這個音樂廳里，樂隊演奏的聲音會在另一個焦點重新會聚起來. 美國有一個教堂也有類似的設計，這種設計的出發(fā)點不得而知. 其實聲音的聚焦并不是好事，因為在另一焦點附近的聽眾固然連演奏或演講者的細聲慢語都能聽見；但是在室內的其它地方，音響效果卻差得多，因而在現代, 當設計音樂廳、影劇院、大會堂等大型建筑物時，建筑設計人員都很注意避免聲音聚焦6.用三角板畫拋物線拋物線也可利用三角板來畫，其方法既有趣，又實用取一點F, 并且作一條不通過F的直線a讓三角板的一條直角邊LM通過定點F，直角頂點M放在直線a上的任一點處，然后沿另一條直角邊MN畫直線，就得到所要作的拋物線的一條切線用同樣方法

9、再畫出若干條直線，最后再畫一條與這些直線都相切的光滑曲線，就得到了所要畫的拋物線了7.用三角板畫橢圓畫一個輔助圓，設圓心是O；在圓內另外再取一點F讓三角板的一條直角邊通過F，直角頂點M落在輔助圓上的任意點處，然后沿著另一直角邊MN畫出一條直線照這樣畫法畫出若干條直線以后，再畫一條與這些直線都相切的光滑曲線，就得到一個橢圓若圖中的F點在圓外，那么用同樣的作法得到的就是雙曲線的一支.8.垂足曲線和反垂足曲線利用三角板畫曲線的方法，不但可以用來畫拋物線、橢圓和雙曲線，而且可以用來畫許多其它曲線。這種畫法是有垂足曲線和反垂足曲線作為背景的在圖中有一條曲線c， 設M是平面曲線c上的任意點，O是這平面內的

10、一個定點過M作曲線c的切線MT；再作OPMT，垂足為P當M沿曲線c移動時，垂足P也畫出一條曲線s，s就叫做曲線c關于O點的垂足曲線，反過來，c叫做曲線s關于O點的反垂足曲線 圖中的可以用三角板來實現，這就是三角板畫法的本質. 具體地說，讓三角板的一條直角邊通過O點，另一條直角邊與曲線c相切，這時直角頂點P的位置就指出了c關于O點的垂足曲線s. 如果讓三角板的一條直角邊通過0點，直角頂點P在曲線s上移動，這時另一條直角邊就給出了一族直線與這些直線都相切的光滑曲線，就是s關于O點的反垂足曲線c 根據前面幾節(jié)的討論，可以知道，拋物線關于焦點的垂足曲線是直線，橢圓和雙曲線關于焦點的垂足曲線都是圓. 反

11、過來，直線關于線外一點的反垂足曲線是拋物線，圓關于圓內一點的反垂足曲線是橢圓，關于圓外一點的反垂足曲線是雙曲線. 正是利用這些性質，設計出了利用三角板畫拋物線、橢圓和雙曲線的方法.9.擺線 當動圓C沿著定直線l滾動(沒有滑動)時，動圓上一點M所畫出的曲線叫做擺線，又叫旋輪線擺線在它與定直線1的兩個相鄰交點之間的部分叫做一個拱；擺線的最高點到定直線的距離2r(動圓的直徑)叫做拱高我們騎自行車時，滾動車輪的邊緣上的一點就在空中畫出一條擺線車輪每旋轉一周，該點就畫出擺線的一拱10.擺線滑梯把半拱擺線OMA連同y軸一起翻轉到x軸下方來，并且連結OA，就做成了兩個滑梯：一個是普通滑梯，它的滑道是斜線OA

12、；另一個是擺線滑梯，它的滑道是擺線弧OMA如果在O點有甲、乙兩人，甲沿普通滑梯滑下，乙沿擺線滑梯滑下，兩人同時開始滑動，問：誰先滑到底? 你大概會回答是甲吧，錯了! 你的回答一定是因為甲走過的路程較短但是請你細想一下，現在的問題是誰花的時間最少，這就不但與路程長短有關，而且跟滑行的速度有關了甲沿著斜線OA下滑，是做勻加速運動，速度從0開始，緩慢而均勻地增大; 乙沿擺線下滑，速度也是從0開始，但是剛開始滑行就是一段陡坡，速度迅速增大，使得乙的滑行速度比甲快，雖然比甲多走一點路，但究竟誰先到達終點，就很難說了! 如果乙的路線選擇得非常巧妙，速度增大得又快，路程的長度增加得又少，為什么不可以先滑到底

13、呢? 假定滑梯是絕對光滑的，兩人從O點開始下滑時，初速度是0, 并用g來表示重力加速度. 可以算出, 對于普通滑梯, 甲滑完全程所需的時間是, 對于擺線滑梯, 乙滑完全程所需的時間是. 因為, 所以普通滑梯上的人甲后到終點, 而擺線滑梯上的人乙先到終點.11.最速降線 歐洲的數學界在十七世紀時盛行一種挑戰(zhàn)的風氣：一個人公開提出一個或一些數學難題，大家都來做，看誰做得快、做得對、做得好. 1696年，瑞士數學家約翰貝努利提出一個難題, 向全歐洲的數學家挑戰(zhàn). 題目的大意是：設在豎直平面內有一條曲線，一個質點由于重力的作用，從這條曲線的較高的端點沿曲線下滑到較低的端點，問這條曲線是什么形狀時，滑行

14、所需的時間最短(摩擦和空氣阻力都忽略)? 這就是著名的“最速降線”問題 設兩個端點在豎直平面內的直角坐標是(0，0)和(a, b)，曲線方程是y=f(x)，曲線要通過這兩點, 所以f(0)=0, f(a)=b. 經計算, 質點沿曲線y=f(x)滑行所需的時間是. 問題歸結為求函數y=f(x)，滿足條件f(0)=0, f(a)=b，并且使上述定積分取最小值 這個問題看上去好象是個很普通的極值問題，但只要仔細一分析，就知道它非同尋常人們熟知的極值問題，是函數已經確定，再求函數的極大值或極小值而現在是不知道函數的表達式，要求出一個函數，使得整個式子達到極小很顯然，這是一種嶄新的問題，因而用當時所知道

15、的各種數學工具，包括微分法在內，都難以對付這種陌生而復雜的極值問題. 經過一番努力，這個問題還是有幾個人解出來了. 解答者除去挑戰(zhàn)人約翰貝努利自己之外，還有牛頓、萊布尼茲和約翰的哥哥雅各貝努利等，答案就是倒放的擺線弧，沿擺線弧滑下，比任何曲線都快. 這個問題帶來了意外的收獲，那就是在這個解法的基礎上，后來發(fā)展成為一門非常有用的數學新分支變分法在變分法教材里可以找到最速降線是擺線的證明，不過我們通過前面對擺線滑梯的計算，也可對擺線在最速降線問題中的優(yōu)越地位略知一二了12.滾珠蕩秋千 有一塊鋼板，鋼板上方有一條光滑的擺線槽，取一粒適當大小的滾珠，放在這擺線槽中的任意位置，例如圖中的M點處當捏著滾珠

16、的手指松開以后，滾珠就會像蕩秋千一樣，沿著擺線槽來回擺動試選擇不同的M點放開滾珠，并注意觀察滾珠連續(xù)兩次通過擺線槽最低點K的間隔時間，你就會發(fā)現一個奇怪的現象：盡管M點的高低不同，但是滾珠來回擺動一次所花的時間竟沒有變! 這個性質叫做擺線的等時性，是十七世紀荷蘭物理學家惠更斯發(fā)現的. 經計算可知，滾珠沿擺線槽來回擺動一次所用的時間是, 其中r是產生擺線的輪子的半徑, 而g是重力加速度。因此, 上述時間值是與M點的位置無關的常數13.利用擺線板畫擺線設木板OAB的輪廓線，在OA部分是擺線的半拱弧，AB為拱高. 用一段沒有伸縮性的柔軟細線繃緊在擺線弧OA上. 現在把線的一端固定在O點，另一端系一個

17、小環(huán)，用筆尖套在A端的小環(huán)里拉緊細線，并且移動筆尖，使細線從A端開始逐漸離開擺線板而伸直，一直到整個細線剛好完全伸直為止這時筆尖將畫出圖中虛線所示的曲線弧AK可以證明, 弧AK也是擺線的半拱弧，并且其拱高與原擺線的拱高相等，區(qū)別只在于弧OA是前半拱，弧KA是后半拱，并且位置不同14.擺線時鐘 我們已經從滾珠蕩秋千的游戲中認識到擺線的等時性，又通過利用擺線板畫擺線的問題知道了怎樣利用繃緊在擺線板上的細線畫出新的擺線把這兩項知識結合起來，就可以理解著名的擺線時鐘問題了鐘擺在滴答聲中來回擺動一次，每次擺動所用的時間必須嚴格地相等，才能保證計時的準確性通常時鐘的鐘擺是把擺錘掛在擺桿上，沿圓弧來回擺動由

18、于各種因素的影響，鐘擺每次擺動的幅度不可能保持絕對不變而當擺錘沿圓弧擺動時，來回擺動一次所用的時間與擺動幅度有關：擺幅越小，擺動一次的時間越短能不能設計一種鐘擺，使它每擺動一次所用的時間不受擺幅大小的影響，始終保持常數呢? 同滾珠蕩秋千的游戲比較，滾珠相當于這里的擺錘，所以只要設法讓擺錘不是沿圓弧擺動，而是沿擺線弧擺動，就能使擺動周期嚴格保持一定，不受擺幅變化的影響. 又根據利用擺線板畫擺線問題的答案，只要像圖中那樣, 把擺錘懸掛在長為4r(擺線半拱的弧長)的能彎曲但不能伸長的細線上，懸掛點的兩邊各放一塊擺線擋板，使擋板的曲線輪廓是拱高為2r的半拱擺線，這樣就能保證擺錘沿著圖中虛線所示的擺線弧

19、擺動無論擺幅大小如何，擺錘沿這擺線弧來回擺動一次，所用的時間都是. 十七世紀物理學家惠更斯發(fā)現了擺線的等時性以后，就用它來設計出這種巧妙的擺線時鐘的. 擺線這個名稱，正是由于這種曲線被應用于改進鐘擺而得來的15.短幅擺線和長幅擺線 當動圓C沿著定直線l滾動時，固定在圓C的平面內但不在圓上的一點M所畫出的曲線叫做變幅擺線變幅擺線可以分成兩類：當M點固定在圓C內部時，曲線稱為短幅擺線；當M點在圓C外部時，曲線稱為長幅擺線，又叫做余擺線 短幅擺線與x軸無公共點, 而長幅擺線與x軸相交，并且有一部分弧出現在y軸下方從圖可看出，長幅擺線自己繞成許多小圈，叫做繞扣，每個繞扣都被x軸分成上下兩截，并且長幅擺

20、線與x軸的任何交點都在繞扣上 在日常生活中很容易找到變幅擺線的實例還是以自行車為例，當一個人推著自行車往前走時，旁觀者就可以看到車輪鋼圈內側的氣門帽慢慢地描繪出一條短幅擺線16.直線運動和旋轉運動的合成 在擺線和變幅擺線的定義中，M點的運動是由兩種簡單運動合成的：一個是圓心C沿著l的一條平行線作直線運動，另一個是線段CM繞C點旋轉設直線運動的速度是u，旋轉的角速度是，那么由于動圓C沿定直線l滾動時沒有滑動，因而u=r.在日常生活和工農業(yè)生產中，還容易看到很多物體，它們一面繞自己的旋轉軸作旋轉運動，一面又隨著汽車、輪船、拖拉機、自行車等作直線運動這些同時作旋轉運動和直線運動的物體，促使我們考慮一

21、個更復雜的軌跡問題：動點C沿直線m勻速運動，速度為u, 同時有一固定長線段CM=a繞C點勻速旋轉，角速度為, 求M的軌跡注意這個問題與擺線中M點運動的區(qū)別在于直線運動的速度u和旋轉的角速度是互相獨立的，并不一定滿足u=a通俗地講，就是在形成曲線的過程中，圓C與直線可產生滑動.結論: 當圓C的半徑a=時，M的軌跡為擺線；當a時, M的軌跡為長幅擺線.17.卡丹的轉盤問題 意大利數學家卡丹(1501-1576)曾經提出如下的轉盤問題：當一個圓盤沿著一個半徑是它的兩倍的圓盤內壁無滑動地旋轉時，小圓盤的邊緣上的一點畫出怎樣的圖形? 可以證明，小圓盤的邊緣上的任一點的軌跡是大圓盤的一條直徑我們還可證明，

22、小圓盤內部任一點和外部任一點的軌跡都是橢圓由于卡丹的轉盤問題研究兩個圓，其中的小圓在大圓內部無滑動地滾動，并且大圓半徑恰好是小圓半徑的兩倍，所以有時也把這樣的一對圓叫做卡丹圓偶18.內擺線 已知半徑為R的定圓O和半徑為r的動圓O1，這里rR當圓O1在圓O內無滑動地滾動時，圓O1上一點M的軌跡叫做內擺線19.曲線之星當時的內擺線有四個尖角，像夜空中一顆光芒四射的星，因此叫做星形線星形線, 的任意切線夾在兩坐標軸間的線段等于定長R由此可得到星形線的一種簡便畫法：任意作若干條長度為R的線段，使它們的兩端分別在x軸和y軸上, 然后在每個象限里畫一段光滑曲線弧，使它們與這些線段相切，就得到所要畫的星形線

23、如果一條曲線弧與一族直線中的每條直線都相切，并且曲線弧上每一點都是一個切點，就說這曲線弧是這族直線的包絡前面畫出的拋物線、橢圓、雙曲線和星形線，都是某一直線族的包絡20.外擺線已知半徑為R的定圓O和半徑為r的動圓O1 當圓O1在圓O外無滑動地滾動時，圓O1上一點M的軌跡叫做外擺線21.曲線之心 當動圓半徑與定圓半徑相等時，外擺線的形狀像一顆心臟，叫做心臟線心臟線的發(fā)現者是荷蘭數學家考爾斯瑪(十七世紀末)，命名者是意大利學者卡斯提龍(十八世紀) 用手指按住一枚分幣不動，并使另一枚同樣大小的分幣繞著它滾動，第二枚分幣邊緣上的每一點都畫出一條心贓線.心臟線的簡便畫法: 作圓C, 其半徑為r. 在圓C

24、上取一個定點A 過A任作直線, 交圓C于點P. 在直線AP上向P點兩側取PM=PN=AB, 這里, AB是圓C的直徑, 則M和N是心臟線上的兩點. 繼續(xù)這樣作出若干個點, 便可根據它們描出心臟線來.22.利用三角板畫心臟線只要先畫一個輔助圓，就能利用三角板畫出一條心臟線來。設輔助圓為圓C在圓周上任取一點O, 讓三角板的一條直角邊通過O點，另一條直角邊與圓C相切，這時三角板的直角頂點M就是心臟線上的一個點繼續(xù)這樣作出心臟線上的若干個點，最后只要用光滑曲線把這些點連起來就行了(但O點處有一個尖角)因此, 心臟線是一個圓關于圓周上的一點的垂足曲線.23.帕斯卡的蝸牛在用英語寫的數學書里，有一種曲線被

25、叫做Pascals limacon, 但是這里的limacon卻不是一個英語單詞，而是一個法語單詞，意思是蝸牛蝸牛是法國人愛吃的一種佳肴，這里是指曲線的形狀像蝸牛這里的Pascal不是十七世紀著名的法國數學家和物理學家布來茲帕斯卡，而是他的父親愛田帕斯卡如果從字面上直譯，這種曲線的名稱就成為“帕斯卡的蝸?！?，不過作為數學術語，卻要把它譯成帕斯卡蝸線，簡稱蝸線. 心臟線是蝸線的特例 蝸線可以用下面的幾何方式來定義：已知半徑為r的定圓，O是這個圓上的一個定點過O點任意作直線交這圓于第二點N，在直線ON上向N點兩側截取NM=NM1=l, 其中l(wèi)為定長，則點M和M1的軌跡叫做帕斯卡蝸線 當l2r時，曲

26、線既沒有繞扣，也沒有尖點24.利用三角板畫蝸線先作一個半徑為l的輔助圓，設圓心為A再在平面內取一點O，設OA=2r讓三角板的一條直角邊與圓A相切(切點為D)，另一條直角邊通過O點，則三角板的直角頂點M就是蝸線上的一個點. 繼續(xù)這樣求出若干點后，就可根據它們描出蝸線來了因此, 定圓關于它所在的平面內的任一定點的垂足曲線是帕斯卡蝸線當定點在圓外時(2rl)，得到有繞扣的蝸線；當定點在圓周上時(2rl)，得到有尖點的蝸線，即心臟線；當定點在圓內時(2rl)，得到既無繞扣又無尖點的蝸線當定點為圓心這一特殊情形時，r0, 垂足曲線仍為原來的圓A25.蝸線是外擺線 設動圓C和定圓O的半徑相等，P是在動圓平

27、面內與動圓固定連接的一點當圓C在圓O外面繞著圓O無滑動地滾動時，P點的軌跡是一條帕斯卡蝸線. 當P點在動圓C外部時，得到帶繞扣的蝸線; 當P在動圓C上時，得到帶尖點的蝸線，即心臟線; 當P在動圓C內部時，得到既無繞扣又無尖點的蝸線26.變幅外擺線設圓O是一個定圓，圓O1是與圓O相切的動圓，M是固定在圓O1所在的平面內的一點，但不在圓01上當圓O1在圓O外面繞圓O無滑動地滾動時，M的軌跡叫做變幅外擺線變幅外擺線可分成兩類：當M在動圓01內部時，曲線叫做短幅外擺線；當M在動圓O1外部時，曲線叫做長幅外擺線例如，當動圓與定圓相等時，長幅外擺線成為帶繞扣的帕斯卡蝸線，短幅外擺線是既無繞扣又無尖點的蝸線，而外擺線則是帶尖點的蝸線，即心臟線變幅外擺線和外擺線統(tǒng)稱為外擺線族曲線1.2. 3. 4. 5. 27.變幅內擺線 設rR. 當半徑為r的動圓Ol在半徑為R的定圓O內無滑動地滾動時，在圓O1所在的平面內與圓Ol固定連結但不在O1上