商品期貨系列期權(quán)的定價(jià)13

1、通過定價(jià)部分，準(zhǔn)備得到以下結(jié)論：1、因?yàn)槠谪浻凶鍪猩讨贫取⒈ＷC金制度等，期貨定價(jià)與遠(yuǎn)期定價(jià)在理論上是不同的，利率是常數(shù)時兩者相等。2、數(shù)據(jù)驗(yàn)證表明，二因素和三因素明顯優(yōu)于單因素，期貨定價(jià)與現(xiàn)實(shí)更接近3、時間差，期權(quán)到期日T與期貨到期日T1、T2.TR間的時間間隔對定價(jià)有顯著影響。4、數(shù)據(jù)驗(yàn)證，一系列期貨期權(quán)與期貨系列期權(quán)的區(qū)別目錄一、準(zhǔn)備工作 2 21 1、期貨和遠(yuǎn)期定價(jià)的比較 2 22 2、分別用單、二、三因素模型對期貨定價(jià) 4 43 3、數(shù)據(jù)驗(yàn)證部分（得到一些參數(shù)）6 6二、商品期貨系列期權(quán)（futuresstripoptionfuturesstripoption）的定價(jià)模型 7 71 1

2、、商品互換和商品互換期權(quán)定價(jià)問題 7 72 2、HJMHJM 框架下單因素模型定價(jià) 13133 3、HJMHJM 框架下兩因素模型定價(jià) 15154 4、HJMHJM 框架下三因素模型定價(jià) 16165 5、HJMHJM 框架下的近似解法 19196 6、數(shù)據(jù)實(shí)證 2020三、定價(jià)模型及數(shù)據(jù)驗(yàn)證的結(jié)論（準(zhǔn)確度,應(yīng)用情況等）2323、準(zhǔn)備工作1、期貨和遠(yuǎn)期定價(jià)的比較期貨和遠(yuǎn)期定價(jià)是兩個比較流行的理論，兩者價(jià)格的不同之處在于期貨有做市制度，并且其持有成本也是不同的，包括稅務(wù)處理、交易成本、保證金制度等方面。經(jīng)驗(yàn)交易數(shù)據(jù)也能夠驗(yàn)證商品期貨和遠(yuǎn)期的價(jià)格是不同的。所以，一般期貨合約常被看做由一系列的遠(yuǎn)期合約

3、組成，每個遠(yuǎn)期合約當(dāng)天被結(jié)算，并且同時再發(fā)行一個新的遠(yuǎn)期合約，而投資者賬戶的損益每日軋平。期貨與遠(yuǎn)期價(jià)格在統(tǒng)計(jì)意義上是顯著的，但兩者價(jià)差一般比較小或者在經(jīng)濟(jì)意義上不顯著。并且一般來說，如果利率是隨機(jī)的，并且利率和商品現(xiàn)貨價(jià)格正(負(fù))相關(guān)時，期貨價(jià)格就大于(小于)遠(yuǎn)期價(jià)格，當(dāng)利率是常數(shù)時兩者相等。n假設(shè)現(xiàn)貨價(jià)格S滿足幾何布朗運(yùn)動，有dS(t)S(t)dtjS(t)dW(t)其中i1,W(t),i1,n是服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的獨(dú)立同分布，是期望收益率常數(shù)，是S(t)的波動率，將上式離散化為 k k 個階段，有：nnS(tk)S(t)exp(-i2)kiW(tk)Wi(t)2i1i1S(tk)是 k+t

4、k+t 時刻的現(xiàn)貨價(jià)格。兩邊同取自然對數(shù)，并調(diào)整有：1n2nInS(tk)InS(t)(2)kiWi(tk)Wi(t)(2)2i1i1可見，現(xiàn)貨價(jià)格自然對數(shù)的變化服從一個隨機(jī)過程，它等于一個常量加上獨(dú)立分布nN(0,ki2)的殘差。111.1商品遠(yuǎn)期的定價(jià)應(yīng)用遠(yuǎn)期和現(xiàn)貨價(jià)格的無套利定價(jià)原理進(jìn)行定價(jià)，S(t)是 t t 時刻可存儲商品的現(xiàn)貨價(jià)格，H(t,tk)是 t t 時刻的遠(yuǎn)期價(jià)格，其到期時間為 t+K,t+K,Pd(t,tk)是在 t+Kt+K 時刻一美元在 t t 時刻的貼現(xiàn)值，Pc(t,tk)是 t t 到 t+kt+k 時間存儲成本，記Pd(t,tk)exp(kf(t,tk),Pc(

5、t,tk)ex)(kc(t,tk),其中f(t,tk)是 t t 時刻 k k 時間段的利率，c(t,tk)是 t t 至Ut+kt+k 凈持有成本，通過無套利原理，有以下關(guān)系:將（4 4）帶入（2 2）, ,得到:c1n2InS(tk)InH(t,tk)(2)kInD(t,tk)2iiniWi(t,tk)Wi(t)i1n關(guān)參數(shù)的大??；二是利率和持有成本的差；三是服從 N N（0,k0,k：）：）的獨(dú)立同分布變量 W Wi的i1變化量。1.2商品期貨的定價(jià)期貨和遠(yuǎn)期的價(jià)格從理論角度是不同的，特別的，在對效用函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)偏好沒有具體假設(shè)的情況下，很難求解出期貨價(jià)格的封閉收斂的解。國外交易所市場上有

6、文獻(xiàn)表明，如果利率過程和持有成本的某些假設(shè)給定的情況，公式（3 3）對期貨價(jià)格也是適用的。假設(shè)現(xiàn)貨定價(jià)的公式（1 1）中 I I 心 L L 假設(shè)前兩個變量 1%1%和電分別代表利率和現(xiàn)貨價(jià)格，卅 3 3，”“現(xiàn)貨價(jià)格不確定的唯一來源。另外還假設(shè)凈持有成本是常量，利率過程符合以下形式：d_tk_d_P(t,tk)expP(t,tk)exptf(t,u)duf(t,u)duH(t,tk)S(t)Pc(t,tPd(t,tk)k)S(t)D(t,tk)(3)(3)其中D(t,tk)Pd（t，tk）/是持有成本。上式說明，遠(yuǎn)期價(jià)格等于現(xiàn)貨價(jià)格的調(diào).Pc（t,tk）整，即除以當(dāng)前到到期日的無風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格

7、和凈持有成本的比率。值得注意的是，投資者應(yīng)該區(qū)分以下兩點(diǎn)：一是買入現(xiàn)貨并持有，產(chǎn)生存儲成本和收到便利收益率；二是當(dāng)前即以遠(yuǎn)期價(jià)格買入商品并以無風(fēng)險(xiǎn)收益率進(jìn)行投資。上式兩邊取自然對數(shù)有InH(t,tk)InS(t)InD(t,tk)(4)(4)(5)(5)即當(dāng)前的遠(yuǎn)期價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格的對數(shù)差由三部分組成:是期望變量，其大小取決于相其中f(r.t+ +A)A)/ /+ +A)A)+ +r+kkltt+n；u.i4AH%4AH%的.(6)(6)以及公式(6)6)還可以寫成以下形式S(t)其中(LI(LI+幻是 t t 時融入資金在 t+Kt+K 歸還的遠(yuǎn)期利率，歲?是的波動率方差，|九是風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格

8、，H H，是獨(dú)立的布朗運(yùn)動。公式(6)6)是融資的遠(yuǎn)期利率，等于一個固定非隨機(jī)的初始遠(yuǎn)期利率初值(一個外生變量)，加上一個期望變量和噪音。設(shè)F(t,tk)是 t+kt+k 到期的 t t 時刻的期貨合約的價(jià)格，有文獻(xiàn)表明(|(|AmMundJurnmAmMundJurnm,上邊的假設(shè)成立并且還假設(shè)資產(chǎn)和利率過程具有確定的“波動率參數(shù)”，期貨價(jià)格的封閉解可以表達(dá)為：F(t,tk)H(t,tk)expQ(t,tk).；)k)expQ(t,tk)F(t,tk)InS(t)InD(t,tk)Q(t,tk)重新整理并帶入(2)2)有C1n2cInS(tk)InF(t,tk)i2Q(t,tk)k2iinI

9、nD(t,tk)iW(t,tk)叫i1其中Q(t,tk)是一個常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)樗从沉俗鍪姓{(diào)整所以是不變的。遠(yuǎn)期合約定價(jià)公式()和期貨定價(jià)公式的明顯不同之處在于后者增加了一個非隨機(jī)項(xiàng),合約的影響。2、分別用單、二、三因素模型對期貨定價(jià)應(yīng)用Schwartz97Schwartz97”對期貨進(jìn)行定價(jià)假設(shè)商品現(xiàn)貨價(jià)格服從以下隨機(jī)過程dS=-InS)Sdt+txSds令T=ln$,并應(yīng)用伊藤引理，價(jià)格的對數(shù)服從 Ornstein-UhlenbeckOrnstein-Uhlenbeck 隨機(jī)過程:dX=X)dt+adt其中Q(t,tk)a；(v,tk)ad(v,tk)idvad(v,tk)id(v,u)du兩

10、邊取自然對數(shù)，有In反映了做市對于期貨2K其中 k0k0 衡量價(jià)格的對數(shù)均值恢復(fù)到 a a 的速度，.-F(S7-expe*rInS+(1-e/M*+-1-EB，R)(7)Or,inIngform:IT 方InT=gFin5+(1-eft*4-(1田田。(a)4KThishitcquutiunitheoneusedinthoempiricaltes 此Itlatoverifythatequatkui7?iitheKulutiuDuthepbrtiuldifTerenlialcqunticnr%，印 F 力+-A-InSSSifs-FT-0(9)withboundi*ry 川口 diliemRS

11、,0)-S.dS=yt-8)Sdt+6 日見(10)dS=KK&dt+色 ds(11)eiutiiLliiloMtfindjiTiBrownianmationartcorrelatedwith:盤 i&L 聞,(2)!fi!fiuwwa-W|4fknjWSIXWLFHVIuwwa-W|4fknjWSIXWLFHVI Wu-ajliXLXVBUKjrIUWu-ajliXLXVBUKjrIU：IILi|LK1SVLUIUJIILi|LK1SVLUIUJ：XI.XI. a-la-lL/KJUUUXLL/KJUUUXL1_|1_|LUBUUJH-LUBUUJH-vw；s 嚇 L+內(nèi)。承

12、區(qū)/d+2”4-(r-6)SFs+-6)-AMT 丁=U(17JHubioct-mthewrminfilbuundtirycuiKlicjun.F(S.8.0)-S3Jamshidion 口 ndFein(19901AndBjerksund(1991)haveshawnthatthaHnlutionto(17)顯FlS,S,n-StJXp-a1-+A(T)1(18)Or.inlogfuim：1-*51BFIS,=InW-+A(T|(19)*where/1ify 嗎 5 即 11e1-丁 3AS=(=占+三 1JF+不巧產(chǎn)j.討17、+(rw+ESp-I1(20)1*d*A&=&

13、= 1 1 dS=(r目)SdfSdf+ +(T|S(iz*(T|S(iz*小8 8= =MlMl。A)dt+冢竟122)122)dr-dr-a(m*-r)dt+123)123)da*d*=d*da*d*=d*紜舄=p/p/ ,(,(24)24)因?yàn)樽兞?X X 是不可見的，轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式，利用卡爾曼濾波進(jìn)行參數(shù)求解。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中狀態(tài)空間模型被用來估計(jì)不可觀測的時間變量，包括理性預(yù)期、測量誤差、長期收入和不可觀測因素(趨勢和循環(huán)要素)。利用狀態(tài)空間形式表示動態(tài)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)：一是狀態(tài)空間模型將不可觀測的變量并入可觀測模型并與其一起得到估計(jì)結(jié)果，二是狀態(tài)空間模型是利用強(qiáng)有力的迭代算法一卡爾曼濾

14、波(KalmanfilterKalmanfilter) )來估計(jì)的?？柭鼮V波的導(dǎo)出依賴于擾動項(xiàng)和初始狀態(tài)向量服從正太分布的假設(shè)。服從正態(tài)分布，就可以由它們的均值和協(xié)方差矩陣完全確定，這就是卡爾曼濾波計(jì)算的估計(jì)值。3、數(shù)據(jù)驗(yàn)證部分1 1、主要利用單因素、二因素和三因素方法對期貨進(jìn)行定價(jià)，求解一些參數(shù)，用到后面的期貨系列期權(quán)的定價(jià)中。2 2、數(shù)據(jù)驗(yàn)證二因素和三因素模型定價(jià)與真實(shí)數(shù)據(jù)的更接近，明顯優(yōu)于單因素模型。二、商品期貨系列期權(quán)(futuresstripoption)的定價(jià)模型對于期貨期權(quán)一類短期的金融工具，可近似地把商品便利收益看作是常數(shù)，但對于像互換這樣長期的金融工具來說，這種假設(shè)是不合理

15、的。對于利率，已經(jīng)建立了許多模型，例如 CISCIS 模型，MertonMerton 模型，VascekVascek 模型等。類似的，我們可以通過便利收益率，建立與利率模型類似的各種模型來進(jìn)行模擬。MitersenMitersen 和SchwartzSchwartz 對具有便利收益的商品期貨及商品期貨期權(quán)的定價(jià)作了分析，他們對利率和便利收益率都采用了 HJMHJM 模型，但他們假定了利率和便利收益率受相同的不確定性的影響。在實(shí)際中由于期貨合約和遠(yuǎn)期合約都是短期的，所以不可能得到與初始的便利收益比較吻合的模型。HilliardHilliard 和 ReisReis 對商品期貨和商品期貨期權(quán)也作了

16、分析，他們對利率采用了 HJMHJM 模型,對便利收益率采用 Vas1cekVas1cek 模型。周杰和何穗在對商品互換和商品互換期權(quán)的定價(jià)中對利率和便利收益都采用了VasicekVasicek 模型。得到了互換和互換期權(quán)在不同的模型下的定價(jià)，并得到結(jié)論：利率的隨機(jī)性對互換的定價(jià)是無影響的。Black模型到HJM1型，高斯模型，解析解、MonteCarlo，快速傅里葉變換1、商品互換和商品互換期權(quán)定價(jià)問題假設(shè)投資者 A A 與對手簽訂了這樣一個互換協(xié)議：在每一個到期日T1,T2,Tm,由A A 支付一個固定的價(jià)格F(t)給對方，而對方支付一個那個時刻的即時價(jià)格或者說浮動價(jià)格給 A A。商品互換

17、合約在簽訂日刻的價(jià)值是為 0 0 的，商品互換的定價(jià)問題就是確定這個固定價(jià)格F(t)的問題。假設(shè)投資者 B B 與對手簽訂了這樣一個互換期權(quán)協(xié)議：期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是 K,K,期權(quán)的到期日時T。在T時刻，如果互換的價(jià)值大于等于 0,0,B B 就進(jìn)入這樣一個互換，在每一個到期日T1，T2，Tm,由 B B 支付一個固定的價(jià)格給對方，而對方支付一個那個時刻的即時價(jià)格或者說浮動價(jià)格給 BoBo 如果互換的價(jià)值小于 0,0,那么期權(quán)就失去價(jià)值。商品互換期權(quán)的定價(jià)問題就是這個期權(quán)的價(jià)值。假設(shè)現(xiàn)在的時刻是t,滿足 t t T T1,T2，Tm。用F(t,T)表示在t時刻看，T時刻到期的遠(yuǎn)期或期貨的價(jià)格，用Q

18、 Q 表示份額或者名義本金，用D(t,T)表示折現(xiàn)率，那么t時刻的互換價(jià)值是：mSW(t)QD(t,Ti)F(t,Ti)Ki1m在T時 刻 期 權(quán) 到 期 ， 此 時 互 換 的 價(jià) 值 ：SW(T)QD(T,Ti)F(T,Ti)Ki1SW(T)0就等于mD(T,Ti)F(T,Ti)K口mD(T,Ti)i1對于實(shí)物交割的互換期權(quán)，也就是說在期權(quán)到期日，期權(quán)的持有者進(jìn)入互換，并擁有長頭寸。如果是看漲期權(quán)，那么投資者將進(jìn)入一個收入互換，也就是付出固定價(jià)格，收入浮動價(jià)格；如果是看跌期權(quán)，那么投資者將進(jìn)入一個付出互換，也就是付出浮動價(jià)格，收入固定價(jià)格。一個實(shí)物交割的看漲期權(quán)的收益是：mV(T)MAXS

19、W(T),0,SW(T)QD(T,Ti)F(T,T。Ki1對于現(xiàn)金交割的互換期權(quán)，也就是說在期權(quán)到期日，期權(quán)的持有者獲得一個現(xiàn)金收益。如果是看漲期權(quán)，現(xiàn)金收益的價(jià)值就是收入浮動價(jià)、付出固定價(jià)的互換的價(jià)值；如果是看跌期權(quán)，現(xiàn)金收益的價(jià)值就是付出浮動價(jià)、收入固定價(jià)的互換的價(jià)值。一個現(xiàn)金交割的看漲期權(quán)的收益是：mV(T)MAXSW(T),0,SW(T)QF(T,Ti)Ki1在一個完全市場中，期權(quán)的無套利價(jià)格是風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的期望值：_Q_cD(t,T)EtV(T)對看漲互換期權(quán)來說，就是：QcD(t,T)EtMAXSW(T),0布萊克模型不考慮商品的便利收益，對商品價(jià)格建立一個簡單的模型：dS(t)

20、S(t)dtS(t)dW(t)在風(fēng)險(xiǎn)中性測度里，dS(t)rS(t)dtS(t)dW(t)期貨價(jià)格 SDE:SDE:dF(t,T)F(t,T)dW(t)dW(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，是波動率。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，期貨價(jià)格的增長率是 0 0.那么，期貨價(jià)格的期望值就是現(xiàn)在的期貨價(jià):F(t,Ti)EtF(T,TJ又因?yàn)槠谪泝r(jià)格最終要收斂于現(xiàn)貨價(jià)格，也滿足：F(t,Ti)EtS(TJ當(dāng)利率是常數(shù)時，滿足D(t,T)er(Tt),D(t,T1)D(t,T)D(T,T1)實(shí)物交割的互換期權(quán)期權(quán)的持有方在 T T 時刻，獲得一系列期貨的長頭寸：mVcsw(T)MAXSW(T),0,SW(T)QD(T,1)F(T

21、,Ti)Ki1mVcsw(T)Q*MAXD(T,T)(F(T,Ti)K),0i1mVcsw(T)Q*MAXer(TiT)(F(T,T)K),0i1將F(T,Ti)STer(Ti-T)代入，得到mmKD(T,Ti)D(T,Ti)K,0mQ*MAX(ST,0iim代入 BSBS 公式可得到看漲看跌期權(quán)的價(jià)格分別是:mQStN(di)Ker(TN&)mQKer(TN(d2)SoN(di)S2,、ln(T(r)(T-t)K2T-td1.T-t實(shí)物交割的互換期權(quán)，還可以利用這個關(guān)系：D(T,Ti)F(t,Ti)F(t,T),T工我們將實(shí)物交割的看漲互換期權(quán)在 T T 時刻的收益寫作：mVcsw(

22、T)Q*MAXD(T,Ti)(F(T,Ti)K),0i1mVcsw(T)Q*MAXD(T,Ti)(F(T,Ti)K),0i1mQ*MAXD(T,Ti)(D(Ti,Tm)F(T,Tm)K),0i1mQ*MAXmD(T,Tm)F(T,Tm)D(T,Ti)K,0i1mKD(T,T)Q*D(T,Tm)*MAXmF(T,Tm),0D(T,Tm)m_KD(T,Ti)如果我們令KD(T,Tm)J.mQ*D(T，Tm)*MAXF(T，Tm)爭0Vcsw(T)Q*MAX(mST這個期權(quán)就是mQ份執(zhí)行價(jià)為mK*D(T,Ti)i1m的歐式看漲期權(quán)。令mKD(T,Ti)Kmdid2K布萊克的期貨期權(quán)公式，這是mQ*D

23、(T,Tm)份額的，執(zhí)行價(jià)為一的期貨期權(quán)mcQ*D(t,Tm)*mF(t,Tm)N(di)KN(d2)pQ*D(t,Tm)KN(d2)mF(t,Tm)N(di)2mF(t,Tm)2/、ln(-)(T-t)K2Ttd1T-t1.1.2現(xiàn)金交割的互換期權(quán)期權(quán)的持有方在 T T 時刻，獲得一系列期貨的長頭寸和一個收益：mVcsw(T)Q*MAX(F(T,Ti)K),0i1既然期貨的長頭寸的價(jià)值為 0,0,在為期權(quán)定價(jià)時，便可忽視之。將F(T,Ti)STer(Ti-T)代入，就得到mVcsw(T)Q*MAX(STer(TiT)mK,0i1代入 BSBS 公式可得到:cQer(TT)SN(d1)m楝er

24、(T)(d、)i1r(TiT)ei1mr(TT)mKr(Tt)Pe-eN(d2)SN(d/i1r(TT)did，mVcsw(T)Q*er(TiT)*MAX(STi1mKmer(TiT)e,0這個期權(quán)就是Q*emr(TiT)份執(zhí)行價(jià)為i1mK耳一二；的歐式看漲期權(quán)。r(TiT)ei1e還可以利用這個關(guān)系：D(T,TJF(t,TJF(t,T), ,TTimVcsw(T)Q*MAXF(T,Ti)K,0i1mQ*MAXD(Ti,Tm)F(T,Tm)K,0i1mQ*MAX(D(Ti,Tm)F(T,Tm)mK,0i1mQ*D(Ti,Tmi)*MAXF(T,Tm)K,0i1D(Ti,Tm)i1mKmD(Ti

25、,Tm)i1m_參考布萊克的期貨期權(quán)公式，這是Q*D(Ti,Tmi)份額的，執(zhí)行價(jià)為Ki1m_cQ*D(Ti,Tm)*F(t,Tm)N(d1)KN(d2)i1m_pQ*D(T,Tm)KN(d2)F(t,Tm)N(d1)i12ln(3!)f-t)K2、Ttd1T-tHJMHJM 框架下,MILTERSEMMILTERSEM 口 SCHWARTZSCHWARTZ 因素模型MILTERSEMILTERSE麗SCHWARTSSCHWARTS 出了即期商品價(jià)格，遠(yuǎn)期利率和便利收益率的三因素模型。在假設(shè)商品價(jià)格遵從對數(shù)正態(tài)分布，利率和便利收益率為正態(tài)分布時，給出了類似 BSMBSM 模型的解析解。他們也意

26、識到商品價(jià)格走勢具有均值回歸特性，利用商品價(jià)格和便利收益率的正相關(guān)性給出了解釋.ln(Sodidii1mKdiT-t)(r.一T-t2)(T-t)2的期貨期權(quán)d1d22、HJM框架下單因素模型定價(jià)所謂單因素模型，也就是在假設(shè)商品的便利收益率和利率都是常數(shù)的前提之下，對商品的價(jià)格建立一個隨機(jī)微分方程，從而得到商品互換期權(quán)的價(jià)格。假設(shè)商品價(jià)格S(t)服從如下幾何布朗運(yùn)動：dS(t)()S(t)dtS(t)dW(t)其中：常數(shù)r為利率，為商品的便利收益率，為商品價(jià)格的波動率，dW(t)為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。假設(shè)存在一個風(fēng)險(xiǎn)中性世界，即存在一個與風(fēng)險(xiǎn)測度P等價(jià)的測度Q,tR(u)du在這個測度下，所有的價(jià)格

27、過程在經(jīng)過貼現(xiàn)過程D(t)e0后在Q下是鞅:S(0)EQD(t)S(t),當(dāng)利率是常數(shù)r時，S(0)EQertS(t)在Q測度下，S(t)過程變成：dS(t)(r)S(t)dtS(t)dW(t)EQS(T)Ste(r)(Tt)若現(xiàn)在t時刻，投資者B買入一份看漲的實(shí)物交割的互換期權(quán)，假設(shè)期權(quán)在T時刻到期，則在T時刻，該互換對于B的價(jià)值為mKD(T,Ti)Km代入BS公式可得到看漲看跌期權(quán)的價(jià)格分別是:D(T,Ti)er(TIiT)ETQS(Ti)STe(r)(TiT)SW(T)D(T,Ti)ES(Ti)Ki1mSW(T)er(TiT)STe(r)(TiT)Ki1在T時刻開始的互換，如果讓合約價(jià)值

28、等于0,也就是mSTe(TiT)i1mer(TiT)ei1這就是互換的價(jià)格。其互換期權(quán)在T時刻的價(jià)值為:Vcsw(T)MAXSW(T),0故將F(T,Ti)STer(Ti-T)代入，得到Vcsw(T)QMAX(mSTD(T,Ti)K,0mQMAX(STmKD(T,Ti)i1,0_rTtcmQStNdiKeNck_rTt_pmQKeNd2SQNdiSt2,、In(曾)(r萬)(T-t)T-td1T-t3、HJM框架下兩因素模型定價(jià)對于兩因素模型，我們參考了Schwartz1997的兩因素模型，即假設(shè)利率是一個常數(shù)，即定義模型如下：dS(t)sS(t)dtsS(t)dWs(t)d(t)dtdW(t

29、)F(T,Ti)STer(TT)cor(Ws,W)s 小小 4.s,、/s，均為常數(shù)。若假設(shè)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是K,期權(quán)的到期日為T。t表示現(xiàn)在時刻，用D(t,T)表示折現(xiàn)率，F(xiàn)(t,T)表示t時刻看T時刻到期的遠(yuǎn)期或期貨的價(jià)格，則t時刻的互換價(jià)值可以表示為:NND(t,T)*F(t,Ti)SW(t)D(t,Ti)*(1JNK)i1D(t,Ti)i1從而看漲期權(quán)的收益為：V(T)MAXSW(T),Q故，在完全市場中，對看漲期權(quán)的無套利價(jià)格就是風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的期望值:cD(t,T)EQMAXSW(T),Q由上述對標(biāo)的資產(chǎn)S以及其便利收益率的SDE的假設(shè)，利用布萊克期貨期權(quán)公式，可得：D(T,T)-r

30、(TT)edid2其中D(t,1)*N)KN(d2)D(t,T)i1其中ND(t,Ti)*F(t,T)11ln(/K)-(t,T)D(t,Ti)did2(t,T)i1-.(t,T)NN(0,T)w(0,Ti)*w(0,Tj)*J(T,Ti,Tj)i1j1這里Nw(0,Ti)D(0,Ti)*F(0,Ti)/(D(0,1)*F(0,1)i1/(TiT)TiI(T,Ti)(T(ee)1(TT)T1(T.T)T,1(TT.2T)(TT)J(T,Ti,Tj)(T-(e(TTi)eTi)(ejej)(eijeij)4、HJM框架下三因素模型定價(jià)dr(t)kf(mr(t)dtfdWr(t)結(jié)論：可以看出三因

31、素互換定價(jià)公式實(shí)質(zhì)上與兩因素定價(jià)公式是相同的，也就是說，如果采用我們所選取的模型，則互換的價(jià)格只與初始的利率的期限結(jié)構(gòu)有關(guān)系，而與以后階段利率的期限結(jié)構(gòu)無關(guān).所以只要我們所選取的利率模型與當(dāng)前的利率結(jié)構(gòu)匹配就可以了，而無需考慮其具體演化過程.N*T2*S*Sw(0,TJ*I(T,Ti)i1HJMHJM 框架下,MILTERSEMMILTERSEM 口 SCHWARTZSCHWARTZ 因素模型MILTERSEMILTERSE 麗 SCHWARTSCHWART 股出了即期商品價(jià)格，遠(yuǎn)期利率和便利收益率的三因素模型。在假設(shè)商品價(jià)格遵從對數(shù)正態(tài)分布，利率和便利收益率為正態(tài)分布時，給出了類似 BSMB

32、SM 模型的解析解。他們也意識到商品價(jià)格走勢具有均值回歸特性，利用商品價(jià)格和便利收益率的正相關(guān)性給出了解釋.即期商品價(jià)格S(t), ,利率r(t), ,便利收益率(t)在風(fēng)險(xiǎn)中，f f 測度下，Tr(s)dsP(t,T)Eet|FtT(r(s)(s)dsS(t)EetST|FtTr(s)dsEet0|FtP(t,T)T(s)dsStCov(et,e連續(xù)遠(yuǎn)期便利收益率(t,s)G(t,T)EST|EP(t,T)Eet(s)ds|FtG(t,T)F(tJ)島Tr(s)dsCov(et-IT|Ft)St在 HJMHJM 框架下，作者采用了遠(yuǎn)期利率f(t,s),P(t,T)EeTr(s)dst|Fte

33、Tf(t,s)dstF(t,T)F(t,T)Tr(s)ds,&|Ft-StG(t,T)-eP(t,T)遠(yuǎn)期利率和即期利率的關(guān)系:f(t,t)r(t)便利收益率之間也存在這類似的關(guān)系:(t,t)(t,t)(t)作者在用如下的 SDESDE 來描述現(xiàn)貨，遠(yuǎn)期利率和遠(yuǎn)期便利收益率，期貨便利收益率:dStsStdts(t)StdWtQdf(t,s)f(t,s)dtf(t,s)dWtQQd(t,s)(t,s)dt(t,s)dWtd(t,s)(t,s)dt(t,s)dWtQ那么，以Ti時刻到期的期貨為標(biāo)的的，一個T時刻到期的期權(quán)，如果在T時刻的收益是V(T)，它在t時刻的價(jià)值就是：TQf(s,s)

34、dsC(t)EtQet(G(T,Ti)K)在假設(shè)了期貨便利收益率和遠(yuǎn)期利率滿足正態(tài)分布，商品滿足正態(tài)分布，期貨期權(quán)的解析解是：1nG(t,T)i121nG(t,T)i12C(t)P(t,T)(G(t,T1)eN(K2)KN(K2)TTI2t|S(U)u(f(u,s)(u,s)ds|duTTTIt(uf(u,d)ds).(S(U)u(f(u,s)(u,s)ds)duF(t,T)-eP(t,T)T(t,s)dstT(f(t,s)(t,s)dsStet連續(xù)期貨便利收益率(t,s)T(t,s)dstT(f(t,s)(t,s)dsSet5、HJM框架下的近似解法作者 KARLLARSSONKARLLAR

35、SSON 波動率可以看做是時間和到期日的函數(shù)時，近似解法給出了一個作者認(rèn)為在互換交易中，遠(yuǎn)期價(jià)格比期貨更適合。在 HJMHJM 框架下，互換期權(quán)的價(jià)格只能由蒙特卡洛法得到，而沒有解析解。然而在波動率確定的情形下，可以近似給出一個解析解。在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下，遠(yuǎn)期的價(jià)格是：TQ%dsF(t,T)EQD(t,T)期貨的價(jià)格是：(t,T)EQST可以看出，如果利率是確定的，就是一樣的。假設(shè)零息債券的價(jià)格可以表示為:Tf(t,s)dsD(t,T)etf(t,s)是連續(xù)遠(yuǎn)期利率。Tf(t,s)(t,s)ds則遠(yuǎn)期價(jià)格就是：F(t,T)Stet作者在用如下的 SDESDE 來描述現(xiàn)貨，遠(yuǎn)期利率和遠(yuǎn)期便利收益率

36、:dStsStdts(t)StdW(Qdf(t,s)f(t,s)dtf(t,s)dWQd(t,s)(t,s)dt(t,s)dWQmSW(t)QD(t,Ti)y(t)K或者是與現(xiàn)貨不相關(guān)的，那么遠(yuǎn)期的價(jià)格和期貨的價(jià)格則遠(yuǎn)期價(jià)格就是：F(t,T)Tf(t,s)dsStet類似地，定義一個連續(xù)遠(yuǎn)期便利收益率:(t,s)i1首先，用A(t)作為一個 NUMERAIRENUMERAIRE 相應(yīng)的測度定為 Q,Q,dQA(T)/A(t)dQM(T)/M在新的測度下，c(t)A(t)EtQy(T)K6、單因素-兩因素-三因素模型及其實(shí)證4.3.4實(shí)證分析（先只考慮單因素模型的，兩因素模型有待進(jìn)一步考慮）考慮棕楣油的商品互換期權(quán)的定價(jià)， 我們假設(shè)棕楣油每日的交割價(jià)服從