全等中的基本模型.學(xué)生版

1、全等中的基本模型平移型全等全等二角形的基木模型時(shí)稱型全等旋牯型坐等輔助線添加初步模塊一平移型全等知識(shí)導(dǎo)航把一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，它們的位置雖然變化了， 但是形狀、大小都沒有改變， 即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等 .我們把平移、翻折（軸對(duì)稱）、旋轉(zhuǎn)稱為幾何變換.這一講 我們就來學(xué)習(xí)基本變換下的全等三角形.常見平移模型AC CE, BD DF , AE BF , AC BD .【弓I例】如圖， A E、F、B四點(diǎn)在一條直線上, 求證：CF DE【解析】AC CE, BD DF ACE BDF 90 在 RtACE 和 RtABDF 中AC BDAE BF RtA ACE 9 RtABD

2、F HLCE DF , AEC BFD CEF DFE 在CEF和ADFE中CEF DFEEF FE ACEFADFE . CF DECE DFAB CD , DE / AF ,且 DE AF.求證：AFCDEB如果將BD沿著AC邊的方向平行移動(dòng)，圖 2, B點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)；圖3, B點(diǎn)在C點(diǎn)右 側(cè)時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)選擇一種情況請(qǐng)予證明；如果不成 立，請(qǐng)說明理由.FFF圖1圖2圖3模塊二對(duì)稱型全等i-知識(shí)導(dǎo)航常見軸對(duì)稱模型E分別是 AB、AC的中點(diǎn)， AM CD于M【例 2】 如圖，4ABC 中，AB = AC, BDAC 于 D, CE AB 于 E, BD 和CE

3、交于點(diǎn)O, AO的延長(zhǎng)線交BC于F,則圖中全等直角三角 形的對(duì)數(shù)為（）A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)如圖， 4ABE和 ADC是 ABC分別沿著 AB , AC翻折到同一平面內(nèi)形成的.若1:2: 3 15:2:1 ,則 4 【例3】如圖，AB AC, D、 求證：AM AN .知識(shí)導(dǎo)航模塊三旋轉(zhuǎn)型全等 u.常見旋轉(zhuǎn)模型:JhfT夯實(shí)基礎(chǔ)仁【引例】如圖，在4ABC中，A: B:【解析】繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的 角形的邊AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求A: B: ACB 3:5:10一10一 ACB 18010018由4ACB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到 ABCACB 3:5:10 ,若將 4ACBABC中的頂點(diǎn)B在

4、原三 BCA的度數(shù).ACB ACB BCA100 ACB100 2BCA 18018020能力提升【教師鋪墊】 如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),角形.請(qǐng)你證明： AN BM ;4DEC為等邊三角形； ACM、(4)MFA 60);DE II AB.CBN是等邊三【例4】 如圖1,若4ABC和4ADE為等邊三角形，M、N分別EB, CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE ,AMN是等邊三角形.當(dāng)把 ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=BE是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明，若 不成立請(qǐng)說明理由；當(dāng)把 ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)， AMN是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給 出證明；若不是，請(qǐng)說明理由.【例5】 如圖1

5、,若四邊形ABCD、GFED都是正方形，顯然圖中有 AG=CE, AGXCE.當(dāng)正方形 GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立， 請(qǐng)給出證 明，若不成立，請(qǐng)說明理由；當(dāng)正方形 GFED繞D旋轉(zhuǎn)到B, D, G在一條直線 （如圖3）上時(shí)，連結(jié) CE,設(shè)CE 分別交AG、AD于P、H,求證：AG CE .? 模塊四輔助線添加初步知識(shí)導(dǎo)航輔助線：在幾何學(xué)中用來幫助解答疑難幾何圖形問題，在原圖基礎(chǔ)之上另外所作的具有極大價(jià)值的直線或者線段.添輔助線的作用：凸顯和集散1 .揭示圖形中隱含的性質(zhì)：當(dāng)條件與結(jié)論間的邏輯關(guān)系不明朗時(shí)，通過添加適當(dāng)?shù)?輔助線，將條件中隱含的有關(guān)圖形的性質(zhì)充分

6、揭示出來，以便取得過渡性的推論，達(dá)到推 導(dǎo)出結(jié)論的目的.2 .聚攏集中原則：通過添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形中分散、遠(yuǎn)離的元素，通過變換 和轉(zhuǎn)化，使他們相對(duì)集中，聚攏到有關(guān)圖形上來，使題設(shè)條件與結(jié)論建立邏輯關(guān)系，從而 推導(dǎo)出要求的結(jié)論 .3 .化繁為簡(jiǎn)原則：對(duì)一類幾何命題，其題設(shè)條件與結(jié)論之間在已知條件所給的圖形 中，其邏輯關(guān)系不明朗，通過添置適當(dāng)輔助線，把復(fù)雜圖形分解成簡(jiǎn)單圖形，從而達(dá)到化 繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的 .4 .發(fā)揮特殊點(diǎn)、線的作用：在題設(shè)條件所給的圖形中，對(duì)尚未直接顯現(xiàn)出來的各元 素，通過添置適當(dāng)輔助線，將那些特殊點(diǎn)、特殊線、特殊圖形性質(zhì)恰當(dāng)揭示出來，并充分 發(fā)揮這些特殊點(diǎn)、線的作用

7、，達(dá)到化難為易、導(dǎo)出結(jié)論的目的5 .構(gòu)造圖形的作用：對(duì)一類幾何證明題，常須用到某種圖形，這種圖形在題設(shè)條件 所給的圖形中卻沒有發(fā)現(xiàn)，必須添置這些圖形，才能導(dǎo)出結(jié)論，常用方法有構(gòu)造出線段和 角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等BECD能力提升【例6】 如圖 ABC中，AD平分/ BAC, DG BC且平分BCDEL AB 于 E, DFXAC 于 F.說明BE=CF的理由;AGCBF如果 AB=a , AC=b ,求 AE、BE的長(zhǎng).【例7】 如圖1,已知 ABC中，AB BC 1 , /ABC 90，把一塊含30角的直角三角板 DEF 的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短

8、直角邊為 DE ,長(zhǎng)直角邊為DF ）,將 直角三角板 DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).直線 DE交直線AB于M ,直線DF交直 線BC于N .在圖1中，證明DM DN ；在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與 ABC的重疊部分為四邊形 DMBN ,請(qǐng)說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明是如何變化的？若不發(fā)生 變化，求出其面積； 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖 2的位置，DM DN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不 成立，請(qǐng)說明理由；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，DM DN是否仍然成立？請(qǐng)寫出結(jié)論，不用證明.E圖1圖2BC圖3探索創(chuàng)新【例8】如圖所示：AF CD, BC EF , AB DE ,

9、A 求證：BC II EF .,顰CFD訓(xùn)練1. 如圖所示： AB AC, AD AE , CD、BE相交于點(diǎn)O. 求證：AO平分 DAE .訓(xùn)練2. 如圖，BD、CE分別是 ABC的邊AC和AB邊上的高，點(diǎn)P在BD 的延長(zhǎng)線上，BP AC ,點(diǎn)Q在CE上，CQ AB .求證：AP AQ ;AP AQ .訓(xùn)練3.在凸五邊形中，B E ,M為CD中點(diǎn).求證：AM訓(xùn)練4. 如圖，AB AE , ABCAED, BC ED ,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).求證： AF CD .題型一 平移型全等 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】 如圖，若 AB CD, A、E、F、C在一條直線上， AE CF ,過E、F分別作 DE AC,

10、 BF AC.求證：BD 平分 EF . 若將ADEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)到圖的位置時(shí)，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.題型二對(duì)稱型全等鞏固練習(xí)【練習(xí)2】 如圖，已知 RtAABC RtAADE , ABC 接 CD、 EB.圖中還有幾對(duì)全等三角形，請(qǐng)你一一列舉；求證：CF=EF .ADE 90 , BC與DE相交于點(diǎn)F ,連題型三旋轉(zhuǎn)型全等鞏固練習(xí)【練習(xí)3】如圖，在 RtABC 中，AB AC , 分別是CD、AD上的點(diǎn)，且CE么 DBF .AD BC ,垂足為 D . E、FAF .如果 AED 62 ,那【練習(xí)4】如圖，已知 ABD和4AEC都是等邊三角形，AF CD于F , AH BE于H ,請(qǐng)問： AF和AH有何 關(guān)系？請(qǐng)說明理由.題型四輔助線添加初步鞏固練習(xí)【練習(xí)5】如圖，一等腰直角三角尺 GEF的兩條直角邊與正方形 ABCD的兩條邊分別重合在 一起.現(xiàn)正方形 ABCD保持不動(dòng)，將三角尺 GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)0（點(diǎn)O也是BD中 點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn). 如圖，當(dāng)E