楊顯清《電磁場與電磁波》(第四版)課后習題答案

1、li y 1 ¥> T ! 1J|f,i 14 八( x f )( rt c l r 3 ) (<X i eKS 4 c 2() -42(zt x /I) C = ( - e, 10 - e J - e;4) .( e<5 - ex2) = - 42(X) (A xZT) xC =-10- 150-4 ' =ef2 -ew40 + e:52；A x (£? x C) = i 2-3 = e.55 一 e,44 - ej 1j 85201.2 三角形的三個頂點為P,(0,1, -2)、匕(4,1,3)和P3(6,2.5)o(1) 判斷NPP、是否為一

2、直角三角形；(2) 求三角形的面積。M (1)三個頂點PJ0丄2)、巴(4.-3)和匕(6,2,5)的位置矢董分八=J -乙2, ri = “4 + - et3, r3 =耳6 + er2 + e.5'"l兒2 = r2 - r> = "4 - e：,尺23 = r3 - r2 = e,2 + ey + e：8,二八-心=-"6 j - elihiM 見 /?w = (ea4 - ef) (e.2 + et + e) = 0 岀匚匕匕為一直角三角形。2)三角形的面積S = y X/?;J I = y|z?12 | X |Kn I = 1- /T7 X

3、 yS9 = 17. 13 1.3求F( -3J.4)點到P(2, -2,3)點的距離矢戢尺及K的方向。 解 = 一耳3 +«,4t rF =et2 -et2 +耳3wiR -心夕=r,. - rr = et5 - e,3 - efh j 軸的夾角分別為A-QEnJS Rpp -(5a rnr>fia 1 一 l 32.31。1 15丨丿氣-arccosf心")二V 1 Rpp 1)/ _ 3 120. 47°arccosil y/35 /e,:=arccosf = 1 賂 | /arccos/ )V /35 /=99. 73°3杯h(huán)t場-點的梯度

4、垂直于過該點的等值而，且指向叭)瞎加 的方向O1. 1給定三個矢吊和C如下：A = eA + e2 - e23二-ev4 + e2C = e,5 e:2求：(】)5；(2) A B ；(3) A - fl；(4)九；(5) A 住B 上的分址；(6) A x C；(7) A (B xC )和(AxB ) C；(8) (4 xfl) xC 和 Ax(xC*)。4+ e 2 e.3123/14 a /14解気嚴芮“(2) | 4 - B | = | (e, +e,2 -et3) - ( -e,4 +et) I=et 4- et6 - e.4 | = >/53(3) 4 B = (e, +e,

5、2 -e;3) ( -e 4 +ej = - 11A B-1111 牛由c。,九-prnyr=聲刁苻八離'偈arccos(-") = 13550(5) A在B上的分址A B 11(6) A xC= 1250-3-2-e 4 - e 13 - e.10J(7)由于 BxC-401-2= eB8 + et5 + e,20li y 1 ¥> T ! 1J|li y 1 ¥> T ! 1J|-ef10 一 c410 T I工 M 伽IE10>/2e E = 3 一10/23近20-沽 r；x -4 xrA Al.« 6.1MHI半標系屮

6、一點的位置由（4晉,3）定出求該點在：（1） it ft T杯系中的坐標；（2）球坐標系中的坐標。解（1）金直角坐標系中x = 4cor(2 7t/3) = 2. y = 4sin( 2 tc/3 )=2 也、z = 3從仏點的曲角坐標為（-2,2 0,3）。（2）在球坐標系中f = JX + 3 = 5. 0 二 arctan(4/3) = 53. 1°.(f> = 2 兀/3 rad = 120° 加 U.的球坐標為(5,53. 1°,l20°)o19用球坐標表示的場E=e,孕。求花直角坐標系中（-3.4, -5）點處的|E|和 g求在瓦角坐標

7、系中（-3,4, - 5）點處E與矢站ff=e,2-et2e,構(gòu)成IH I 1(| .（I）在住角坐標系屮（一3.4. - 5）點處廠二/（ -3）2 +42 + （ -5）2 =2511I人2-' H "l 常標系中(-3 ,4, -5)點處,r = -e.3 + e4 一e,5 ,所以r 2525e.3 + e,4 - et5E = e.、二r 二10 T I工 M 伽10 T I工 M 伽+ (2尸 + FRN H Ml 1 I小系中（一3,4-5）點處-e 3 + e 4 - e 5“19I： B=2 (<2 - ew2 + e )=-10/2 10./2M 1

8、 1 n阿成的夾角為L4 給世曲矢址4 =e,2-e,4和B=e4-e5 +e,6t求它們之間的火角和A在B上的分就。解=QVK+T二蠢|B | = WTW = y/TJ4 B = (et2 + “3 - e.4) (e.4 - ev5 + efi) = - 31 故A與之間的夾角為10 T I工 M 伽10 T I工 M 伽&在 11的分世為BFb|=-3 53210 T I工 M 伽1.5 給定兩矢最 A =匕2+匚3-耳 4 和二-e.6 - e 4e; A xB 在 C二 et -ey +e,上的分fit。解A xff 23-4 = -e.13 +ew22 +eJ0-6-41(

9、A x B) C = ( - eJ3 + e922 + eJO) (et - et + ej = - 25|c| = /i1 +( - 1)2 +ly = #所以A xB在C上的分就為(A X B) C 25“ “(人 x )c = -=_ 帀=-14. 431.6 證明：如果4 C和 A x«=A xC,Wi|fi=Ca證 由 A xB=A xC,則有 A x (4 xB) =4 x (A xC) t 即(A - B)A -(A - A)B = (A - C)A - (A A)C由于ABAC，于是得到(A A)fl = (A A)C故B=C1.7如果給定一個未知矢損與一個已知矢凰的

10、標屋枳和矢鼠積，那么便可 以確定該末知矢境，設A為一已知矢竜,p=AX而P=A xX.p利PC知，試 求X。解由PA xX,有I ：i i他斛忙 i：i解 ill IV "=匚'；* e, +匕與1 Vu, =2V（7）+（） +（7）2故橢球表面上任意點的單位法向矢繪為“曲=（違+咔“ 7）/ TiJmJmJ）1.14利用育角坐標系，證明V ( uv) = uVv + vVw證在r角坐標系中v + vVm=u(£du / dv+ v 1 + v U + V毗丿y ay3( “u)3( m) d( uv)=et+ 管.+ e.dx r dydzdv udx£

11、;)Ilf (ft o=V (uv)一個球面S的半徑為5,球心在原點上計算：6 （er3sin 8） dS(er3sin 0) d£ = © (er3sin 0) erdSin 0 X 5"sin=75*已知欠量 E =eM(x2 + axz) + er(xy2 + 6y) + ex(z J + czx -2xyz) 試 刪工常數(shù)a、6、c使E為無源場。解 由 V E = (2x +az) + (2xy + b) + ( 1 -2z + ex -2xy) =0,得I. 16a = 2 t 6 =-l.c 二一 21.17 在由p=5.z= 0和z=4閑成的圓柱形區(qū)

12、域?qū)κ?ey + 驗 Ml歆朋定理。證在圓柱坐標系中V 4 =丄)+ ( 2s) = 3p + 2p dpdzI? r r i “ th，” =uwcos( | 占：| ) = arcco8(-丄2；労丁2)j = 153. 6'1-10球坐標系中的兩個點（匚和（色如）定出兩個位罷矢量R、 和證明R、和&間夾角的余弦為cos y 二 cos jCor 0: + sin (sin 2cos()證 山 出=ejjSin tfjcos <f>t + ejx sin sin 如 + e.fjCos& = etr2Mn 0,cos 如 + etr2sin fftsin

13、 如 + e.GCos 02 得到 cosr =Tfl%T=sin cos <f>jsin 02cos(t>: + sin 6l sin(f>in 2sin 機 + cos 8】gs 伏=sin t«in 02 ( cos cos <f> + sin 4>t sin (/>2) + cos cos 02=sin &$in /?2cos( (/> 一</>?) + cos jcos ff.111求標 = x2yz的梯度及W在一個指定方向的方向#數(shù)，此方 向由單位矢+er +e:定出；求(2.3.I)點的方向序v/

14、50/5050數(shù)值。廠的方向?qū)?shù)為 750= V * 二陞 +- + 亙引50/5050點（2,3,1）處沿勺的方向?qū)?shù)值為v W " (x2yz) +er +e.詈(Jyz) =e ,2x)2 + exzz + e:x2y 故沿方向s=“一二+右丄二5/50/5000361660112dl750洌v/50 7501.12 已知標it丙數(shù) m = x2 + 2y2 + 3z: + 3x -2y -6ze (1) RV u；(2)在哪 些點上V "等于0?解(1) V u=e,g+ey+erg = er(2x+3) +er(4y-2) +ex(6z-6) (2)由 V u =

15、et(2r +3) +e/4y - 2) +e.(6z -6)二0御x = - 3/21 y = l/2f z = 1113方程“W +益+2給出一橢球族"求橢球表面上任意點的單位法 a b cI ：i Iwiiw r： isdS = J d<f> J </a sin d川杯系中"尸*歆® J所以=J J J 3r2sin /?dr(l<i(/>=4 7T</I 20 在球坐標系中已知欠駁4 "川+JG其中o J和住均為常數(shù)。 I |何矢呈A是否為常矢址？(2)求V A和V xA。解(I )4 = | 4 | = y藥

16、 A = y/a2 + U叩，卅A =e,e+e+e.c的模為常數(shù)。俗矢里:A =©a +e.b +e4c用直角坐標表示有=ef(aain ffcob <f> + 6cos 0cos © - csin </>) +"(asin sin (/> + /cos 0sin </> + C(>b (/>) + er( acos B 一 6sin 0) 山川刖見.矢址A的方向隨&和少變化，故矢址A不是席矢皤。山上述結(jié)果可妙，一個常矢斌住在球坐標系中不能表示為C = F(2)在球坐標系中4 _13 / .2 4.i

17、Q ( ain Aa x 1de2a 6cos一 / drr a/十rsin &ad8,n 6rsin &M :-十一廠一rrsinrsin fie.V X 4 = -r-!2dccos 0=e,:-eacb+pr sin 6drdf)3<f>rsin 8r r2A,M.rsin 6A4I 21求矢雖A = e,x 4 erx2 + ety2z xy平面上的-個邊氏為2的正方形 |苛11勺線枳分，此正方形的兩邊分別與*軸和y軸相乘介l»f；R v x4對此回 幾叫W闌的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解如圖題1.21所示可得 e.dy +所以V Adv = f

18、 <kde |(3p + 2)pdp = I 200 it故冇A dS =4 dS + A dSa 丨 *-» * *皿憶 + L /,? i «-o (I A | e.5dzde-e, )pdpd(/> +=J P 2 x 4p(lpd</> + J J 52 x 5dzd<f) = 1 200穴V 4dV = 1 2007t = A 4 dS1.18(1)求矢+e,24zV?的散度；(2)求 V - A 對中心在原點的一個單位立方體的積分；(3)求A對此立方體表面的積分，驗證散 度定理。解(i)人=也 +吃也+ 3( 24 JyT人2, +

19、 2彷+ 72.心今 dxdyHz(2) V A對中心在原點的一個單位立方體的積分為v A<iy :' J J -1/2嚴 fl/2 A/21=J J J (2x + 2x y + 11.x y1 z ) dxdydz =(3) 4對此立方體農(nóng)面的積分r r小-1)J -1/2 J -1/22 /dxdz +1/21/2M ."idx (y) dxds -1/2 f -1/2 1 f4 心爲護£爲加畀如""# 1 . 3-1/2 A/l. i v 3<k(lyD嚴珂詁)124故有J V Aciy = £ = # A dS1.

20、19 計算矢呆r對一個球心在原點、半徑為Q的球衣面的積分并求 V /對球體枳的積分。I 3 I J* 觸耳 1/v x/e =od 2 dy dz y z i7 4 =e/. + eyAt + etA八則 A R =Atx +4yy + Atz.故（人 X） =eM 呂（久兀 + Ay + A:z） + ey ?（久尤 + 人y + 兒z） + dxdy+ A,y + 心）=+ « 人 + 也I 24 一徑向矢址場用F=e/(r)表示，如果VF=0.那么函數(shù)/(r)會有 fl竹點呢？副在圓柱坐標系中，由V F =丄 4pf(p) = 0P切>1 円 Hl/(P)= *f tn

21、(5:數(shù)。H球坐標系中由V F = * 辛/(r) 1 = 0hl I*： »>|f(r) =125給定欠鈦函數(shù)+試求從點匕(2,1,-丨)到點P2(8,2,(M線積分E<!/：(!)沿拋物線x=2y2；(2)沿連接該兩點的宵線。這個 f 7 IV *f 場嗎？+ Erdy - J ydx + xdy=14I 3 I J* 觸耳 1/=14I 3 I J* 觸耳 1/=”d（2/） + 2y2dy=1416£ 1 » a 0 u Vi丨（-"）血+=J xdx + f 2，dy - J xdx - J=8圖題1.21a a ad* dy dz

22、=e 2yz + ex2x所以V x A dS = p J2(e,2yz + et2x) etdxdy = f J 2xdxdy = 8故有A <IZ = 8 = J V x A d.S1. 22求矢A = etx + 沿側(cè)周x: + y2 =«'的線積分，再計算V xA對 此闘面積的積分。A -(1/=# xdx + xy2 dy證（1）證（1）(-a2cos 4>sin(|> + a4cos? <f>sin" 4>) d</>Vx卜(爐冷皿=J y:dS = J J* p：»irf 如d©dpT

23、V。1.23 證明：(1) V /?=3；(2) V x/?=0；(3) V(4 R) =AO Jt中R 二 eKx + J, + e.z.A 為一常矢量。V7竺+也+空=3 dx ffy dz證（1）13 制A 19心 xpdpd©十心嚴-J J. £ I妣-a【£(pg.z + x)-人(pg* swagdAt A ,64 =AFriiii.XM：場a穿出該六Ifti體衣面的通fit為=0d4>=0d4>V. *制関柱坐標系中的散度農(nóng)達式01 B(pAp)M.dA9v A = Inn z =+ + o A rp dpp(i<t>dz12

24、7現(xiàn)右三個矢斌A / «分別為A = efsin &cos Q + ecos 伙:os(f> 一 e4»in <f>B = ez2sin © + ez cos (/> + eg2pzsin ©C = S( 3y 2x) + ex2 + e22z(1) 試問哪些矢量可以由一個標啟函數(shù)的梯度衣示？哪些矢址可以由一個 冷臥數(shù)的旋度表示？(2) 求出這些矢址的源分布。解(1)在球坐標系中7 ir：Af + 金昇(sin 仇4.)+亠婆 rsin o a©=0d4>=0d4>d_ sin(f>)Jrsiu

25、 ff dd+ - (sin 0cos Ocos </>) + "in 0 d02 “. cog cb 2sm 0cos 6 cos <b=sin WcoR 0 + 七:一"二rrsin 0rrsin ftV x 4 二 一 sin 0drddf)rArsin 0Arsin 0c©=0d4>IH I * 期 “ ”i(2)連接點化(2.1, - 1)到點兒(82 - I)的也線h用為= 2LZ-? 即 x = 6y - 4y - 1 y - 2E d/ = J Etdx Eydy 三 J yd% + xdy=J yd(6y - 4 ) +

26、(6y - 4) dy = J (12y - 4) <1y =14由此可見積分與路徑無艾故是保守場C 1，41.26試采用與推導直角坐標系中V A =于+ 一 相似的方法推導 dx dy az圓柱坐標系中的公式vA *診嘰）罟;+警。解 在圓杖坐標系中取小體積元如圖題126所示。欠量場A沿方向穿出該六而體衣血的通址為 4A“ :兀卜（卩 + Ap）dzd</）-J J人莎日川</>q (p + Ap)4p(p + Ap4.z)- pAp(p4Q J A</>AzQ蘭叫2& “Azp同理九 i Jp<k"(?！胺臻T-心(“冷“)ApAz

27、 dApApA(/>Ad</>dA.=A VpB$V 二V x /I 02p>iii(/>,V C = 0, V x C = e. (2x - 6y)I " 仙川M角坐標系證明v (；4) =/V 4 + A V/nl 6 d巾坐標系中咚+致+四+m警+久詈書)dx dy dzdA=(燈心防(礙+熾+唱也£)<?y嗚()詩S)哼S八")». 29 證明V (4 x H) =：/-Vx4-A-VxHbi根據(jù)算了的微分運算性質(zhì)JiV (4 X /) = V4 (4 x “)+ V;/ (4 x H)*屮 '(表示只

28、對矢啟/1做微分運算，衣示只對矢址R做微分運算 ill a (bxc) =c (axb),可得V(A x H) = / - ( V4 x A) = / ( V x A ) (4 x /) = - A ( x H) = - A ( V x H)V (4 x /) = H- VxA-4-VxH1.30利川宜角坐標系證明V x (/G) =/V xG + V/xGul在直角坐標系中,f V x G =dzr sin 0rcos 6/cos </)rsin 幺.2一 rsin 0sin </>=0故XM A既可以由亍杯甩兩數(shù)的梯度衣示，也可以山一個矢址臥數(shù)的旋皮丄3(旳)+丄退+退 p ap pa© dz在圓柱坐標系中1= p訓5 ©)1 + p云</>) + " (2pzii 0) dzzin ©z2sin &l