第一章12復(fù)數(shù)的幾何表示wsj

1、第二節(jié) 復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考2一、復(fù)平面一、復(fù)平面1. 復(fù)平面的定義復(fù)平面的定義. . , , , . ),( 面面面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來表示復(fù)數(shù)的平這種用來表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫虛軸或叫虛軸或縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來表示復(fù)數(shù)用來表示復(fù)數(shù)的平面可以的平面可以一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系因此因此對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)成一一成一一與有序?qū)崝?shù)對(duì)與有序?qū)崝?shù)對(duì)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 32. 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值或絕對(duì)值) , 的?；蚪^對(duì)

2、值的?；蚪^對(duì)值向量的長(zhǎng)度稱為向量的長(zhǎng)度稱為 z , 表示表示可以用復(fù)平面上的向量可以用復(fù)平面上的向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)OPiyxz . 22yxrz 記為記為xyxyoiyxz Pr顯然下列各式成立顯然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 43. 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在說明說明,0有無窮多個(gè)輻角有無窮多個(gè)輻角任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù) z , 1是其中一個(gè)輻角是其中一個(gè)輻角如果如果 ).( 2Arg1為任意整數(shù)為

3、任意整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特殊地特殊地的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z輻角不確定輻角不確定.5輻角主值的定義輻角主值的定義:.arg , Arg , )0( 000zzz 記作記作的主值的主值稱為稱為的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中輻角的主值輻角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,64. 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的兩個(gè)復(fù)

4、數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致加減法運(yùn)算一致. .75. 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì);)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之間的距離之間的距離和和表示點(diǎn)表示點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)閦zzz 1z2z21zz xyo1z2z. 實(shí)軸對(duì)稱的實(shí)軸對(duì)稱的復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于在在和和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)zzxyoiyxz iyxz 8利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ,sin,cos ryrx復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz 復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式再利用歐拉公式,sincos i

5、ei 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成 irez 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式歐拉介紹歐拉介紹6.6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示9,.21)1 2)1iii 求求下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的模模 輻輻角角及及輻輻角角主主值值例例1例例21)1222)sincos55zizi 將將下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)化化為為三三角角表表示示式式和和指指數(shù)數(shù)表表示示式式10,.21)1 2)1iii 求求下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的模模 輻輻角角及及輻輻角角主主值值例例1(0, 1, 2,)k (0, 1, 2,)k 12, arg( 1)4ii ( 1)(21) ,4Argik 解：解：212,1iii 21

6、argarg(1)14iii 21rg2,14iAki 111)1222)sincos55zizi 將將下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)化化為為三三角角表表示示式式和和指指數(shù)數(shù)表表示示式式1)1244rz23argarctan()arctan312566z 故故56554cos()sin()466izie 于于是是例例2解：解：121)1222)sincos55zizi 將將下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)化化為為三三角角表表示示式式和和指指數(shù)數(shù)表表示示式式222)sincos155rz310sincos55cos()sin()2525iziie 故故例例2解：解：13練習(xí)：練習(xí)：求下列復(fù)數(shù)的模與幅角主值：求下列復(fù)數(shù)的模與幅

7、角主值：1.3zi 12.32zi 求下列復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式求下列復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式. .3.13zi 4.122zi 14 21.312z 1argarctan63z 132322.3232321313iiiii22321131313z 2argarctan3z 解：解：153.132i arg 133i /3132 cossin233iiie 4.1221244i5arctan6z 5 /6551224 cossin466iiie . .16例例2 2. , 0 ,sincos1 的輻角的主值的輻角的主值并求并求式式三角表示式與指數(shù)表示三角表示式與指數(shù)表示化為化為把復(fù)數(shù)

8、把復(fù)數(shù)ziz 解解 sincos1iz 2cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式三角式)(指數(shù)式指數(shù)式).2arg z17例例4 4.(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 證明證明為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)證證21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 18 221zz 2221zz )R

9、e(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因?yàn)橐驗(yàn)閮蛇呁瑫r(shí)開方得兩邊同時(shí)開方得.2121zzzz 19例例6 6. 222111表示表示線用復(fù)數(shù)形式的方程來線用復(fù)數(shù)形式的方程來的直的直與與將通過兩點(diǎn)將通過兩點(diǎn)iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的直線的方程的直線的方程與與通過兩點(diǎn)通過兩點(diǎn)yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t參數(shù)參數(shù)所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為)(121zztzz ),( t參數(shù)參數(shù)20 ,21的直線段的參數(shù)方程為的直線段的參數(shù)方程為

10、到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為得線段得線段zz.221zzz 21例例8 8求下列方程所表示的曲線求下列方程所表示的曲線:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡為為距離距離表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn)方程方程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓方程圓方程2222)2( ziz.22距離相等的點(diǎn)的軌跡距離相等的點(diǎn)的軌跡和和表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn) i. 22段的

11、垂直平分線段的垂直平分線的線的線和和連接點(diǎn)連接點(diǎn)故方程表示的曲線就是故方程表示的曲線就是 i , iyxz 設(shè)設(shè),22 yixiyix化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè),)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲線方程為所求曲線方程為23二、復(fù)球面二、復(fù)球面1. 南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點(diǎn)點(diǎn)取一個(gè)與復(fù)平面切于原取一個(gè)與復(fù)平面切于原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , NS點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過通過 . , 為南極為南極為北極為北極我們稱我

12、們稱SNxyPNOS24 球面上的點(diǎn)球面上的點(diǎn), 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù). 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)球面.2. 復(fù)球面的定義復(fù)球面的定義我們規(guī)定我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大無窮大”與與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作記作 . 因而球因而球面上的北極面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大就是復(fù)數(shù)無窮大 的幾何表示的幾

13、何表示. 253. 擴(kuò)充復(fù)平面的定義擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, , 或簡(jiǎn)稱復(fù)平面或簡(jiǎn)稱復(fù)平面. .復(fù)球面的優(yōu)越處復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來.對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù) 來說來說, 實(shí)部實(shí)部,虛部虛部,輻角等概念均無輻角等概念均無意義意義, 它的模規(guī)定為正無窮大它的模規(guī)定為正無窮大. 26 : 的四則運(yùn)算規(guī)定如下的四則運(yùn)算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 減法減

14、法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法27三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的各種表示法各種表示法. 并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面復(fù)平面. 注意注意：為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，引入了：為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，引入了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮大無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮大這個(gè)復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng)這個(gè)復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng), 所謂所謂無窮大無窮大是指模為正無窮大（輻角無意義）是指模為正無窮大（輻角無意義）的唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的的唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的無窮大無窮大或或正、負(fù)正、負(fù)無窮大無窮大混為一談混為一談28思考題思考題是否任意復(fù)數(shù)都有輻角是否任意復(fù)數(shù)都有輻角?29思考題答案思考題答案否否. . , 0 的情況特殊的情況特殊唯有唯有 z它的模為零而輻角不確定它的模為零而輻角不確定.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .30Leonhard EulerBorn: 15 April 1707 in Basel, SwitzerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia歐拉資料歐拉資料31萊昂哈德歐拉（LeonhardEuler，170