空間角的求法學(xué)生版

1、空間角的求法空間角，能比較集中反映空間想象能力的要求，歷來為高考命題者垂青，幾乎年年必考?？臻g角是異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角總稱?？臻g角的計(jì)算思想主要是轉(zhuǎn)化：即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計(jì)算轉(zhuǎn)化到三角形邊角關(guān)系或是轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解?？臻g角的求法一般是：一找、二證、三計(jì)算。一、異面直線所成角的求法異面直線所成的角的范圍：（一）平移法【例1】已知四邊形為直角梯形，平面，且，求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大小?！敬鸢浮浚ǘ┭a(bǔ)形法A1C1CBAB1D【變式練習(xí)】已知正三棱柱的底面邊長為8，側(cè)棱長為6，為中點(diǎn)。求異面直線 與所成角的余弦值?！敬鸢浮慷?、直線與平面所

2、成角 直線與平面所成角的范圍： 方法：射影轉(zhuǎn)化法（關(guān)鍵是作垂線，找射影）【例2】如圖，在三棱錐中，點(diǎn)在平面 內(nèi)的射影在上，求直線與平面所成的角正切值。【答案】【變式練習(xí)1】如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形。，求與平面所成的角正弦值?！敬鸢浮俊咀兪骄毩?xí)2】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，求直線與平面所成角的正弦值。【答案】三、二面角的求法二面角的范圍： 求二面角的大小，關(guān)鍵在于找出或作出二面角的平面角。從找平面角的角度出發(fā)，有以下幾種方法：（一）定義法： 在棱上選一恰當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)”（一般是選一個(gè)特殊的點(diǎn)，如：垂足、中點(diǎn)等），過這一“點(diǎn)”在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角。（一般

3、在找出角后，利用三角形求解）【例3】在三棱錐中，求二面角的余弦值。ABCNMPQ【答案】【變式練習(xí)】如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上，在面內(nèi)引射線，使與所成角，與面所成角的大小為，求二面角的大小?！敬鸢浮繛椋ǘ├萌咕€三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。從半平面內(nèi)的任一點(diǎn)出發(fā)向另一個(gè)半平面引一條直線，過作棱的垂線，垂足為，連，則由三垂線定理可證,故就是二面角的平面角。三垂線定理是求解二面角問題的最常用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條

4、垂線，即從第一個(gè)半平面內(nèi)的某一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，且垂直于另一個(gè)半平面?！纠?】如圖，在三棱錐中，點(diǎn)在平面 內(nèi)的射影在上，求二面角的正切值?！敬鸢浮俊咀兪骄毩?xí)】在直三棱柱中，直線與平面成 角，求二面角的正弦值。ABCB1C1A1NQ【答案】二面角的正弦值為從不直接找出平面角的角度出發(fā)，主要有兩種方法：面積法（面積射影法），向量法。（三）面積法（面積射影法）CDAE凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小。 求證：A1D1B1C1EDBCA【例5】 如圖，為正方體的棱的中點(diǎn)，求平面和底面所成銳角的余弦值。【答案】所求二面角的余弦值為【變式練習(xí)】如圖，是正方形所在平面外一點(diǎn)，且面，。求面與面所成二面角的大小?！敬鸢浮克?、真題演練1（山東）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為（ ） 2（大綱）已知正四棱柱中，則與平面所成角的正弦值等于（ ） 3（山東）如圖所示，在三棱錐中，平面，,分別是，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接。（1）證明：；（2）求二面角的余弦值。4（四川理）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)（1）在平面內(nèi)，試作出過點(diǎn)與平面平行的直線，說明理由，并證明直線平面；（2）設(shè)（