拋物線與等腰三角形教師用

1、拋物線與等腰三角形(簡(jiǎn)單)1、（2011東營(yíng)）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90°，AC0+OAC=90°，BCD=CAO，又BDC=COA=9°，CB=AC，BDCCAO，BD=OC=1，CD=OA=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

2、（3，1）；（2）拋物線y=ax2ax2過(guò)點(diǎn)B（3，1），1=9a3a2，解得：a=12，拋物線的解析式為y=12x212x2；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得ACP是直角三角形，若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1Mx軸，如圖（1），CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90°，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P1（1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=12x212x2上；若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2

3、Ny軸，如圖（2），同理可證AP2NCAO，NP2=OA=2，AN=OC=1，P2（2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（2，1）也在拋物線y=12x212x2上；若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過(guò)點(diǎn)P3作P3Hy軸，如圖（3），同理可證AP3HCAO，HP3=OA=2，AH=OC=1，P3（2，3），經(jīng)檢驗(yàn)P3（2，3）不在拋物線y=12x212x2上；故符合條件的點(diǎn)有P1（1，1），P2（2，1）兩點(diǎn)2（2009年廣西崇左市）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)，點(diǎn)，如圖所示：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1

4、）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；BACxy（0，2）（1，0）（第25題）（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)（點(diǎn)除外），使仍然是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由BADCOMNxyP1P225（1）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，；1分又，2分3分點(diǎn)的坐標(biāo)為；4分（2）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則得到，5分解得，所以拋物線的解析式為；7分（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得仍然是以為直角邊的等腰直角三角形：若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，得到等腰直角三角形，8分過(guò)點(diǎn)作軸，；10分，可求得點(diǎn)；11分若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)作，且使得，得到等腰直角三角形，12分過(guò)點(diǎn)作軸，同理可證；13分，可求得

5、點(diǎn)；14分經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)與點(diǎn)都在拋物線上16分3、(2011年浙江省衢州市)已知兩直線，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B，并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y正半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)K，如圖所示。(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸被直線，拋物線，直線和x軸依次截得三條線段，問(wèn)這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。(難）(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請(qǐng)找出使MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡(jiǎn)述理由，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)。ABC:CDKEFOyx(第24題)3、(1)解法1：由題意易知：BOCCOA ，即 點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，) 由題

6、意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 把A(1，0)，B(，0)的坐標(biāo)分別代入，得 解這個(gè)方程組，得 拋物線的函數(shù)解析式為 解法2：由勾股定理，得 又OB=3，OA=1，AB=4 點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，) 由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，把C(0，)代入 函數(shù)解析式得，所以，拋物線的函數(shù)解析式為(2)解法1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF 理由如下： 可求得直線的解析式為，直線的解析式為 拋物線的對(duì)稱軸為直線 由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0) KD=，DE=，EF= KD=DE=EF解法2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF 理由如

7、下： 由題意可知RtABC中，ABC=30°，CAB=60°，則可得 ， 由頂點(diǎn)D坐標(biāo)(，)得 KD=DE=EF=(3)解法1：(i)以點(diǎn)K為圓心，線段KC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，交拋物線于點(diǎn)，由拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)為點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn) 點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，此時(shí)為等腰三角形 (ii)當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段CK長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)A，而三點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形 (iii)作線段KC的中垂線l，由點(diǎn)D是KE的中點(diǎn)，且，可知l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D， KD=DC 此時(shí)，有點(diǎn)即點(diǎn)D坐標(biāo)為(，)，使為等腰三角形； 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時(shí)，MCK為等腰三

8、角形。解法2：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時(shí)，MCK為等腰三角形。 理由如下： (i)連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，) 又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)，則GCAB 可求得AB=BK=4，且ABK=60°，即ABK為正三角形 CGK為正三角形 當(dāng)與拋物線交于點(diǎn)G，即AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(，) (ii)連接CD，由KD=，CK=CG=2，CKD=30°，易知KDC為等腰三角形 當(dāng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為(，) (iii)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM=CK，但點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形 綜上所述，

9、當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時(shí)，MCK為等腰三角形。4、（2011湖州）如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)P（0，m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；(未解決)（3）設(shè)過(guò)P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2），當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（不必寫(xiě)解答過(guò)程）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾何綜合題；分類討論。分析：（1）證明RtPMCRtDM

10、B，即可證明DB=2m，AD=4m，從而求解；（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三種情況，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）運(yùn)動(dòng)時(shí)，路線長(zhǎng)不變，可以取當(dāng)P在O點(diǎn)是，求解即可解答：解：（1）由題意得CM=BM，PMC=DMB，RtPMCRtDMB，（2分）DB=PC，DB=2m，AD=4m，（1分）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4m）（1分）（2）分三種情況若AP=AD，則4+m2=（4m）2，解得m=32（2分）若PD=PA過(guò)P作PFAB于點(diǎn)F（如圖），則AF=FD=12AD=12（4m）又OP=AF，m=12（4m）m=43（2分）若PD=DA，PMCDMB，PM=12PD=12AD=12（4m），P

11、C2+CM2=PM2，（2m）2+1=14（4m）2，解得m1=23，m2=2（舍去）（2分）綜上所述，當(dāng)APD是等腰三角形時(shí)，m的值為32或43或23（3）點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為54（2分）點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的到大知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果24、(2010北京)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B（2，）在這條拋物線上.（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)P點(diǎn)作軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE到點(diǎn)D，使得ED=PE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角

12、三角形PCD（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)、D點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）.當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長(zhǎng)；若P點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）.過(guò)Q點(diǎn)作軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)QF到點(diǎn)M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)、N點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）.若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻的值.24. 解：(1) 拋物線y= -x2+x+m2-3m+2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，m2-3

13、m+2=0，解得m1=1，m2=2， 由題意知m¹1，m=2，拋物線的解析式為y= -x2+x，點(diǎn)B(2，n)在拋物線y= -x2+x上，n=4，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，4)。 OABCDEPyx圖1(2) j 設(shè)直線OB的解析式為y=k1x，求得直線OB的解析式為 y=2x，A點(diǎn)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，可求得A點(diǎn)的 坐標(biāo)為(10，0)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，0)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為 (a，2a)，根據(jù)題意作等腰直角三角形PCD，如圖1?？汕?得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3a，2a)，由C點(diǎn)在拋物線上，得 2a= -´(3a)2+´3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0 (舍去)，

14、OP=。 k 依題意作等腰直角三角形QMN，設(shè)直線AB的解析式為y=k2x+b，由點(diǎn)A(10，0)， 點(diǎn)B(2，4)，求得直線AB的解析式為y= -x+5，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰 直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況： 第一種情況：CD與NQ在同一條直線上。如圖2所示。可證DPQ為等腰直角三 角形。此時(shí)OP、DP、AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、4t、2t個(gè)單位。PQ=DP=4t， t+4t+2t=10，t=。 第二種情況：PC與MN在同一條直線上。如圖3所示。可證PQM為等腰直角三 角形。此時(shí)OP、AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位。OQ=10-2t，F(xiàn)點(diǎn)在 直線AB上，

15、FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10，t=2。 第三種情況：點(diǎn)P、Q重合時(shí)，PD、QM在同一條直線上，如圖4所示。此時(shí)OP、 AQ的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位。t+2t=10，t=。綜上，符合題意的圖4yxBOQ(P)NCDMEF t值分別為，2， 。xyOAM(C)B(E)DPQFN圖3ExOABCyPMQNFD圖2CxyABODG29如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB3，BC2，直線yx2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)G（1）點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是C（ ），D（ ）；（2）求頂點(diǎn)在直線yx2 上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D的拋物線的解析式；（3）將（2）中的拋物線沿直線yx

16、2 平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為點(diǎn)E平移后是否存在這樣的拋物線，使EFG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由29解：（1）C（4，2），D（1，2）4分（2）拋物線經(jīng)過(guò)C（4，2）、D（1，2）兩點(diǎn)由拋物線的對(duì)稱性可知，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 又頂點(diǎn)在直線yx2 上，y×2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）設(shè)拋物線的解析式為ya(x)2，把D（1，2）代入，得a拋物線的解析式為y(x)2 8分（3）存在設(shè)拋物線沿直線yx2平移后的拋物線的頂點(diǎn)為E（m，m2）CxyABODGFEH則平移后拋物線的解析式為y(xm)2m2令x0，得ym2m2F（0，m2m2）對(duì)于yx2

17、，令x0，得y2G（0，2）當(dāng)m0時(shí)i）若EFEG，則 m2m2(m2)m2(2)解得m0（舍去）或mCxyABODGFE此時(shí)拋物線的解析式為y(x)2ii）若FGEG，則 m2m2(2)2m解得m0（舍去）或m此時(shí)拋物線的解析式為y(x)2CxyABODGFEiii）若FGEF，則EFG120°（不合題意，舍去）當(dāng)m0時(shí)，EFG為鈍角當(dāng)EFG為等腰三角形時(shí)，只能GFEF2(m2m2)m解得m0（舍去）或m此時(shí)拋物線的解析式為y(x)2 12分63如圖，已知以點(diǎn)A（2，1）為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0）（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)E為拋物線上

18、一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作直線y2的垂線，垂足為N探索、猜想線段EN與ED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；是否存在這樣的點(diǎn)E，使EDN為等邊三角形？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由y2AOBDyx（備用圖）y2AOBDyENx63解：（1）設(shè)拋物線的解析式為ya(xh)2k拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1）且過(guò)點(diǎn)B（4，0）ya(x2)21，且04a1，a 3分拋物線的解析式為y(x2)21x2x 4分（2）猜想：ENED 5分證明：易得D（2，0）6分當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，ED2，EN2，ENED當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)，ED2，EN2，ENED當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，ED1，EN1，ENED 7分y2AOBDyENx（

19、上述三種情況未討論或討論不完整，扣1分）當(dāng)點(diǎn)E不與B、O、A重合時(shí)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2x），EN交x軸于點(diǎn)F在RtDEF中，DE 2DF 2EF 2(x2)2y 28分又ENy2，EN 2y 24y4y 24(x2x)4y 2x24x4(x2)2y 2 9分ENED綜上所述，ENED 10分（3）存在11分當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)，EDN為直角三角形，點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，EDN為鈍角三角形所以只有當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，EDN才可能為等邊三角形（注意：未作上述說(shuō)明不扣分）方法一：若EDN為等邊三角形，ENEDDN，且ENx軸EFFN2，yx2x2 12分解得x2±2 13分點(diǎn)E的坐標(biāo)為（22，2

20、）和（22，2）14分方法二：若EDN為等邊三角形，ENEDDN，且ENx軸EFD30°，EFFN2 12分在RtDEF中，cotEDFDFEF·cotEDF2×cot30°2 13分DA是拋物線的對(duì)稱軸，且D（2，0）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（22，2）和（22，2）14分OBAxyC100如圖，一次函數(shù)y4x4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求四邊形ABDC的面積；（3）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC、BC于點(diǎn)M、N問(wèn)在x

21、軸上是否存在點(diǎn)P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由100解：（1）對(duì)于一次函數(shù)y4x4令x0，得y4，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）1分令y0，得x1，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）2分把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入yx2bxc，解得b，c4拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2x4 3分（2）yx2x4(x1)2OBAxyCD頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）4分A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x1對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）5分連接CD、BD、ODS四邊形ABDCSOACSOCDSOBD 6分×4×1×4×1×3×12 7分（3）存

22、在方法一：MNx軸，CMNCAB，OBAxyCMNHP2P1當(dāng)MPMN或NPMN時(shí)，設(shè)MNa，則 a2 8分i）當(dāng)PMN90°時(shí)MPOC，AMPACO，即 ，OPP1（，0）9分ii）當(dāng)PNM90°時(shí)NPOC，BNPBCO，即 ，OPOBAxyCMNHP3GQP2（，0）10分當(dāng)MPN90°，PMPN時(shí)作PQMN，垂足為Q，則PQQMQN設(shè)PQd，則QMQNd，MN2d由，得 d 11分過(guò)點(diǎn)N作NGx軸，垂足為G，則PQGNQNPGNGOC，BNGBCO，即 ，BG1OPOBBGPG31P3（，0）12分綜合、，存在滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，坐標(biāo)分別是：P1（，0）、

23、P2（，0）、P3（，0）方法二：由點(diǎn)B（3，0）、C（0，4）得直線BC的解析式為yx4MNx軸，CMNCAB，當(dāng)MPMN或NPMN時(shí)，設(shè)MNa，則 a2 8分i）當(dāng)PMN90°時(shí)把y2代入直線AC的解析式y(tǒng)4x4，得xMMPOC，xPxMP1（，0）9分ii）當(dāng)PNM90°時(shí)把y2代入直線BC的解析式y(tǒng)x4，得xNxPxNP2（，0）10分當(dāng)MPN90°，PMPN時(shí)過(guò)點(diǎn)P作PQMN，垂足為Q，則PQQMQN設(shè)PQd，則QMQNd，MN2d由 ，得 d 11分把y分別代入直線AC、BC的解析式得xM，xQ2由對(duì)稱性得，xQPQy軸，xPxQP3（，0） 12分綜

24、合、，存在滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，坐標(biāo)分別是：P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）111如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B（2，3）是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BCx軸交拋物線于點(diǎn)C，連接BO、CA，若四邊形OACB是平行四邊形（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，試在線段AC上找出這樣的點(diǎn)P，使PBD是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的直線把平行四邊形OACB的面積分為1 : 3兩部分，求該直線的函數(shù)關(guān)系式BAxOyCD111解：（1）四邊形OACB是平行四邊形，點(diǎn)B（2，3）是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，BCOABAxOyCDA（4，0），C（6，3）2分設(shè)

25、所求拋物線為yax2bxc，依題意，得 解得： 3分所求的拋物線函數(shù)關(guān)系式為yx2x 4分（2）設(shè)線段AC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為yk1xb1，依題意，得 解得： 5分直線AC的函數(shù)關(guān)系式為yx6 6分yx2x(x2)21拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）7分若PBPD，則點(diǎn)P是線段BD的垂直平分線與線段AC的交點(diǎn)BD314，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1把y1代入yx6，得xP（，1）8分若BDPD，設(shè)P（x，x6）則42(x2)2( x61)2，得xx4，不合題意，舍去；46，符合題意x把x 代入yx6，得yP（，）9分（3）由條件可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且把OACB的面積分為1 : 3兩部分的直線有兩條設(shè)拋物線的對(duì)稱

26、軸與x軸交于點(diǎn)ESOACBOA·BD4×312，SOBEOD·BD×2×33直線x2為所求 11分設(shè)符合條件的另一直線分別與x軸、BC邊交于點(diǎn)F（x1，0）、G（x2，3）則FA4x1，GC6x2BAxOyCDEFGS四邊形ACGF(4x16x2)×3×12即x1x28 BCx軸，DEFDBG，即4x1x26 由、解得x1，x2F（，0），G（，3）13分設(shè)直線DF的函數(shù)關(guān)系式為yk2xb2，則 解得：直線DF的函數(shù)關(guān)系式為yx綜上所述，所求直線為x2或yx 14分113如圖1，直線yx3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)

27、B、C兩點(diǎn)的拋物線yx2bxc與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連結(jié)AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）當(dāng)0x3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E，使CBE的面積有最大值（圖2、圖3供畫(huà)圖探究）AOCBxyP圖3AOCBxyP圖2AOCBxyP圖1113解：（1）直線yx3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)CB（3，0），C（0，3）AOCBxyPM

28、2M1M3M4拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn) 解得：該拋物線的解析式為yx24x3 2分（2）M1（2，7），M2（2，21），M3（2，），M4（2，21）6分（3）令yx24x30，解得x11，x23B（3，0），A（1，0）OBOC3，BC3，ABC45°yx24x3(x2)21，頂點(diǎn)P（2，1）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，則F（2，0）FBFP1，BP，F(xiàn)BP45°AOCBxyPQ1Q2FFBPABC若點(diǎn)Q在點(diǎn)B左側(cè)當(dāng) 時(shí)，PBQABCBQ·BP×3Q1（0，0）8分當(dāng) 時(shí)，QBPABCBQ·BP×Q2（，0）10分若點(diǎn)

29、Q在點(diǎn)B右側(cè)PBQ180°FBP135°，BAC180°(ABCACB)135°以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形不可能與ABC相似綜上，在x軸上存在兩點(diǎn)：Q1（0，0）和Q2（，0），使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似 12分AOCBxyPEF（4）當(dāng)0x3時(shí)，在此拋物線上任取一點(diǎn)E連接CE、BE，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線FE，交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E（x，x24x3），則F（x，x3）EFx3(x24x3)x23xSCBES梯形CEFSBEFEF·OB(x23x)·3x2x(x)2當(dāng)x 時(shí)，SCBE有最大值yx24x3E（，）14分151

30、如圖，拋物線yax22axc（a0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QEAC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ，當(dāng)CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）問(wèn)是否有這樣的直線l，使得ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由AOBxQCDEy151解：（1）由題意，得 1分解得： 2分所求拋物線的解析式為yx2x4 3分（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)E作EGx軸于點(diǎn)GyAOBxQCDElPHG

31、F由yx2x4，得x14，x22點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）4分AB6，BQ2mQEAC，BQEBAC，即 ，EG 5分SCQESCBQSEBQBQ·COBQ·EG(2m)(4 )m2m 6分(m1)23又4m2當(dāng)m1時(shí)，SCQE有最大值3，此時(shí)Q（1，0）8分（3）存在.在ODF中若DFDO，A（4，0），D（2，0），ADDODF2又在RtAOC中，OAOC4，OAC45°DFAOAC45°，ADF90°此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）由x2x42，得x11，x21此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1，2）或P（1，2）9分若FDFO，過(guò)點(diǎn)F作FHx軸于點(diǎn)H由

32、等腰三角形的性質(zhì)得：HODO1，AH3在等腰直角AFH中，F(xiàn)HAH3，F(xiàn)（1，3）由x2x43，得x11，x21此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1，3）或P（1，3）10分若OFOD，OAOC4，且AOC90°，AC4點(diǎn)O到AC的距離為2，而OFOD22此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得ODF是等腰三角形 11分綜上所述，存在這樣的直線l，使得ODF是等腰三角形，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1，2）或P（1，2）或P（1，3）或P（1，3）12分24、（2011湖州）如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)P（0，m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線

33、PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；（3）設(shè)過(guò)P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2），當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（不必寫(xiě)解答過(guò)程）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾何綜合題；分類討論。分析：（1）證明RtPMCRtDMB，即可證明DB=2m，AD=4m，從而求解；（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三種情況，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）運(yùn)動(dòng)時(shí)，路線長(zhǎng)不變，可以取當(dāng)P在O點(diǎn)是，求解即可解答：解：（1）由題意得CM=BM，PMC=DM

34、B，RtPMCRtDMB，（2分）DB=PC，DB=2m，AD=4m，（1分）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4m）（1分）（2）分三種情況若AP=AD，則4+m2=（4m）2，解得m=32（2分）若PD=PA過(guò)P作PFAB于點(diǎn)F（如圖），則AF=FD=12AD=12（4m）又OP=AF，m=12（4m）m=43（2分）若PD=DA，PMCDMB，PM=12PD=12AD=12（4m），PC2+CM2=PM2，（2m）2+1=14（4m）2，解得m1=23，m2=2（舍去）（2分）綜上所述，當(dāng)APD是等腰三角形時(shí)，m的值為32或43或23（3）點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為54（2分）ABC:CDKEFOyx(第24題)點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的到大知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果24、(本題12分)已知兩直線，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B，并且當(dāng)兩直線