7第七章平穩(wěn)過程譜分析ppt課件

1、平穩(wěn)過程的譜分析平穩(wěn)過程的譜分析 平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)在時(shí)域上描述了平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)在時(shí)域上描述了過程的統(tǒng)計(jì)特性，為了描述平穩(wěn)過程在頻過程的統(tǒng)計(jì)特性，為了描述平穩(wěn)過程在頻域上的統(tǒng)計(jì)特性域上的統(tǒng)計(jì)特性, 需要引入了譜密度的概需要引入了譜密度的概念。念。 這章的內(nèi)容主要討論隨機(jī)過程的譜分這章的內(nèi)容主要討論隨機(jī)過程的譜分析析知識回顧：知識回顧：22dtdt 設(shè)X(t)是時(shí)間t的非周期，則X(t)存在傅立葉變換的充要條件是：（1）X(t)在 - ，+滿足狄利赫利條件；（ ）X(t)絕對可積,即X(t)（3）若X(t)代表信號，則總能量有限,即X(t對于確定信號的傅立葉變換的回顧：實(shí)函數(shù))( )( )1

2、 ( )( )2jwtxjwtxF wx t edtx tF w edw此時(shí)，x(t)的傅立葉變換為： 傅立葉反變換為：非周期性確定性時(shí)間函數(shù)的帕塞伐非周期性確定性時(shí)間函數(shù)的帕塞伐Parseval)等式為等式為:221( )( )2xx tdtF wdw2( )xF w2_21( )( )21 ( )2 ( )( )( )(xxxjwtxjwtxF w edx t dtx tx tF w F w dwFwF wewdwdwdtdt其中, 稱為能譜密度證明:1 功率譜密度的定義功率譜密度的定義數(shù)學(xué)推導(dǎo)基本步驟如下:22( )( ):( ),( )0, ( , )( )1( )( , )2TTxT

3、TxTX tXtX ttTXttTF w TXtX tdtF w Tdw設(shè)是均方連續(xù)的隨機(jī)過程，作截尾隨機(jī)過程為的傅立葉變換，由帕塞伐公式以及傅立葉反變換，得到(帕塞伐公式帕塞伐公式)2222212121( )2= ( ) 11( , ) 11( , ) 221 ( , ) 222limlimlimlliimmTTTTTTxTxTTxEX tdtTE F w TX tdtF w TdwEF w TdwTTwETETd對上式兩邊先取時(shí)間平均，再取統(tǒng)計(jì)平均得到：左邊右邊 2221( ) 21( )( , ) 2 limlimTTTXxTEX tdtTSwE F w TT設(shè)X(t),- t 為均方連

4、續(xù)的隨機(jī)過程，稱為X(t)的；稱為X(平均功率功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程t)的， 簡稱譜密度。 對于，平均功率等于該過程的均方值,等于它的譜密度在頻域上的積分。：定即義：221( ) ( )2XE X tSw dw2 功率譜密度的性質(zhì)功率譜密度的性質(zhì)( )0( ) ( )()4. ( )wwwwww dw xxxxx-1. S2. S是的實(shí)函數(shù)。3. 對實(shí)隨機(jī)過程，SS可積性，證明：(1)即S(2)(3)122211221( )( , ) 21 ( )21 ( )( ) 2limlimlimXxTTjwtTTTTjwtjwtTTTSwE F w TTEX t edtTEX t edtX t edt

5、T2422( ) ( ),109( ).xX twSwwwE Xt：平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜密度為：求平均功率例題122241( )( )21 4109=2XE XtSw dwwdwww 解：22422344 109()()(3 )(3 )442|2|()(3 )(3 )()()(3 )712wjwjwwdwdwwwwj wj wj wjwwjjwj wj wjwj wj wj上半平面極點(diǎn)為w1=j, w2=3j所以:224147210924wdwww 3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 可以證明：隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率可以證明：隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間互為傅

6、立葉變換對。這一個(gè)關(guān)系就譜密度之間互為傅立葉變換對。這一個(gè)關(guān)系就是著名的維納是著名的維納-辛欽定理。即：辛欽定理。即：( )( )1( )( )2jwXXjwXXSwRedRSw edw證明：證明：12212121122()1212()112221211( )( , ) 21=( ).( )21=( )( )21=,( )( )2(,limlimlimlimXxTTTjwtjwtTTTTTjw ttTTTTTjw ttTTTXSwE F w TTEX t edtX t edtTEX t X t edt dtTE Xtttt X tedtttdtTS 令則22)(1)( )2( )limTjwx

7、TTjwxwRedTRed當(dāng)隨機(jī)過程為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，當(dāng)隨機(jī)過程為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，0( )2( )cosXXSwRw d 證明：證明：0( )( )( )(cos)( )cos2( )csinosjwXXXXXSwRedRwjddwRwRw d 01( )( )cosXXRSww dw同理：同理：002000200200( )cos()cos()1 =co)cos()s()cos() d 2 cos2,( )cos.2,0 2)XjwXREAw tAwX tAw ttAw tAw tAwASwAwedwX t平穩(wěn)隨機(jī)過程 （其中為常數(shù)， 在（ ， ）上均勻分布，求 （ 的功率譜密度。解題2

8、：例00020200 ()4 ()2)2)(jwjwjjwwAeeewAwwwwwd e已知：方法方法1:利用常用的傅立葉變換對利用常用的傅立葉變換對2X22223| | |242222253488( )(9)(1)(9)(1)532 32 1534816 4( ),10 (929)(1)48316XawSwwSwwwawwwwbbeaweeww 平穩(wěn)隨機(jī)過程譜密度求平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)和均方值已知例：。題解：方法方法2:留數(shù)定理的利用留數(shù)定理的利用242| |22| |32| |3| |14( )2109142|2(9)()4 2|(3 )(1)351648jwXjwwjjwwjwRedw

9、wwwjewwjwjewj wee222| |22241: R ( )( )21 ( )01( ),( )11112 121 211 221 ( )( )2jwXXjwjwxXSw edwedwedweE XX tSwX twwwtm t 例題 ：解已知平穩(wěn)正態(tài)過程的均值為 ，功率譜密度為求的概率密度函數(shù)。2212.211 ( )21/ 2xxf xee1197.2( )0( )XSPX tw -X00：已知平穩(wěn)正態(tài)過程的相關(guān)函數(shù)為 R ( )=ecos(w),其中，w 為常數(shù)，求譜密度例題。0: ( )2( )cosXXSwRw d 解4 白噪聲白噪聲0( ),)(),( )(wXNX ttwt X定義：設(shè)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若它的均值為0，且譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非0的常數(shù)，S白噪即則為聲過程。-0,0)0(2) )1(3) ( )- )( )xxxx dxf xx T dxf T為了對白噪聲過程進(jìn)行頻譜分析，下面引入的概念。（1函（數(shù)）（，（ 白噪聲自相關(guān)函數(shù)白噪聲自相關(guān)函數(shù)0011( )( )( )22jwjwXXRSw edwN edw N )1212這表明：白噪聲隨時(shí)間的變化極快，在任意兩個(gè)時(shí)刻t 和t ，X(t 和X(t 不相關(guān)。(1)白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型。各種隨機(jī)干擾白噪聲是一種理