第三章幾何光學(xué)的基本原理1.

1、第三章 幾何光學(xué)的基本原理1 證明反射定律符合費(fèi)馬原理。證明：設(shè)平面 為兩種介質(zhì)的分界面，光線從 A 點(diǎn)射向界面經(jīng)反射 B 點(diǎn)，在分界面上的入射點(diǎn)為任意的 C 點(diǎn)；折射率分別為： n 1、n 2。（1）過(guò) A 、B 兩點(diǎn)做界面的垂直平面 ，兩平面相交為直線X 軸，過(guò) C 點(diǎn)做 X 軸的垂線，交 X 軸于 C 點(diǎn)，連接 ACC 、 BCC 得到兩個(gè)直角三角形，其中： AC 、 BC 為直角三角形的斜邊，因三角形的斜邊大于直角邊，根據(jù)費(fèi)馬原理，光線由 A 點(diǎn)經(jīng) C 點(diǎn)傳播到 B 點(diǎn)時(shí)，光程應(yīng)取最小值，所以在分界面上的入射點(diǎn)必為 C 點(diǎn)，即證明了入射光線 A C 和反射光線 B C 共面，并與分界面

2、垂直。（2）設(shè) A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x 1，y 1）， B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x 2，y 2）， C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x ，0），入射角為 ，反射角為 ，則光線由 A 傳播到 B 的光程：( (222221211y x x y x x n +-+-=?若使光程取極值，則上式的一階導(dǎo)數(shù)為零，即：0(2222221211=+-+-=?yx x x x yx x x x dxd從圖中得到： 21211 (sin yx x x x +-=22222 (sin yx x x x +-=' 也即： sin=sin，說(shuō)明入射角等于反射角，命題得證。2 根據(jù)費(fèi)馬原理可以導(dǎo)出在近軸條件下，從物點(diǎn)這出并會(huì)聚到象點(diǎn)所有

3、光線的光程都相等。由此導(dǎo)出薄透鏡的物象公式。解：3 眼睛 E 和物體 PQ 之間有一塊折射率為1.5 的玻璃平板，平板的厚度d為 30cm ，求 PQ 的象 P Q 與物體之間的距離 d 2。解：方法一P Q 是經(jīng)過(guò)兩個(gè)平面折射所形成的象（1）PQ 經(jīng)玻璃板前表面折射成象： 設(shè) PQ 到前表面的距離為s 1，n=1、n =1.5 由平面折射成象的公式：11s nn s '='得到： 1123s s ='（2）PQ 經(jīng)玻璃板前表面折射成象：從圖中得到： s 2=s1+d、n=1.5、n =1 根據(jù)： 22s n n s '='解出最后形成的象P Q 到玻璃

4、板后表面的距離：ds s 3212+='物 PQ 到后表面的距離： s=s1+d物 PQ 與象 P Q 之間的距離 d 2：d 2 = s2-s =（321-）d=10cm方法二：參考書(shū)中例題的步驟，應(yīng)用折射定律解之。方法三：直接應(yīng)用書(shū)中例題的結(jié)論：d 2 =d（ 1-1/n）即得。4 玻璃棱鏡的折射角 A 為 600，對(duì)某一波長(zhǎng)的光其折射率為 1.6，計(jì)算 (1 最小偏向角； (2 此時(shí)的入射角； (3 能使光線從 A 角兩側(cè)透過(guò)棱鏡的最小入射角。解：（ 1）根據(jù)公式： 2sinsin 0A An+=代入數(shù)據(jù)： A=600， n=1.6解出最小偏向角： 0= 46016（2）因： A

5、i -=102則入射角： 53352/ (001'=+=A i（3）若能使光線從 A 角兩側(cè)透過(guò)棱鏡，則出射角i 1=900 有： n sini2= 1sin900 = 1 解出： i 2 =38.680 從圖中得到： i 2 + i2 = A 得到： i 2 =21.320又有： sini 1 = nsini2 解出最小入射角： i 1 =350345 題圖表示恒偏向棱鏡，挑相當(dāng)于兩個(gè)300-600-900棱鏡與一個(gè) 450-450-900棱鏡按圖示方式組合在一起。白光沿i 方向入射，我們旋轉(zhuǎn)這個(gè)棱鏡來(lái)改變1，從而使任意波長(zhǎng)的光可以依次循著圖中的路徑傳播，出射光線為r ，求證：如果

6、sin1=n/2，則 2=1，且光束 i 與 r 相互垂直。解：當(dāng)光線以 1角在 A 點(diǎn)入射時(shí)，設(shè)折射角為，根據(jù)折射定律有： sin1 = nsin因：sin1 = n/2計(jì)算得到： = 300在 C 點(diǎn)的入射角為 ，從圖中可看出： = 300有： sin2 = nsin得到： sin2 = n/2因： sin1 = sin 2 所=n/2以： 1 = 2在三角形 ADE 中， ADE=1800 -1- （ 900 -2）= 900 說(shuō)明光束 i 與 r 相互垂直。6 高為 5cm 物體放在距凹面鏡頂點(diǎn)12cm ，凹面鏡的焦距是10cm ，求象的位置及高度，并作光路圖。解：已知： s=-12c

7、m f =-10cm 根據(jù)：f s s '=+'111解出： s = -60cm 因： ss y y '-='= 解得： y = -25cm7 一個(gè) 5cm 高的物體放在球面鏡前10cm 處成 1cm 高的虛象，求：（ 1）此鏡的曲率半徑；（ 2）此鏡是凸面鏡還是凹面鏡？解：已知： y=5cm、s=-10cm、 y =1cm因形成的是虛象，物和象在鏡面的兩側(cè)，物距和象距異號(hào)。根據(jù)： 51='-='=ss y ycmcm s s 2 10(5151=-=-='代入：rss 211=+'解出： r=5cm因 r=5cm > 0

8、，所以是凸面鏡。8 某觀察者通過(guò)一塊薄玻璃板去看在凸面鏡他自己的象，他移動(dòng)著玻璃板，使得在玻璃板中與在凸面鏡中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面鏡的焦距為10cm ，眼睛距凸面鏡頂點(diǎn)的距離為40cm ，問(wèn)玻璃板距觀察者眼睛的距離是多少？解：已知：凸面鏡成象時(shí)的物距：s=-40cm、焦距： f =10cm由：f s s '=+'111解出凸面鏡成象的象距：s =8cm 此象到眼睛的距離： b=40+8=48cm又因薄玻璃板所成的象是虛象，與物對(duì)稱(chēng)，若使玻璃板中的象與凸面鏡中所成的象重合在一起，則玻璃板應(yīng)放在 P 與 P 的中間，即玻璃板到眼睛的距離：d=b/2=24cm9 物體

9、位于凹面鏡軸線上焦點(diǎn)之外，在焦點(diǎn)與凹面鏡之間放一個(gè)與軸線垂直的兩表面互相平行的玻璃板，其厚度為 d ，折射率為 n ，試證明：放入該玻璃板后使象移動(dòng)的距離與把凹面鏡向物體移動(dòng) d （n-1）/n 的一段距離的效果相同。解:設(shè)物體到凹面鏡的距離 s ，當(dāng)把玻璃板放入后，物體首先經(jīng)過(guò)玻璃板折射成象 P1，再經(jīng)過(guò)凹面鏡反射成象 P2，P1 即為凹面鏡的物， P1 相對(duì) P點(diǎn)移動(dòng)的距離經(jīng)前面的證明知道為d （n-1）/n，也即放入該玻璃板后使象移動(dòng)的距離與把凹面鏡向物體移動(dòng)d （n-1）/n 的一段距離的效果相同。10 欲使由無(wú)窮遠(yuǎn)發(fā)出的近軸光線通過(guò)透明球體并成象在右半球面的頂點(diǎn)處，問(wèn)該透明球體的折射

10、率應(yīng)為多少？解：此問(wèn)題是單球面的折射成象，根據(jù)題意有：物距： s=-、物空間： n=1設(shè)象空間球體折射率為n ，球面半徑為 R由：rnn s n s n -'=-'' 得到： 1(2-'='n n從而解出透明球體的折射率：2='n11 有一折射率為 1.5、半徑為 4cm 的玻璃球，物體在距球表面6cm 處，求：（ 1）從物體所成的象到球心之間的距離；（2）求象的橫向放大率。解：物體經(jīng)玻璃球的左、右球面兩次成象。左球面成象： n 1=1、 n1=1.5、r1=-4cm、s 1=-6cm由：1111111r n n s n s n -'=-

11、''解得左球面成象的象距：s 1=-36cm，象在 P 點(diǎn)。 橫向放大率： 411111=''=n n s s右半球面成象： n 2=1.5、 n2=1、 r2= 4cm、s 2=-44cm 再由：2222222r n n s n s n -'=-''解出第二次成的象P 到 O 2 點(diǎn)的距離： s 2=11cm 橫向放大率： 8322222-=''=n n s s最后所成的象到球心之間的距離：d= s2 + r =（ 11+4） cm = 15cm 象的橫向放大率： 5. 121-=12 一個(gè)折射率為 1.53、直徑為 2

12、0cm 的玻璃球內(nèi)有兩個(gè)小氣泡，看上去一個(gè)恰好在球心，另一個(gè)從最近的方向看去，好象在表面與球心連線的中點(diǎn)。求兩個(gè)氣泡的實(shí)際位置。解：（ 1）看去恰好在球心的氣泡n 1=1.53、 n1=1、 r1=-10cm、s 1=-10cm由：1111111r n n s n s n -'=-''解得象對(duì)應(yīng)的物距： s 1 =-10cm，說(shuō)明氣泡在球心處。圖 A（2）好象在表面與球心連線中點(diǎn)的氣泡n 2=1.53、 n2=1、 r2=-10cm、s 2=-5cm 再由：2222222r n n s n s n -'=-''解得象距： s 2 =- 6.047

13、cm氣泡到球心的距離 :d =10 cm - 6.047cm = 3.953 cm圖 B13 直徑為 1m 的球形玻璃魚(yú)缸的中心處有一條小魚(yú)，若玻璃缸壁的影響可忽略不計(jì)，求缸外觀察者所看到的小魚(yú)的表觀位置和橫向放大率。解: n =1.33、 n =1,設(shè)球面曲率半徑為 r, 象距 :s=r由：rnn s n s n -'=-''解得象對(duì)應(yīng)的物距： s = r，說(shuō)明魚(yú)在缸的中心處。橫向放大率： 33. 1=''=n n s s是一個(gè)正立放大的虛象 .14 玻璃棒一端成半球形，曲率半徑為 2cm ，將它水平地浸入折射率為 1.33 的水中，沿著棒的軸線離球面

14、頂點(diǎn) 8cm 處的水中有一物體，應(yīng)用計(jì)算法和作圖法求象的位置及橫向放大率。解：已知： n =1.33、 n=1.5、 r=2cm、 s=-8cm 根據(jù)：rnn s n s n -'=-''解出： s =18.5cm或由：rnn n f -''='rnn n f -''='計(jì)算得到物方、象方焦距：cmf 6. 17=' cm f 6. 15-=由：1=+''sf s f 解得象距： s =18.5cm橫向放大率： 2''=n n s s15 有兩塊玻璃薄透鏡的兩表面均各為凸球面及凹球面

15、，其曲率半徑為10cm 。一物點(diǎn)在主軸上距鏡20cm 處，若物和鏡均浸入水中，分別用作圖法和計(jì)算法求象點(diǎn)的位置。設(shè)玻璃的折射率為1.5，水的折射率為1.33。解：因透鏡放在同一種介質(zhì)中，所以物方和象方焦距的絕對(duì)值相等。已知： n2=1.33 n1 =1. 5（1）凸透鏡：兩表面曲率半徑：r 1=10cm、r 2=-10cm、物距： s=-20cm得到： cm r r n n n f f 3911(21121=-=-='由：f s s '=-'111 解得象距為： s =-41cm（2）凹透鏡：兩表面曲率半徑：r 1=-10cm、 r 2=10cm、物距： s=-20cm

16、 得到： cmr r n n n f f 3911(21121-=-=-='由：f s s '=-'111 解得象距為： s =-13.2cm16 一凸透鏡在空氣中的焦距為40cm ，在水中的焦距為136.8cm ，問(wèn)此透鏡的折射率是多少 ? 設(shè)水的折射率為1.33。若將此透鏡放置在CS 2 中(CS2的折射率為 1.62 ，其焦距又為多少？解：根據(jù)薄透鏡焦距的計(jì)算公式，設(shè)透鏡的折射率為n ，在折射率 n =1 的空氣中時(shí)：cmr r n f 4011(1(1211=-='在 n =1.33 的水中：cmr r n f 8. 13611(33. 1(33. 12

17、12=-='兩式相比 :8. 13640 1(33. 133. 12 1= -=''n n f f解出透鏡的折射率為 :n=1.54若把透鏡放在 n =1.62 的 CS 2 中：11(62. 1(62. 1213r r n f -='與空氣的焦距相比：=-='3314062. 154. 1( 154. 1(62. 1f f f解出在 CS 2 中，其焦距為：cmf 4. 4373-='17 兩片極薄的表玻璃，曲率半徑分別為20cm 和 25cm ，將兩玻璃片的邊緣粘起來(lái)，形成一內(nèi)含空氣的雙凸透鏡，把它置于水中，求其焦距為多少？解：根據(jù)題意，透鏡

18、的折射率：n=1，兩表面的曲率半徑： r 1=20cm、 r 2=-25cm，水的折射率為： n =1.33，代入：11(21r r n n n f -'-'='解出透鏡的焦距為：cmf 78. 44-='，為一發(fā)散透鏡。18 會(huì)聚透鏡和發(fā)散透鏡的焦距都是10cm ，求：（ 1）與主軸成 300角的一束平行光入射到每個(gè)透鏡上，象點(diǎn)在何處？（ 2）在每個(gè)透鏡左方的焦平面上離主軸 1cm 處各置一發(fā)光點(diǎn)，成象在何處？解：（ 1）根據(jù)題意做圖如下。圖（ 1） 圖（ 2）圖（ 1）是凸透鏡成象圖， P 是象點(diǎn)，在象方焦平面上，到焦點(diǎn)的距離為： cmtg f F P 8.

19、 5300='='' P點(diǎn)的坐標(biāo)：（ 10， 5.8）圖(2 是凹透鏡成象圖，象點(diǎn) P 仍在象方焦平面上，但在透鏡左方，到焦 點(diǎn)的距離為： cmtg f F P 8. 5300='='' P點(diǎn)的坐標(biāo)：（ -10， -5.8）（2）在凸透鏡物方焦平面上放一物，象成于無(wú)窮遠(yuǎn)處。把物放在凹透鏡的象方焦平面上，已知： s=-10cm，由：f s s '=-'111解得象距為： s =-5cm，由： ss y y '= '=，解出： y =0.5cm象 P 點(diǎn)的坐標(biāo)：（ -5，0.5）圖（ 3） 圖（ 4）19 如圖（ 1）

20、、（ 2）所示， MM 分別為一薄透鏡的主光軸，S 為發(fā)光點(diǎn)， S為象，用作圖法求透鏡中心和透鏡焦點(diǎn)的位置。20 比累對(duì)切透鏡是把一塊凸透鏡沿直徑方向刨開(kāi)成兩半組成，兩半塊透鏡垂直光軸拉開(kāi)一點(diǎn)距離，用光闌擋住其間的空隙，這時(shí)在光屏上可觀察到干涉條紋。已知點(diǎn)光源與透鏡相距 300cm ，透鏡的焦距 f=50cm，兩透鏡拉開(kāi)的距離 t=1mm，光屏與透鏡相距 450cm ，用波長(zhǎng)為 632.8nm 的激光做光源，求干涉條紋的間距。解：點(diǎn)光源經(jīng)兩塊透鏡形成兩個(gè)實(shí)象P1、P2，由物象公式：f s s '=-'111求得 P1、 P2 到透鏡的距離：cm f s f s s 605030

21、050 300(=+-? -='+'='點(diǎn)光源到上半透鏡主軸的距離y ： cm o y 5. =，P1 點(diǎn)到主軸的距離y '， 則： ss y y '='=解得： cm y 06. 0='cm y 5. 0=也即 P1、 P2 兩點(diǎn)之間的距離： cm y d 12. 02='=，與光屏的距離： cm cm cm s l L 39060450=-='-= 干涉條紋的間距：mm dL y 06. 2=?21 把焦距為 10cm 的會(huì)聚透鏡的中央部分 C 切去， C 的寬度為 1cm ，把余下的兩部分粘起來(lái)，（見(jiàn)圖）。如在其對(duì)稱(chēng)

22、軸上距透鏡 5cm 處置一點(diǎn)光源，試求象的位置。解：把透鏡按題意分切、對(duì)接后，在對(duì)物體成象時(shí)，可看做是兩個(gè)透鏡，上、下兩半部分透鏡的成象情況是對(duì)稱(chēng)的，上半部分透鏡的成象光路如圖所示，虛線為透鏡主軸，點(diǎn)光源到主軸的距離為根據(jù)：f s s '=-'111 已知： cm s 5-=、cm f 10='解出象距： s = -10cm橫向放大率： = y s = 解=2得y：s y = 1cm 22一折射率為 1.5 的薄透鏡，其凸面的曲率半徑為 5cm，凹面的曲率半 徑為 15cm，且鍍上銀，如圖，試證明：當(dāng)光從凸表面入射時(shí)，該透鏡的作用相當(dāng)于一個(gè)平面鏡。解：該系統(tǒng)的成象過(guò)程

23、是球面 O1 的折射、 O2 球面 的反射和 O1 球面的折射三 次成象。 設(shè)物體與 O1 面的距 離為 s。 O1 面的折射成象：物距為 - s 、 n = 1 、 n = 1.5 、 r = 5cm 根據(jù)： n - n = n - n s s r 1 = 解s得：n 23sn題圖所示的是一個(gè)等邊直角棱鏡和兩個(gè)透鏡所組成的光學(xué)系統(tǒng)，棱鏡 折射率為 1.5，凸透鏡的焦距為20cm，凹透鏡的焦距為10cm，兩透鏡間 的距離為 5cm，凸透鏡距棱鏡邊的距離為10cm，求圖中長(zhǎng)度為 1cm 的物體 所成象的位置和大小。 24 顯微鏡由焦距為 1cm 的物鏡和焦距為 3cm 的目鏡組成，物鏡與目鏡之 間的距離為 20cm，問(wèn)物體放在何處時(shí)才能使最后的象成在距離眼睛 25cm 處？作出光路圖。 25 題圖中 L 為薄透鏡，水平橫線 MM 為主軸， ABC 為已知的一條穿過(guò)這個(gè)透鏡的光線的路徑，用作圖法求出另一條光線DE 穿過(guò)透鏡后的路徑。解： 1 過(guò) O 點(diǎn)做 AB 的平行線（副軸） ， 交 BC 線于 L 點(diǎn)； 2 過(guò) L 點(diǎn)做主軸的垂線，即為透鏡的象 方焦平面； 3 過(guò) O 點(diǎn)做 DE 的平行線，交象方焦平 面于 H 點(diǎn)； 4 連接 E、H，即得 DE 的共軛折射光線 EH。 26 題圖是一厚透鏡的主軸， H、 H y= 0.5cm 是透鏡的主平面， S