第04章扭轉(zhuǎn)(2008版)

1、材料力學(xué)材料力學(xué)第四章第四章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)4. .1 概述概述4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算4. .4 非非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)圓截面桿的扭轉(zhuǎn)4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算第四章第四章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)4. .1 概概 述述一、一、定義定義二、二、工程實(shí)例工程實(shí)例4. .1 概述概述一、定義一、定義 變形形式，變形形式，扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 作用下，桿的各橫截面產(chǎn)生作用下，桿的各橫截面產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的的M Mee在一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶矩在一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶矩簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)

2、稱扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)。 g gj j4. .1 概述概述二、工程實(shí)例二、工程實(shí)例鉆床的鉆桿鉆床的鉆桿4. .1 概述概述二、工程實(shí)例二、工程實(shí)例機(jī)器中的傳動(dòng)軸機(jī)器中的傳動(dòng)軸4. .1 概述概述二、工程實(shí)例二、工程實(shí)例機(jī)器中的傳動(dòng)軸機(jī)器中的傳動(dòng)軸4. .1 概述概述二、工程實(shí)例二、工程實(shí)例軸軸4. .1 概述概述二、工程實(shí)例二、工程實(shí)例直升機(jī)的旋轉(zhuǎn)軸直升機(jī)的旋轉(zhuǎn)軸4. .1 概述概述二、工程實(shí)例二、工程實(shí)例汽車的轉(zhuǎn)向柱管汽車的轉(zhuǎn)向柱管4. .1 概述概述扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角（ j j ） 任意兩個(gè)橫截面的任意兩個(gè)橫截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角相對(duì)轉(zhuǎn)角M Meeg gj j第四章第四章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和

3、變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一、橫截面上的內(nèi)力一、橫截面上的內(nèi)力二、橫截面上的應(yīng)力二、橫截面上的應(yīng)力三、三、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一、橫截面上的內(nèi)力一、橫截面上的內(nèi)力 外外法向扭矩為法向扭矩為 + + ，內(nèi)內(nèi)法向?yàn)榉ㄏ驗(yàn)?- - 。符號(hào)規(guī)定：符號(hào)規(guī)定：采用采用右手螺旋法則右手螺旋法則：繞軸線旋轉(zhuǎn)繞軸線旋轉(zhuǎn):0 xM0e MTeMT IIIMeMemmIMeTTmmIIMemm由截面法由截面法扭矩扭矩（T）的的內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 扭矩圖扭矩圖扭矩沿軸線的變化圖線扭矩沿軸線的變

4、化圖線 2. .正正值畫在值畫在上上方，方，負(fù)負(fù)值畫在值畫在下下方。方。扭矩圖的扭矩圖的畫法畫法： 1. .橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩；橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩；一、橫截面上的內(nèi)力一、橫截面上的內(nèi)力4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形例例1 某某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，1. .求扭矩求扭矩解：解： MeB=1000Nm， MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。試畫此軸的扭矩圖。MeAACBMeBMeC 對(duì)對(duì)AB段：段：:0 xM0e1 AMTAMTe1 MeAT111mN 350 MeAACBMeBMeC

5、mN 3501 TT2MeC 對(duì)對(duì)BC段：段：:0 xM0e2 CMTCMTe2 MeAT11122例例1 某某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，1. .求扭矩求扭矩解：解： MeB=1000Nm， MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。試畫此軸的扭矩圖。4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 對(duì)對(duì)AB段：段：mN 650 4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形mN 6502 T2. .畫扭矩圖畫扭矩圖mN 650max |T-+350 N m650 N m.T例例1 某某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：傳動(dòng)軸

6、受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，1. .求扭矩求扭矩解：解： MeB=1000Nm， MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。試畫此軸的扭矩圖。 對(duì)對(duì)AB段：段：MeAACBMeBMeCT2MeCMeAT11122 對(duì)對(duì)BC段：段：mN 3501 T( (1) )扭矩的簡(jiǎn)易畫法扭矩的簡(jiǎn)易畫法結(jié)論：結(jié)論：-350 N m650 N mT+. 為了減小傳動(dòng)軸內(nèi)的為了減小傳動(dòng)軸內(nèi)的扭矩，扭矩，應(yīng)合理的安排主動(dòng)應(yīng)合理的安排主動(dòng)MeAMeCMeB輪與從動(dòng)輪的位置輪與從動(dòng)輪的位置。( (2) )將輪將輪B與輪與輪C的位置對(duì)調(diào)的位置對(duì)調(diào) 350 N m1000 N mT+.4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的

7、應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形例例1 某某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，解：解： MeB=1000Nm， MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。試畫此軸的扭矩圖。MeAACBMeBMeC3. .討論討論11224. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形二、橫截面上的應(yīng)力二、橫截面上的應(yīng)力平面截面假設(shè)平面截面假設(shè)：1. .實(shí)驗(yàn)分析實(shí)驗(yàn)分析 橫截面在變形后仍保持為平面，且形狀和大小不橫截面在變形后仍保持為平面，且形狀和大小不變，半徑仍保持為直線。變，半徑仍保持為直線。推論推論：橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力，

8、只有切應(yīng)力。xpqOqpxdxABMeMeg gj jg gj j變形現(xiàn)象：變形現(xiàn)象： 任意兩個(gè)橫截面之間的任意兩個(gè)橫截面之間的距離沒(méi)有改變，但相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)距離沒(méi)有改變，但相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。了一個(gè)角度。4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形2. .應(yīng)力公式推導(dǎo)應(yīng)力公式推導(dǎo) 取微段取微段dx研究研究式中式中( (1) )變形幾何方面變形幾何方面單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角即：即：pqqpTR AABCCBOOg gg g dj jT12dx g gg gtan xddj j ( (1) )對(duì)給定的橫截面，對(duì)給定的橫截面，g g 與與 成正比。成正比。二、橫截面上的應(yīng)力二、

9、橫截面上的應(yīng)力xpqOqpxdxABMeMeg gj jg gj jxddj j 4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形( (2) )物理方面物理方面 由剪切胡克定律由剪切胡克定律即：即： 的方向：的方向：與半徑垂直與半徑垂直 ( (2) ) g g G 對(duì)給定的橫截面，對(duì)給定的橫截面， 與與 成正比。成正比。xGddj j 二、橫截面上的應(yīng)力二、橫截面上的應(yīng)力pqqpTR AABCCBOOg gg g dj jT12dxxddj j g g xpqOqpxdxABMeMeg gj jg gj j4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形( (3

10、) )靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面由由合力矩定理合力矩定理即：即：式中式中 GIp圓桿的抗扭剛度圓桿的抗扭剛度 ( (3) ) AAT d dd pGITx j j 反映了圓桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力反映了圓桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力OBB TmaxRxGddj j AAd2 AAxGddd2j j xGdd j j pIdAxGddj j 二、橫截面上的應(yīng)力二、橫截面上的應(yīng)力4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 將將( (3) )式代入式代入( (2) )式，得到式，得到式中式中 T 所求切應(yīng)力點(diǎn)的橫截面所求切應(yīng)力點(diǎn)的橫截面 所求切應(yīng)力點(diǎn)到圓心的距離所求切應(yīng)力點(diǎn)到圓心的距離 pIT

11、上的扭矩上的扭矩注意：注意：切應(yīng)力公式的適用范圍：切應(yīng)力公式的適用范圍： max p Ip橫截面對(duì)圓心橫截面對(duì)圓心O的極慣性矩的極慣性矩二、橫截面上的應(yīng)力二、橫截面上的應(yīng)力OBB TmaxdAR4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形3. .最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力即：即：式中式中pmaxITR ppRIW pmaxWT Wp 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)，單位：?jiǎn)挝唬簃3, mm3 。二、橫截面上的應(yīng)力二、橫截面上的應(yīng)力OBB TmaxdAR4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形常用截面的抗扭截面系數(shù)常用截面的抗扭截面系數(shù)( (1) )環(huán)形截面環(huán)形截

12、面)(/43pp1162 DDIWDd )(44p132 DI( (2) )圓形截面圓形截面 在環(huán)形截面中，令在環(huán)形截面中，令 = = 0，得到，得到163pDW 4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形三、扭轉(zhuǎn)變形三、扭轉(zhuǎn)變形1. .單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位：?jiǎn)挝唬簉ad/ /m dd pGITx j j 由由( (3) )式，式，即即 4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形2. .扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 相距相距 dx 的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 相距相距 l 的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 d

13、d pxGIT j j lj jj jd 單位：?jiǎn)挝唬夯《然《? (rad) )三、扭轉(zhuǎn)變形三、扭轉(zhuǎn)變形 d 0p lxGIT4. .2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形對(duì)于扭矩為常量的等直圓桿對(duì)于扭矩為常量的等直圓桿對(duì)于扭矩分段為常量等直圓桿或等直階梯圓桿對(duì)于扭矩分段為常量等直圓桿或等直階梯圓桿p GITl j j niiiiGIlT1pj j注意：注意：變形公式變形公式的的適用范圍適用范圍： max p三、扭轉(zhuǎn)變形三、扭轉(zhuǎn)變形第四章第四章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)4. .3 等直等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度的計(jì)算和剛度的計(jì)算一、外力偶矩的計(jì)算一、外力偶矩的計(jì)算二、強(qiáng)度條件

14、二、強(qiáng)度條件三、剛度條件三、剛度條件四、扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題四、扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題* *4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算一、一、外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 n 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速， 單位：?jiǎn)挝唬簉/min P 傳遞功率傳遞功率， 單位：?jiǎn)挝唬簁W式中式中 mN 9549 e nPM試問(wèn)試問(wèn)：汽車上坡應(yīng)該用快擋還是用慢擋？汽車上坡應(yīng)該用快擋還是用慢擋？4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算二、二、強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件式中式中 材料的材料的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力1.強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 pmaxmax WT| ( (2) )選擇截面；選擇截面；

15、 ( (1) )校核強(qiáng)度；校核強(qiáng)度； ( (3) )確定許用載荷。確定許用載荷。2.強(qiáng)度計(jì)算的三類問(wèn)題強(qiáng)度計(jì)算的三類問(wèn)題4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算三、三、剛度條件剛度條件式中式中 許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，常用，常用單位：?jiǎn)挝唬?/ /m。1.剛度條件剛度條件 180 pmaxmax GIT| ( (2) )選擇截面；選擇截面； ( (1) )校核剛度；校核剛度； ( (3) )確定許用載荷。確定許用載荷。2.剛度計(jì)算的三類問(wèn)題剛度計(jì)算的三類問(wèn)題4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例例2 一直徑為一直

16、徑為D1的的實(shí)心圓軸和另一實(shí)心圓軸和另一外徑為外徑為 D2、內(nèi)徑、內(nèi)徑為為d2 = 50MPa。若兩軸在兩端承受。若兩軸在兩端承受相同的外力偶矩相同的外力偶矩 ( (d2/D2 = 0.8) )的空心圓軸，長(zhǎng)度和所用材料均相同，的空心圓軸，長(zhǎng)度和所用材料均相同， Me = 5kN.m作用，試求：作用，試求： 1. .兩軸所用的材料之比兩軸所用的材料之比； 2. .兩軸的重量相同時(shí)，兩軸的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比。兩軸的重量相同時(shí)，兩軸的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比。1D2D2d 4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算解：解：1. .求求D1、D2和和d2eMTTT 空空實(shí)實(shí)p

17、 TW 由強(qiáng)度條件由強(qiáng)度條件可得可得 pmax WT36mm 50105 mkN5 35mm 10 4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算( (1) )實(shí)心圓軸實(shí)心圓軸16 31pDW mm 10 16351 D)(432p116 DW8 . 022 Dd mm 8 . 0110 163452)( D( (2) )空心圓軸空心圓軸mm 7622 Dd mm 80 mm 95 35mm 10 35mm 10 4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算( (3) )所用材料之比所用材料之比即：即：兩軸的橫截面面積之比兩軸的橫截面面積之

18、比空空實(shí)實(shí)AA計(jì)算表明：計(jì)算表明：空心軸比實(shí)心軸省材空心軸比實(shí)心軸省材)(22222144dDD 222221dDD 222769580 97. 1 4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算2. .求兩軸的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比求兩軸的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比 兩軸的重量相同，即兩軸的重量相同，即A實(shí)實(shí)= A空空，故由，故由得到得到)(22222144dDD )(222211 DD，于是有，于是有空空實(shí)實(shí)j jj j計(jì)算表明：計(jì)算表明：空心軸的扭轉(zhuǎn)變形比實(shí)心軸小空心軸的扭轉(zhuǎn)變形比實(shí)心軸小實(shí)實(shí)空空ppII 4144232132DD )( 2211 )(22214 D56.

19、4 空空實(shí)實(shí)ppGITlGITl 4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算結(jié)論：結(jié)論： 在扭轉(zhuǎn)變形中，采用在扭轉(zhuǎn)變形中，采用空心軸比空心軸比采用采用實(shí)心軸合理實(shí)心軸合理。4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例例3 某某傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為 n = 183.5r/min，輸出功率為輸出功率為 = 40MPa， = 1.5 / /m。試設(shè)計(jì)軸的直徑試設(shè)計(jì)軸的直徑 d。 PA = 0.756kW，PC = 2.98kW，材料的材料的 G = 80GPa，解：解：1. .計(jì)算外扭矩計(jì)算外扭矩由由MeAACBMeBMeC183.

20、50.7569549e AM183.52.989549e CMCABMMMeee ，得到，得到 0 xMmN 39 mN 551 mN 194 4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算2. .畫扭矩圖，確定危險(xiǎn)截面畫扭矩圖，確定危險(xiǎn)截面由扭矩圖可知由扭矩圖可知由由和和mN 155max |T3. .按強(qiáng)度條件求按強(qiáng)度條件求 dpmaxmax WT|得到得到163pdW 3max16 |Td MeAACBMeBMeC+-39 N m.155 N m.TmN 39 mN 551 mN 194 mm 40101551633 mm 0 .27 4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)

21、的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算4. .按剛度條件求按剛度條件求 d由由和和得到得到| 180pmaxmaxGIT324pdI 42max18032| GTd mm 105 . 11080180101553243233 取取 d = 29.5 mm。 可見(jiàn)：可見(jiàn)：此軸的直徑是由剛度條件控制的此軸的直徑是由剛度條件控制的MeAACBMeBMeC+-39 N m.155 N m.TmN 39 mN 551 mN 194 mm 5 .29 mm 0 .27 d4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算四、扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題四、扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)超

22、靜定問(wèn)題僅由平衡方程不能求出支反力偶矩僅由平衡方程不能求出支反力偶矩 1. .平衡方程；平衡方程； 或扭矩的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題或扭矩的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題解扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題需要從三方面考慮，即：解扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題需要從三方面考慮，即： 2. .變形協(xié)調(diào)方程；變形協(xié)調(diào)方程； 3. .物理方程。物理方程。4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例例4 兩端固定的階梯形圓軸兩端固定的階梯形圓軸AB，在，在C處作用一外力處作用一外力 試求軸兩端的支反力偶矩和試求軸兩端的支反力偶矩和C截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角j jC。 偶矩。已知偶矩。已知CB段軸的抗扭剛度為段軸的抗扭剛度為AC段的二倍，段的二倍

23、，解：解：為一次超靜定問(wèn)題為一次超靜定問(wèn)題1. .求支反力偶矩求支反力偶矩( (1) )平衡方程平衡方程ACBl2_l2_Me( (2) )變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程( (3) )物理方程物理方程0e MMMBACBCACj jj jj j ,2pACACAGIlM)()/( j j ( (1) ) ( (2) ) ( (3) )MeACBxMAMBj jCCBBCBGIlM)()/(p2 j j4. .3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 將將( (3) )式代入式代入( (2) )式，并考慮到式，并考慮到由由( (1) )和和( (4) )式求得式求得可得可得AC

24、CBGIGI)()(pp2 ABMM2 ( (4) )3eMMA 32eMMB CACj jj j 2. .求求C截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角ACAGIlM)()/(p2 ACGIlM)(pe6 MeACBxMAMBj jC第四章第四章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)4. .4 非非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、一、非非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)4. .4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、一、非非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念1. .實(shí)驗(yàn)分析實(shí)驗(yàn)分析MeMe4. .4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念1

25、. .實(shí)驗(yàn)分析實(shí)驗(yàn)分析變形現(xiàn)象：變形現(xiàn)象：橫向和周向線已變成空間曲線橫向和周向線已變成空間曲線實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持為平面矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持為平面 即：即：發(fā)生翹曲發(fā)生翹曲MeMe4. .4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念2. .非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的類型非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的類型自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)各橫截面的翹曲不受任何限制的扭轉(zhuǎn)各橫截面的翹曲不受任何限制的扭轉(zhuǎn) 即：即：橫截面上只有切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力。橫截面上只有切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力。約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)各橫截面的翹曲受到約束限制的扭轉(zhuǎn)各橫截面的翹曲受到約束限制的扭轉(zhuǎn)

26、各橫截面的翹曲程度不同各橫截面的翹曲程度不同 各橫截面的翹曲程度相同各橫截面的翹曲程度相同 即：即：橫截面上不僅有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。橫截面上不僅有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。4. .4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布特點(diǎn)：切應(yīng)力分布特點(diǎn)： ( (1) )截面截面周邊各點(diǎn)的切應(yīng)力方向周邊各點(diǎn)的切應(yīng)力方向 與周邊相切與周邊相切 ( (2) )截面截面四個(gè)角點(diǎn)上的切應(yīng)力為零四個(gè)角點(diǎn)上的切應(yīng)力為零T AA = 02 = 01 = 0n n BB 2 14. .4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)根據(jù)彈性力學(xué)的分析結(jié)果，可知：根據(jù)彈性力學(xué)的分析結(jié)果，

27、可知： ( (1) )切應(yīng)力沿橫截面周邊形成與切應(yīng)力沿橫截面周邊形成與 ( (2) )最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)短邊中點(diǎn)的切應(yīng)力為短邊中點(diǎn)的切應(yīng)力為hb max 1T2maxhbT max1 T 同向順流同向順流二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)4. .4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角為式中式中矩形截面桿的抗扭剛度矩形截面桿的抗扭剛度 、 、 是與是與 h/ /b 有關(guān)的系數(shù)，如表有關(guān)的系數(shù)，如表4-1所示。所示。tGIT 3thbGGI 二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)4. .4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿

28、的扭轉(zhuǎn)對(duì)于對(duì)于h/ /b10 的狹長(zhǎng)矩形截面桿：的狹長(zhǎng)矩形截面桿： = = 1/ /3， = 0.742max3hbT 33GhbT 故故二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章第四章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算一、密圈螺旋彈簧一、密圈螺旋彈簧二、彈簧的內(nèi)力二、彈簧的內(nèi)力三、彈簧的應(yīng)力三、彈簧的應(yīng)力四、彈簧的變形四、彈簧的變形4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算一、密圈螺旋彈簧一、密圈螺旋彈簧 螺旋角螺旋角dROO d 簧絲橫截面的直徑簧絲橫截面的直徑密圈螺旋彈簧密圈螺旋彈簧 螺旋角螺旋角 5時(shí)的圓柱形彈簧時(shí)的圓柱形彈簧R 彈簧圈的平均半

29、徑彈簧圈的平均半徑4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算一、密圈螺旋彈簧一、密圈螺旋彈簧4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算一、密圈螺旋彈簧一、密圈螺旋彈簧4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算二、彈簧的內(nèi)力二、彈簧的內(nèi)力 用過(guò)彈簧軸線用過(guò)彈簧軸線O- -O的截面的截面，dRFFOO 將彈簧截開(kāi)將彈簧截開(kāi)4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算二、彈簧的內(nèi)力二、彈簧的內(nèi)力 用過(guò)彈簧軸線用過(guò)彈簧軸線O- -O的截面的截面，將彈簧截開(kāi)將彈簧截開(kāi)可近似地認(rèn)為：可近似地認(rèn)為： 該截面為彈簧的橫截面該截面為彈簧的橫截面:0 yF:0 CM0Q FF0 TFR 剪力

30、剪力 扭矩扭矩FF QFRT CFOOFTQ4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力三、彈簧的應(yīng)力1. .FQ 對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力 1 按照按照實(shí)用計(jì)算法則實(shí)用計(jì)算法則， 認(rèn)為認(rèn)為 1在橫截面上均勻分布在橫截面上均勻分布即即: :AFQ1 124dF 4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力三、彈簧的應(yīng)力2. .T 對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力 2 認(rèn)為認(rèn)為 2在橫截面上的分布在橫截面上的分布與等直圓桿相同與等直圓桿相同即即: :p2IT pmax2WT 1 2maxB316dFR 4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力三、

31、彈簧的應(yīng)力3. .FQ 和和 T 對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力 等于等于 1和和 2的的矢量和矢量和 1 2maxB+ + maxB| | |4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力三、彈簧的應(yīng)力4. .最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 max即即: : max發(fā)生在截面的內(nèi)側(cè)發(fā)生在截面的內(nèi)側(cè)B點(diǎn)點(diǎn)處處max21max 1 2maxB+ +, 102時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) dRmax2max %,514max21 Rd maxB| | | 14163RddFR 4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算 當(dāng)考慮彈簧曲率的影響時(shí)當(dāng)考慮彈簧曲率的影響時(shí) 163maxdFRk dRc2 ccck615

32、. 04414 式中式中 修正系數(shù)修正系數(shù) 彈簧指數(shù)彈簧指數(shù)三、彈簧的應(yīng)力三、彈簧的應(yīng)力4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算5. .彈簧的強(qiáng)度條件彈簧的強(qiáng)度條件式中式中 彈簧材料的許用切應(yīng)力彈簧材料的許用切應(yīng)力163max dFRk三、彈簧的應(yīng)力三、彈簧的應(yīng)力4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算四、彈簧的變形四、彈簧的變形彈簧的變形彈簧的變形彈簧在軸向拉（或壓）力作用下彈簧在軸向拉（或壓）力作用下 沿彈簧軸線沿彈簧軸線O- -O的伸長(zhǎng)（或縮短）的伸長(zhǎng)（或縮短）dRFFOO 4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)算四、彈簧的變形四、彈簧的變形 取出微段取出微段ds就是簧桿的橫截面就是簧桿的橫截面 忽略忽略FQ的影響的影響OOdd j jdsRTT 近似認(rèn)為微段兩端的截面近似認(rèn)為微段兩端的截面4. .5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算密圈螺旋彈簧的計(jì)