3矩陣特征值與特征向量的計算ppt課件

1、第三章第三章 矩陣特征值和特征向量計算矩陣特征值和特征向量計算轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問題。轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問題。,的的非非零零解解工程實踐中有許多問題，工程實踐中有許多問題，如橋梁或建筑物的振動，機械如橋梁或建筑物的振動，機械機件、飛機機翼的振動，機件、飛機機翼的振動，及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可o1 的的特特征征值值由由它它的的特特征征方方程程A ( )det()0IA 的的根根確確定定。o 2 設設 為為 的的特特征征值值，A 求求齊齊次次線線性性方方程程組組 ()0IA x 便便得得到到的的屬屬于于的的特特征征向向量量。A (),設設是是

2、 階階方方陣陣ijn nAan 如如果果數(shù)數(shù)和和維維非非零零向向量量 滿滿足足nx ，Axx 的的一一個個則則稱稱，為為特特征征值值A(chǔ) 對對稱稱為為矩矩陣陣應應xA于于。的的特特征征向向量量 3.1. 冪法和反冪法冪法和反冪法3.1.1 冪法冪法冪法用于求矩陣冪法用于求矩陣A A的按模最大的特征值及相應的特征向量。的按模最大的特征值及相應的特征向量。一、算法構(gòu)造及收斂性分析一、算法構(gòu)造及收斂性分析 1 設設階階實實方方陣陣 滿滿足足：條條件件n nA o121 ,;有有 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量nAnxxxo122 ,的的 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量對對應應的的特

3、特征征值值滿滿nAnxxx12足足。n下下面面通通過過分分析析由由迭迭代代格格式式( )(1)0,1,2,;初初始始值值任任意意選選取取。( (3 3. .1 1) )kkuAuku ( )1產(chǎn)產(chǎn)生生的的序序列列的的收收斂斂情情況況來來構(gòu)構(gòu)造造計計算算 和和它它對對應應的的特特征征ku 1向向量量 的的計計算算方方法法。x(0)1122,nnuxxx 設設則則21112211kkknnnxxx 110,(2,3, ) iin 不不妨妨設設由由得得( )(1)2(2)(0)kkkkuAuA uA u 1122= kkknnA xA xA x 111222kkknnnxxx 1 lim kiiik

4、x ( )(0)(3.1),kkuA u 1 1由由于于迭迭代代公公式式本本質(zhì)質(zhì)上上是是計計算算于于, ,因因此此稱稱( +1)( )kkuu與與對對應應分分量量近近似似成成比比例例，比比例例因因子子正正好好近近似似等等這這種種迭迭代代法法為為冪冪法法。( )11111121knkkkiiiiuxxx (+1)+1()1111kkkuxu 同同樣樣，我我們們還還有有。( )1ku 可可把把作作為為與與相相應應的的特特征征向向因因此此，量量的的近近似似。k當當 充充分分大大時時，有有歸一化處理與實際計算方法歸一化處理與實際計算方法(1)(1)(1)(0)( )(1) 1,2,;kkkkkuyuk

5、uuAy 任任意意選選取取。2112211112112211kknknnkknnnxxxxxx (1)2(2)(0)( )(1)(2)1(0);kkkkkkkAuA uA uuuAuAu 分分析析：( )(0)( )( )(0) ykkkkkuA uuA u ( )( )111111yykkkxkx 當當 充充分分大大時時，有有，即即可可近近似似地地作作( )1y=1k 為為對對應應的的特特征征向向量量，且且特征值的計算特征值的計算 ( )(1)(1)1TT(1)( )(1)(1)11 ,kkkkkkkuAyyyuyy 方方法法 由由于于從從而而有有， T(1)( )1T(1)(1)kkkky

6、uyy (1)kky 1 1最最后后作作為為 的的近近似似值值，以以作作為為其其對對應應的的特特征征向向量量。3.1迭迭代代算算法法 (1)(1)(1)kkkuyu ( )(1)kkuAy T(1)( )T(1)(1)=kkkkkyuyy 1,2,;k 1kkk 終終止止條條件件：。(0)u任任意意選選取取。 2(1)(1)T(1)(1)(0)( )(1)T(1)( )1(1)3.2 () 1,2,;=kkkkkkkkkkkkkkuyuukuuAyyuy 1 1迭迭代代算算法法使使用用范范數(shù)數(shù)任任意意選選取取。終終止止條條件件：。最最后后作作為為 的的近近似似值值，以以作作為為其其對對應應的的

7、特特征征向向量量。 (1)(1)1(1)(1)(1)(0)T( )(1)( )( )( )12(1)( )1(1)3.3 max 1,2,;,=signkkrjj nkkkrkkkkknkkkrrkkkkkhhuyhkuuAyhhhhhy 1 1迭迭代代算算法法使使用用范范數(shù)數(shù)任任意意選選取取。終終止止條條件件：。最最后后作作為為 的的近近似似值值，以以作作為為其其對對應應的的特特征征向向量量。1(0)7612621324121251(1,0,0) ,10 .kkTkAx 例例1 1：用用冪冪法法求求矩矩陣陣的的按按模模最最大大的的特特征征值值和和相相應應的的特特征征向向量量。取取0 1 2

8、16 171 0.2857143 0.3617725 0.0000024 0.00000100 -1.0000000 -0.5878803 -0.4472155 -0.44721440 -0.5714286 -0.7235450 -0.8944262 -0.8944268 6.0000000 31.4081633 44.9999275 44.9999710123kkxxx 3.2解解：應應用用算算法法的的結(jié)結(jié)果果0 1 2 11 121 0.2857143 0.5000000 0.0002623 0.00010480 -1.0000000 -0.8125000 -0.5002619 -0.50

9、10491 0 -0.5714286 -1.0000000 -1.0000000 -1.0000000 21.000000 20.5714286 44.9999723 45.0000055123kkxxx 3.3 應應用用算算法法的的結(jié)結(jié)果果( +1)( )( )=kkkuAuu 1 1也也有有. .這這表表明明對對這這種種情情況況冪冪法法仍仍然然有有效效。121 mmn 時時冪冪法法是是否否有有效效？12 前前面面假假定定。若若按按模模最最大大的的特特征征值值有有多多個個，即即有有112,2mmAn是是重重根根，即即矩矩陣陣 仍仍條條有有件件個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量。此此時時

10、有有 ( )11111111kkkkmnmmmmnnuxxxx 1,mk 顯顯然然，只只要要不不全全為為零零，當當 充充分分大大時時，就就有有( )111()kkmmuxx 111mmxxA 因因也也是是矩矩陣陣 相相應應于于 的的特特征征向向量量，所所以以，( )1kku 當當 充充分分大大時時，仍仍可可近近似似地地作作為為 對對應應的的特特征征向向量量，同同樣樣 (1)( )( )kkkxAxx 如如果果按按迭迭代代所所得得向向量量序序列列呈呈有有規(guī)規(guī)律律的的擺擺A綜綜上上可可知知，當當 的的特特征征值值分分布布為為12n 或或12112mmnm ( () )1 時時，用用冪冪法法可可以以

11、計計算算出出及及相相應應的的特特征征向向量量。 冪冪法法計計算算簡簡便便易易行行，它它是是求求大大型型稀稀疏疏矩矩陣陣按按模模最最大大特特An動動，則則應應考考慮慮用用別別的的方方法法求求解解。此此外外，當當矩矩陣陣 無無 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征量量時時，冪冪法法收收斂斂很很慢慢，亦亦應應考考慮慮改改用用其其他他方方法法。征征值值的的常常用用方方法法。3.1.2 反冪法反冪法11111 , 1 AnnxAAxxxAxAxxAAAAA 設設 為為階階非非奇奇異異矩矩陣陣，為為 的的特特征征值值與與相相應應的的特特征征向向量量，即即此此式式表表明明，的的特特征征值值是是 的的特特征征值值

12、的的倒倒數(shù)數(shù)，而而相相應應的的特特征征向向量量不不變變。因因此此， 若若對對矩矩陣陣用用冪冪法法，即即可可計計算算出出的的按按模模最最大大的的特特征征值值，其其倒倒數(shù)數(shù)恰恰為為 的的按按模模最最小小的的特特征征值值。這這就就是是反反冪冪法法的的基基本本思思想想。反冪法是計算矩陣按模最小的特征值及特征向量反冪法是計算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相應特征向量的最的方法，也是修正特征值、求相應特征向量的最有效的方法。有效的方法。o12o121211 ,;2 ,nnnnnnAAnxxxAnxxx 設設階階實實方方陣陣 滿滿足足：有有 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量

13、的的 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量對對應應的的特特征征值值滿滿足足 。n 則則用用反反冪冪法法計計算算及及相相應應的的一一個個特特征征向向量量的的步步驟驟如如下下: :1( )(1)( )1(1)( ) kkkkkAAAuuuA uuAA 因因為為的的計計算算比比較較麻麻煩煩，而而且且往往往往不不能能保保持持矩矩陣陣的的一一些些好好性性質(zhì)質(zhì)（如如稀稀疏疏性性），因因此此，反反冪冪法法在在實實際際運運算算時時以以求求解解方方程程組組 代代替替冪冪法法迭迭代代求求得得，每每迭迭代代一一次次要要解解一一個個線線性性方方程程組組。由由于于矩矩陣陣在在迭迭代代過過程程中中不不變變，故故當當

14、的的階階數(shù)數(shù)不不是是很很大大時時，可可考考慮慮對對 先先進進行行三三角角分分解解，則則每每次次迭迭代代只只要要解解兩兩個個三三角角形形方方程程組組。 ( -1)( -1)( -1)( -1)( )T(1)( )T(1)(1)1( )1 2 3 5 =16 kkkkkkkkkkkkknnkAALUuRuyuLzyUuzyuyyy (0)(0)k k對對 進進行行三三角角分分解解任任取取非非零零向向量量做做初初始始特特征征向向量量；; ;4 4 解解方方程程組組，；當當時時，以以作作為為的的近近似似值值，作作相相應應的的近近似似特特征征向向量量。 ()3.4算算法法反反冪冪法法* 0 () ()i

15、iiiiAAIAI用帶原點移位的反冪法來修正特征值，并求相應的特征向量是非常有效的。設已知 的一個特征值 的近似值為，因接近 ，一般有故是矩陣的按模最小的特征值，且由上式可知，比值較小。因此，對用反冪法求一般收斂很快，通常只要經(jīng)過二、三次迭代就能達到較高的精度。反冪法的一個應用 *(0)*( -1)( -1)( -1)( -1)( )T(1)( )T(1)(1)1*( ) 1. (),2. ()3 5 =16 3. 5ijkkkkkkkkkkkkkiikAauNAILUuyuLzyUuzyuyyy k k輸輸入入近近似似值值，初初始始向向量量, ,誤誤差差限限 ，最最大大迭迭 代代次次數(shù)數(shù) 。

16、作作三三角角分分解解 ; ;4 4 解解方方程程組組，；當當時時，以以+ +作作為為 的的近近似似算算值值法法：， 作作相相應應的的近近似似特特征征向向量量。(0)210 021012(0,0,1) . 2.930.9310 2.9300.931010.93100 0100 1/0.931TAAxAIAI例：，用反冪法求矩陣 接近2.93的特征值，并求相應的特征向量，取解：對作三角分解得40.931000.931000.93 1/0.9333.0000954,310(1, 0.9992431,0.9991478)(1,-1,1)0.001.TTur按算法迭代 次，與準確值 的誤差小于，與準確值

17、比較，殘差3.2 Jacobi方法方法1222,1(1) , diag(,) (1,2, ),2(),(), Tniijn nnTijn nijiji jAUU AUDinAUAaUBU AUbab 任任意意實實對對稱稱矩矩陣陣 可可通通過過正正交交相相似似變變換換化化成成對對角角陣陣 即即存存在在 正正交交矩矩陣陣使使得得其其中中是是 的的特特征征值值中中各各列列即即為為相相應應的的特特征征向向量量。（ ）在在正正交交相相似似變變換換下下，矩矩陣陣元元素素的的平平方方和和不不變變。設設為為正正交交矩矩征征向向量量。理理論論基基礎(chǔ)礎(chǔ)陣陣：，記記則則,1ni j Jacobi方方法法用用來來求求

18、實實對對稱稱矩矩陣陣的的全全部部特特征征值值及及相相應應特特Jacob ,iA通通過過一一次次正正交交變變換換 將將 中中一一對對非非零零的的非非對對角角元元素素化化成成零零 并并且且使使得得非非對對角角元元素素的的平平方方和和減減少少。反反復復進進行行上上述述過過程程，使使變變換換后后的的矩矩陣陣的的非非對對角角元元素素的的平平方方和和趨趨于于零零，從從而而使使該該矩矩陣陣近近似似為為對對角角矩矩陣陣，得得到到全全部部特特征征方方法法的的基基本本思思值值和和特特路路：征征向向量量。一、矩陣的旋轉(zhuǎn)變換一、矩陣的旋轉(zhuǎn)變換cos ,1sin ,pqppqqpqqppqUuuunuU 其其中中，的的

19、主主對對角角線線元元素素中中其其余余為為 ；而而其其非非主主對對角角線線元元素素中中維維空空間間中中的的二二維維坐坐其其余余為為標標旋旋0 0。稱稱為為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩矩陣陣。( )pqU 坐坐標標旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩矩陣陣是是正正交交矩矩陣陣. .11cossin1( )1sincos11pqU (1)(1)(1)22(1)22(1)(1)0, ()cossinsin2 sincossin2 cossin (, ) TpqqppqpqijppppqqpqqqppqqpqpiippiqiAaaAU AUaaaaaaaaaaaaaip qa 設設 為為實實對對稱稱矩矩陣陣，且且若若記記則則有有(1)(1)(1)(1

20、)(1)(1)sincos ( , )1()sin2cos2 2()cot2 2qiiqpiqiijjiijpqqpqqpppqppqqpqaaaaaai jp qaaaaaaaa 如如果果取取 使使得得(1)(1)(/4)0,.pqqppqqpaaAaa 則則有有得得到到一一個個使使 中中非非零零的的非非對對角角元元素素變變成成零零的的正正交交相相似似變變換換 (1)(2)( )(1)2(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1), ( ),()()( , ),cossin ,kijijijijijjiijpiippiqiqiiqAAAAAE AaE Aaaaai jp q aaaaa

21、a 對對重重復復上上述述過過程程得得到到一一個個矩矩陣陣序序列列?？煽勺C證，雖雖然然這這種種變變換換不不一一定定能能使使矩矩陣陣中中非非對對角角元元中中零零元元素素的的個個數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加，但但可可保保證證非非對對角角元元的的平平方方和和遞遞減減。以以 與與為為例例：設設，則則由由(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2,2222,sincos ,(, )=0()()()2()() +2() 2()( )2( ) piqipqqpijijpiqipqijijip qi jp qijpiqipqijip qi jp qaaip qaaE AaaaaaaaaE AaE A ，

22、上上式式表表明明，在在上上述述旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變換換下下，非非對對角角元元的的平平方方和和嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)遞遞減減，因因而而對對角角元元的的平平方方和和單單調(diào)調(diào)遞遞增增。( )o( )( )1j( )( )o( )( )(1)(1) 0,2 ,max3 cot2,cos24 sin ,( )4 3.6 Jacobik kkkk kk kk kkkkkkp qijinkkp pq qkp qkp qkkijkAAp qaaaaaUUAaa o oo o1 1 令令；求求整整數(shù)數(shù)使使得得計計算算旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩矩陣陣： 由由計計算算相相應應的的和和并并得得到到旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩矩陣陣；計計算算法法求求實實對對稱稱矩矩

23、陣陣全全部部特特征征值值和和對對應應的的特特征征向向量量：方方算算法法(1)( )(1)(1)(1)(1)( )( )(1)(1)( )( )o(1)(1) 2(1) ( , ), =0, cossin , (, ) sincos , (, )5()()(),kkkkjiijpqqpkkkkpiippiqikkkkqiiqpiqikkkijijai jp qaaaaaaip qaaaaip qE AaE A ，； , ,若若(1)(1)(1)1122(0)(1)( )o, 12kkknnnaaaQU UUkk 則則為為特特征征值值，的的各各列列為為相相應應特特征征向向量量；否否則則，返返回回

24、，重重復復上上述述過過程程。 ( )2(0)( )( )2( )( )( )( )1j(1)(1)( )( )2Jacobi, lim ()=lim0,Jacobi1 max()(1)()() 2() , k kk kk kkkkijkki jkkkkp qijp qinkkkkp qA nAAAAE AaaaaE An nAE AE Aa ：設設 為為 階階實實對對稱稱陣陣，對對 用用法法得得到到序序列列其其中中則則即即法法收收斂斂。：由由，得得；又又由由計計算算的的公公式式可可得得從從收收證證而而有有斂斂定定理理明明1(1)( )1( )22 ()1()1( )(1)(1)22 11,li

25、m ()lim 1( )0(1)(1)JacobikkkkkkkE AE AE An nn nE AE An nn n 因因即即法法收收斂斂。闡明：闡明：o1 Jacobi;定定理理表表明明，法法是是收收斂斂的的Jacobi法法是是求求中中小小型型稠稠密密實實對對稱稱矩矩陣陣的的全全部部特特征征值值與與特特征征向向量量的的較較好好方方法法。o2 JacobiAnAn當當 的的階階數(shù)數(shù) 不不太太高高時時，算算法法的的收收斂斂速速度度很很快快；但但當當 的的 階階數(shù)數(shù) 變變得得較較大大時時，其其收收斂斂速速度度將將會會變變慢慢，即即法法 為為適適合合計計算算中中等等規(guī)規(guī)模模的的實實對對稱稱矩矩陣陣

26、的的特特征征值值問問題題；o3 對對中中等等規(guī)規(guī)模模問問題題，具具有有較較好好的的數(shù)數(shù)值值穩(wěn)穩(wěn)定定性性；求求得得的的結(jié)結(jié)果果 的的精精度度也也很很高高，得得到到的的特特征征向向量量正正交交性性很很好好；o4 不不足足之之處處：運運算算量量大大，不不能能保保持持矩矩陣陣的的特特殊殊形形狀狀 （如如稀稀疏疏性性）。 00(0)12T(1)(0)(0)(0)0:1,2,cot20,4cos0.7071068,sin0.70710680.70710680.70710680 ( )0.70710680.70710680 ,001100.7071068030.70710680.70710680.70710682kpqUUAUA U 210121012AA 例例：用用JacobiJacobi方方法法求求 的的特特征征值值。解：解： 11(1)230.707106780.47765830.88807380.45970081 0 00 0.888071:2,3,cot2,cos,sin 38 -0.45970080 0.4597008 ( ) 0.88807kpqUU T(2)(1)(1)(1)38 3.0000000 0.3250